2025-2026学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷

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1.设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，6}，B={1，3，6，7}，则A∩（∁UB）=（ ）
A. {1，3}B. {2，4}
C. {5}D. {1，2，3，4，6，7}
2.已知条件p：，q：x＞1，则q是p的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.设a,b是正数，且ab=ba，b=3a,则a=（ ）
A. B. 2C. D. 3
4.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为（-，），则a+b=（ ）
A. 13B. -13C. 11D. -11
5.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a15=40，则S17=（ ）
A. 310B. 320C. 330D. 340
6.函数f（x）=x3-2x2+5，x∈[-2，2]的值域为（ ）
A. B. [-11，5]C. D. [-11，4]
7.某工厂要建造一个长方体形无盖储水池，其容积为4800m3，深为3m,如果该池底的造价为200元m2，池壁的造价为100元m2，则该储水池的最低总造价为（ ）
A. 36.4万元B. 36.6万元C. 36.8万元D. 37万元
8.过点（0，m）与曲线相切的直线恰有3条，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题正确的有（ ）
A. 若，则x=16B. 若a+a-1=3，则
C. D. lg25+lg2lg50+（lg2）2=2
10.如图，直线y=kx（k∈R）与函数f（x）=lg8x的图象交于A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2）两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数g（x）=lg2x的图象交于C，D两点，则（ ）
A. 实数k的取值范围为B. O，C，D三点必在同一条直线上
C. 若BC∥x轴，则x2=3x1D. 若BC∥x轴，则
11.已知函数，其中a∈R，则下列说法正确的有（ ）
A. 若a≥0，则f（x）在（2，+∞）上单调递减
B. 若，则f（x）在（-∞，2）上单调递减
C. 若，则f（x）在R上单调递增
D. 若，则f（x）在（2，+∞）上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线y=1+ln（3x-2）在x=1处的切线方程为 .
13.等比数列{an}满足a1=2，a2+a3=12，则a5= .
14.已知函数f（x）=ex-x-2，若∀x∈（0，+∞），（x-λ）f′（x）+x+1＞0，则整数λ的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）设m∈R，函数f（x）=x2-5x+m的两个不同零点都在区间（0，+∞）内，求实数m的取值范围；
（2）正数x,y满足x+4y=1，求的最小值.
16.(本小题15分)
已知函数在x=1和处取得极值.
（1）求实数a,b的值；
（2）若，使不等式f（x）≤c成立，求实数c的取值范围.
17.(本小题15分)
设等差数列{an}的公差为d＞1，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q．已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记，求数列{cn}的前n项和Tn．
18.(本小题17分)
数列{an}的前n项和为Sn，且.
（1）求a1，a3；
（2）证明：数列是等比数列，并求an；
（3）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn≤2026成立的最大正整数n.
19.(本小题17分)
已知函数，a≥0.
（1）当时，试证明函数f（x）存在唯一零点，并求出该零点.
（2）当a=1时，设，且数列{an}的前n项和为Sn，求证：
（i）；
（ii）.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】ABCD
11.【答案】ACD
12.【答案】y=3x-2
13.【答案】32或162
14.【答案】2
15.【答案】
9
16.【答案】

17.【答案】（本小题（12分），第1小题（6分），第2小题6分）
解：（1）由题意可得：，
解得（舍去）或，
所以an=2n-1，bn=2n-1．
（2）∵，cn=，
∴Tn=+…+…①，
…②
①-②可得，
故Tn=．（12分）
18.【答案】a1=2；a3=24
当n≥3时，由，则，
所以两式相减得，整理得，
又n≥3，则n-2≠0，所以，
又，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列．
所以，即
2015
19.【答案】由题意函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
因为，a≥0，
所以．
令，则f′（x）=g（t）=at2-t+a．
当时，Δ=（-1）2-4a2=1-4a2≤0恒成立，
所以g（t）≥0恒成立，即f′（x）≥0恒成立，
所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
因为，
所以函数f（x）存在唯一零点，且零点为1
（i）令h（x）=x-lnx-1（x＞0），则，
所以当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，
所以函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）≥h（1）=0，即x-lnx≥1．
当a=1时，．
因为x-lnx≥1，所以，所以．
又，所以．
（ii）当n≥2时，由放缩法得n2＞n（n-1），所以．
由（i）知，
所以当n≥2时，
=
=
=，
即．
又当n=1时，，满足，
所以成立