2025-2026学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等差数列{an}中，a3=3，a7=27，则a5=（ ）
A. 15B. -15C. 9D. -9
2.如图所示，从散点图的5个（x,y）数据中去掉D（3，10）后，下列说法中正确的是（ ）
A. 变小，变大
B. 相关系数r变小
C. 残差平方和变大
D. 解释变量x与响应变量y的线性相关性变强
3.设A，B为两个事件，已知P（B）=0.6，P（A）=0.5，P（B|A）=0.3，则P（A|B）=（ ）
A. 0.5B. 0.4C. 0.25D. 0.15
4.已知经过点A（1，2，4）的平面α的法向量为=（1，-1，1），则点B（-2，3，2）到平面α的距离为（ ）
A. 2B. 3C. D.
5.若，则a2+a4+a6+a8=（ ）
A. -129B. -128C. 127D. 128
6.现有5名学生和3名老师排成一排合影，老师不排两端且恰有两位老师相邻的不同排法种数为（ ）
A. 21600B. 8640C. 4320D. 2160
7.若不等式ex-1+x-lnx-ax≥lna+1对∀x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A. [1，+∞）B. （0，1]C. [e,+∞）D. （0，e]
8.已知抛物线C：y2=12x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，与圆（x-3）2+y2=4交于M，N两点.若点A，M在第一象限，则|AM|+3|BN|的最小值为（ ）
A. B. C. 10D. 7
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论正确的有（ ）
A. 若离散型随机变量X服从两点分布，且P（X=1）=4P（X=0），则E（X）=0.2
B. 若随机变量X～B（16，0.25），则D（X）=3
C. 设随机变量X～N（4，σ2），若P（X≥2）=0.7，则P（2≤X≤6）=0.4
D. 为了解学生对足球的喜爱与性别是否有关，随机调查了110名学生，得到如下列联表，则有99%的把握认为“喜爱足球与性别有关”
参考数据与公式：
10.已知点P是圆O：x2+y2=k（k＞0）上的动点，点A（2，0），点B（0，4），则（ ）
A. 当时，点P到直线AB的距离的最大值为
B. 当k=5时，直线AB被圆O截得的弦长为
C. 当k=20时，满足PA⊥PB的点有2个
D. 当时，的最大值为8
11.已知，则（ ）
A. a3+b3＞0B. tana+tanb＞0
C. b2-a2＞csb-csaD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料的质量y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据：（3，2.5），（4，3），（5，c），（6，4.5），根据数据，得出y关于x的经验回归方程为=0.7x+0.35，则c的值为 .
13.已知双曲线与直线y=2x+t交于不同的两点A，B.若线段AB的中点在圆x2+y2=26上，则t2= .
14.学校分配包括A，B在内的6名实习教师到3个年级进行辅助教学，要求每个年级至少分配一名实习教师，每个实习教师只能分配到一个年级，则A，B两人被分配到同一年级的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在一个不透明的箱中有7个形状相同的小球，其中白色小球3个，红色小球4个.
（1）现在从箱中任取2个小球，求取到的小球颜色相同的概率；
（2）现在从箱中任取3个小球，设取出的3个小球中白球的个数为X，求X的分布列以及数学期望E（X）.
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}和等比数列{bn}的首项分别为1和2，{an}的前n项和为Sn，bn＞0，且a2，b2，a3成等差数列，b4=S4.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn=an•bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，AP=AC=2，D是PC的中点，DE⊥PB于E.
（1）求证：PB⊥平面ADE；
（2）若PB=4PE，求平面ADE与平面ADB夹角的余弦值.
18.(本小题17分)
已知椭圆C的离心率，且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），直线PA与PB的斜率之积为，探究：直线l是否过定点？若是，求该定点坐标；若不是，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数，其中a,b为常数.
