河南省许昌市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每个小题给出的四个选项中, 只有一 项符合题目要求.
1. 已知复数 z=i ，则 z2026= ( )
A. -1 B. 1 C. -i D. i
2. 一组数据1,3,4,7,8,9,10的第 75 百分位数为( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
3. 已知 a,b 为单位向量，且 a 与 b 的夹角为 2π3 ，则 2a−b= ( )
A. 2 B. 7 C. 6 D. 3
4. 有五张相同的卡片,分别标有1,2,3,4,5,从中随机抽取两张,则抽取的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )
A. 15 B. 25 C. 35 D. 45
5. 下列结论正确的是( )
A. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是四棱台
B. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
C. 侧棱长与底面多边形的边长相等的正棱锥可能是正六棱锥
D. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
6. 若复数 z 满足 z+1−2i≤3 ，则 z 在复平面内对应的点的坐标不可能为( )
A. 1,3 B. 0,3 C. 2,1 D. 2,2
7. 若非零向量 AB 与 AC 满足 ABAB+ACAC⋅BC=0 ，且 ABAB⋅ACAC=12 ，则 △ABC 为( )
A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 直角三角形
8. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中， AA1=3 ， AB=3 ， AD=4 ，点 M 是棱 AD 的中点，点 N 在棱 AA1 上,且满足 AN=2NA1,P 是侧面 ADD1A1 内一动点 (含边界),若 C1P// 平面 CMN ,则线段 C1P 长度的取值范围为()
A. 3,11 B. 3,4 C. 3,13 D. 11,13
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 设 A,B 是两个概率大于 0 的随机事件，则下列说法正确的是( )
A. 若 A 和 B 互斥，则 A 和 B 一定相互独立
B. 若 A⊆B ,则 PA≤PB
C. 若 A 和 B 相互独立,则 A 和 B 一定不互斥
D. PA+PB≤1
10. 已知向量 a=−2,1,b=3,−4 ，则()
A. 2a+b=5
B. a 与 b 的夹角的余弦值为 −255
C. a 在 b 上的投影向量的坐标是 65,−85
D. 若 ka+b 与 a+b 的夹角为锐角,则 k 的取值范围为 −∞,1∪1,3
11. 已知圆锥 SO,AC 是圆锥底面圆的直径,点 B 是底面圆周上异于 A,C 的动点,若 AC=23,SO=3 ,则 ( )
A. 圆锥 SO 的轴截面面积为 3
B. 直线 SB 与底面所成角的正弦值为 55
C. 当三棱锥 S−ABC 的体积最大时,其外接球的表面积为 12π
D. 若 AB=BC,E 为线段 AB 上的动点,则 SE+CE 的最小值为 3+3
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某校有男生 2400 人，女生 2600 人，按男生、女生进行分层，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取100人测量身高，则抽取的男生人数为_____.
13. 一个圆台的上底面圆采用斜二测画法绘制的直观图面积为 22π ，已知圆台下底面半径为 5，圆台母线与底面所成的角为 π3 ，则该圆台的侧面积为_____.
14. 已知圆 C 的半径为 4,若三个全等的正方形能完全覆盖圆 C ,则正方形边长的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图,在正四棱锥 P−ABCD 中,已知侧棱与底面边长都等于 3,E 是 AB 的中点.

(1)证明: AB// 平面 PCD ；
(2)求异面直线 PE 与 BC 所成的角的余弦值.
16. 某高中为了解高一学生周末自主学习时长情况, 从高一全体学生中随机抽取 50 名学生开展调查, 统计他们某一个周末自主学习时长 (单位: 小时), 作出如下频数分布表
(1)求 t 的值，并根据数据绘制频率分布直方图；

(2)依据频率分布直方图估计这 50 名学生自主学习时长的中位数和平均数；
(3)从自主学习时长落在 0,2)和10,12的学生中随机抽取 2 人，求这两人来自不同分组的概率.
17. 在锐角 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 a−2ccsB+bcsA=0 . (1)求 B ；
(2)若 △ABC 外接圆半径为 3 ，求 △ABC 周长的取值范围.
18. 已知 △ABC 中，点 P 在 BC 边上，且 CP=2PB ， O 为线段 AP 的中点.
(1) 用 AB,AC 表示 BO ;
(2)若 AQ=λAB ，且 C,O,Q 三点共线.
(i) 求 λ ;
(ii) 若 5AC=4AB ,且 BO⊥PQ ,证明: AB⊥AC .
19. 如图，在直三棱柱 ABC−A1B1C1 中，底面 ABC 为等腰直角三角形， AC⊥CB ， AC=CB=3 ， 侧棱 AA1=4,D 为棱 BB1 上的一点,且 B1D=3BD .

(1)证明: CD⊥ 平面 A1C1D ；
(2)求直线 A1B 与平面 A1C1D 所成角的正弦值；
(3)求四面体 C−A1C1D 的外接球被平面 A1C1D 所截得的截面圆的面积.
五、卷面分(2 分)分组(小时)
[0,2)
[2,4)
[4,6)
[6,8)
[8,10)
[10,12]
频数
2
6
12
16
10
t