2025-2026学年河南省许昌市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年河南省许昌市高一（下）期末数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=i，则z2026=( )
A. −1B. 1C. −iD. i
2.一组数据1，3，4，7，8，9，10的第75百分位数为( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
3.已知a，b为单位向量，且a与b的夹角为2π3，则|2a−b|=( )
A. 2B. 7C. 6D. 3
4.有五张相同的卡片，分别标有1，2，3，4，5，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
5.下列结论正确的是( )
A. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是四棱台
B. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
C. 侧棱长与底面多边形的边长相等的正棱锥可能是正六棱锥
D. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
6.若复数z满足|z+1−2i|≤3，则z在复平面内对应的点的坐标不可能为( )
A. (1,3)B. (0,3)C. (2,1)D. (2,2)
7.已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|).BC=0且AB|AB|⋅AC|AC|=12. 则△ABC为( )
A. 等边三角形B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形D. 三边均不相等的三角形
8.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=3，AB=3，AD=4，点M是棱AD的中点，点N在棱AA1上，且满足AN=2NA1，P是侧面ADD1A1内一动点(含边界)，若C1P//平面CMN，则线段C1P长度的取值范围为( )
A. [3, 11]B. [3,4]C. [3, 13]D. [ 11, 13]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列说法正确的是( )
A. 若A和B互斥，则A和B一定相互独立
B. 若A⊆B，则P(A)≤P(B)
C. 若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D. P(A)+P(B)≤1
10.已知向量a=(−2,1)，b=(3,−4)，则( )
A. |2a+b|= 5
B. a与b的夹角的余弦值为−2 55
C. a在b上的投影向量的坐标是(65,−85)
D. 若ka+b与a+b的夹角为锐角，则k的取值范围为(−∞,1)∪(1,3)
11.已知圆锥SO，AC是圆锥底面圆的直径，点B是底面圆周上异于A，C的动点，若AC=2 3，SO= 3，则( )
A. 圆锥SO的轴截面面积为3
B. 直线SB与底面所成角的正弦值为 55
C. 当三棱锥S−ABC的体积最大时，其外接球的表面积为12π
D. 若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为3+ 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校有男生2400人，女生2600人，按男生、女生进行分层，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取100人测量身高，则抽取的男生人数为 ．
13.一个圆台的上底面圆采用斜二测画法绘制的直观图面积为2 2π，已知圆台下底面半径为5，圆台母线与底面所成的角为π3，则该圆台的侧面积为 ．
14.已知圆C的半径为4，若三个全等的正方形能完全覆盖圆C，则正方形边长的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在正四棱锥P−ABCD中，已知侧棱与底面边长都等于3，E是AB的中点．
(1)证明：AB//平面PCD；
(2)求异面直线PE与BC所成的角的余弦值．
16.(本小题15分)
某高中为了解高一学生周末自主学习时长情况，从高一全体学生中随机抽取50名学生开展调查，统计他们某一个周末自主学习时长(单位：小时)，作出如下频数分布表．
(1)求t的值，并根据数据绘制频率分布直方图；
(2)依据频率分布直方图估计这50名学生自主学习时长的中位数和平均数；
(3)从自主学习时长落在[0,2)和[10,12]的学生中随机抽取2人，求这两人来自不同分组的概率．
17.(本小题15分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a−2c)csB+bcsA=0．
(1)求B；
(2)若△ABC外接圆半径为 3，求△ABC周长的取值范围．
18.(本小题17分)
已知△ABC中，点P在BC边上，且CP=2PB，O为线段AP的中点．
(1)用AB，AC表示BO；
(2)若AQ=λAB，且C，O，Q三点共线．
(i)求λ；
(ⅱ)若 5|AC|=4|AB|，且BO⊥PQ，证明：AB⊥AC．
19.(本小题17分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AC⊥CB，AC=CB= 3，侧棱AA1=4，D为棱BB1上的一点，且B1D=3BD．
(1)证明：CD⊥平面A1C1D；
(2)求直线A1B与平面A1C1D所成角的正弦值；
(3)求四面体C−A1C1D的外接球被平面A1C1D所截得的截面圆的面积．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】48
13.【答案】34π
14.【答案】 6− 2+4
15.【答案】因为四边形ABCD为正方形，所以AB/​/CD，
又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
所以AB/​/平面PCD
33
16.【答案】t=4，
6.625，6.52
815
17.【答案】B=π3
(3+3 3,9]
18.【答案】BO=16AC−23AB
(ⅰ)λ=25；(ⅱ)由(ⅰ)知AQ=25AB，所以BQ=35BA，且BP=13BC，
所以PQ=BQ−BP=35BA−13BC=35BA−13(AC−AB)=−415AB−13AC，
又因为BO⊥PQ，所以PQ⋅BO=(−415AB−13AC)⋅(16AC−23AB)=0，
即845AB2−118AC2+845AB⋅AC=0，
所以845AB⋅AC=118|AC|2−845AB2=118×(4 5|AB|)2−845|AB|2=0，
即845AB⋅AC=0，AB⋅AC=0，因此AB⊥AC
19.【答案】由题意可知：A1C1⊥B1C1，
因为CC1⊥平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，则A1C1⊥CC1，
且B1C1∩CC1=C1，B1C1，CC1⊂平面BB1C1C，可得A1C1⊥平面BB1C1C，
由CD⊂平面BB1C1C可得A1C1⊥CD．
在Rt△BCD中，CD= BC2+BD2=2，
在Rt△B1C1D中，C1D= B1D2+B1C12=2 3，
在△CDC1中，则CD2+C1D2=CC12，可得C1D⊥CD，
且A1C1∩C1D=C1，A1C1，C1D⊂平面A1C1D，
所以CD⊥平面A1C1D
2244
154π 分组(小时)
[0,2)
[2,4)
[4,6)
[6,8)
[8,10)
[10,12]
频数
2
6
12
16
10
t