（1）若a=-1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为，求b的值；
（2）若b=2，当x∈[1，+∞）时，f（x）≤0，求a的取值范围；
（3）证明：.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】BCD
10.【答案】ABD
11.【答案】AD
12.【答案】4
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】从箱中任取2个小球，共有=21种，取到的小球颜色相同的取法=9种，
则取到的小球颜色相同的概率=
根据题意，取出的3个小球中白球的个数为X，则X的所有可能取值0，1，2，3，
则P（X=0）==；
P（X=1）==；
P（X=2）==；
P（X=3）==，
则X的分布列为：
故数学期望E（X）=0×=
16.【答案】等差数列{an}和等比数列{bn}的首项分别为1和2，设公差为d,公比为q,q＞0，
{an}的前n项和为Sn，且a2，b2，a3成等差数列，b4=S4，
可得a2+a3=2b2，即2+3d=4q,又2q3=4+6d,解得d=q=2，
则an=1+2（n-1）=2n-1，bn=2n
cn=an•bn=（2n-1）•2n，
数列{cn}的前n项和Tn=1•21+3•22+5•23+...+（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n，
2Tn=1•22+3•23+5•24+...+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1，
相减可得-Tn=2+23+24+...+2n+2n+1-（2n-1）•2n+1
=2+-（2n-1）•2n+1=-6+（3-2n）•2n+1，
则Tn=6+（2n-3）•2n+1
17.【答案】证明：∵PA⊥平面 ABC，∴PA⊥CB，又AC⊥CB，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，从而CB⊥AD，
又AP=AC，D是PC的中点，∴CP⊥AD．
CB∩CP=C，
∴AD⊥平面 PBC，
从而PB⊥AD．
又DE⊥PB，AD∩DE=D，
∴PB⊥平面ADE
由PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，又PB⊥平面ADE，得PB⊥AE，
∴在Rt△PAB中，，
即PB=2PA=4，
从而，，
以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意可得A（0，0，0），，P（0，0，2），C（0，2，0），D（0，1，1），
即，，
设平面ADB的法向量，
由，得，
令x=1，得，
由（1）知平面ADE的一个法向量为，
设平面ADE与平面ADB的夹角为α，
则，
即平面ADE与平面ADB夹角的余弦值为
18.【答案】由已知条件可得，解得，
∴椭圆C的标准方程为
P是椭圆C的上顶点，直线l交椭圆C于A，B两点（A，B均不与P重合），
可知直线l的斜率存在，设l：y=kx+m,A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0，
则，，
由k1•k2=，得=，即（kx1+m-1），
∴，
解得m=1（舍）或m=-2，
∴直线l过定点（0，-2），
当m=1时，直线为y=kx+1过点 P（0，1）此时A、B 中有一点与P重合，不符合题意，舍去．
当m=-2时，直线为y=kx-2恒过定点（0，-2）．
因此直线l过定点，坐标为：（0，-2）
19.【答案】由题意，若a=-1，，求导得：，
因为曲线在点（1，f（1））处切线的倾斜角为，故切线斜率，
所以f′（1）=b+1+1=1，解得b=-1
当b=2时，函数为，定义域为[1，+∞），
求导得：．
若a≤0，当x≥1时，-ax2+2x-a＞0，即f′（x）＞0，f（x）在[1，+∞）单调递增，
又f（1）=0，故x＞1时，f（x）＞0，不符合f（x）≤0的要求，舍去．
若a＞0：记g（x）=-ax2+2x-a,则Δ=4-4a2，
当Δ≤0，即a≥1时，g（x）≤0恒成立，即f'（x）≤0，f（x）在[1，+∞）单调递减，故f（x）≤f（1）=0，符合条件．
当Δ＞0，即0＜a＜1时，g（x）=0的两根为，，满足x1＜1＜x2，
当x∈（1，x2）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）＞f（1）=0，不符合条件．
综上，a的取值范围为[1，+∞）
证明：由（2）的结论，当a=1时，对任意x＞1，有．
令，显然x＞1，代入不等式得：=，
因此得到：，
将k=1，2，…，n的所有不等式累加，左侧为+…+，
不等式累加，右侧为2[（ln3-ln1）+（ln5-ln3）+…+（ln（2n+1）-ln（2n-1））]=2ln（2n+1），
因此+…+，原不等式得证 男生
女生
总计
喜爱
40
20
60
不喜爱
20
30
50
总计
60
50
110
α
0.05
0.01
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
3
P