2025-2026学年河南省许昌市高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年河南省许昌市高二（下）期末数学试卷（含答案），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(2,3,4)，b=(m,n,8)，若a//b，则m+n的值为( )
A. 14B. 10C. 8D. 7
2.已知等差数列{an}满足a3=6，a6=3，则公差为( )
A. 1B. 2C. −2D. −1
3.若抛物线C的焦点F关于准线l的对称点为(−3,0)，则C的标准方程为( )
A. y2=4xB. y2=2xC. x2=4yD. x2=2y
4.已知M是四面体ABCD的棱BC的中点，点N在线段DM上，且DN=2NM，P为线段AN的中点，若DP=xDA+yDB+zDC，则x+y+z=( )
A. 23B. 34C. 56D. 1
5.某高校选派5名大学生志愿者到A、B、C三所学校开展义务帮扶活动，其中每所学校至少去一名志愿者，每名志愿者只去一所学校，若志愿者甲必须去A学校，乙不能单独去任一所学校，则不同的选派方案共有( )
A. 30种B. 36种C. 48种D. 54种
6.已知P为直线l：x−y+2=0上一点，M为圆C：(x−1)2+y2=2上一点，且PM⊥MC，则PM⋅PC的最小值为( )
A. 12B. 32C. 52D. 3
7.已知函数f(x)=x(x−c)2在x=2处有极大值，则f(x)在[1,8]上的值域为( )
A. [1,32]B. [0,25]C. [0,32]D. [25,32]
8.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点O为线段AC的中点.点P在线段A1C1上，直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则csθ的最小值是( )
A. 63B. 33C. 24D. 54
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若两个变量的相关性越强，则相关系数r越大
B. (x+ x)4的展开式中x3项的系数为6
C. 随机变量X～N(μ,σ2)，若P(x>1)+P(x>3)=1，则μ=2
D. 若一组不完全相同的数据x1，x2，…，xn的平均数为x0，则当x=x0时，函数f(x)=1ni=1n(xi−x−)2取得最小值
10.根据2019年发布的《中国城市餐饮食物浪费报告》显示，我国仅餐饮业餐桌的粮食浪费每年就高达1800万吨，相当于5000万人一年的食物量.为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下列联表，已知P(χ2≥6.635)=0.010，P(χ2≥10.828)=0.001，则下列判断正确的是( )
A. 在该餐厅用餐的客人中大约有72.2%的客人认可“光盘行动”
B. 在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”
C. 有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄无关
D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关
11.已知函数f(x)=ex−ax，a∈R，则下列结论正确的是( )
A. 若a>0，则函数f(x)在(lna,+∞)上单调递增
B. 若a=0，不等式|f(x1)−f(x2)|≥t|x1−x2|在区间[1,4]上恒成立，则t≤e
C. 若方程f(x)=0有解，则实数a的取值范围为(e,+∞)
D. 若不等式f(mx)≥lnx−(am+m−1)x对任意x>0恒成立，则m≥1e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若等比数列{an}的前n项之积为Tn，且T4=T7，则a6= ．
13.袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n(2≤n≤5，且n≠3)个，其余的球为红球.从袋子中任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是415，则红球的个数为 ．
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线上存在点P，使得|PF1|=2|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某地区卫生部门为探究居民锻炼习惯与健康状况的关系，开展了一项大规模抽样调查.通过分析，研究人员将人群分为“有定期锻炼习惯”和“无定期锻炼习惯”两类，调查结果显示，锻炼习惯与健康指标存在显著关联.具体而言，在坚持定期锻炼的居民中，体检指标正常的比例为80%；而在缺乏锻炼习惯的居民中，这一比例仅为20%，综合全部样本数据，该地区全体居民体检指标正常的比例为40%.用样本频率估算总体概率．
(1)从该地区随机抽取一人，求此人具有定期锻炼习惯的概率；
(2)现从该地区全体居民中随机抽取3人，记其中具有定期锻炼习惯的人数为X，求X的分布列与数学期望E(X)．
16.(本小题15分)
已知数列{an}中，a1=14，an+1=an3−2an．
(1)证明：数列{1an−1}为等比数列；
(2)若bn=(1an−1)lg3(1an−1)，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=3，四边形ABCD是边长为2的菱形.∠DAB=60°．
(1)证明：AC⊥平面PBD；
(2)若PE=EC，PF=2FB．
(i)求平面AEF与平面PBD的夹角；
(ⅱ)若PG=2GD，证明：AG⊂平面AEF．
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(12, 154)，离心率为 32．
(1)求E的标准方程；
(2)若直线l：y=kx+m(m≠1)与E交于A、B两点，M为E的上顶点，且MA⋅MB=0，证明：直线l过定点P；
(3)在(2)的条件下，若O为坐标原点，求S△AOPS△BOP的取值范围．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(x2+a)sinx−ax(a∈R)．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程；
(2)若x=0是f(x)的导函数f′(x)的极大值点，求a的取值范围；
(3)证明：sin0.001+sin0.003+sin0.005+…+sin0.9990，且x1+x2=−8km1+4k2，x1x2=4(m2−1)1+4k2，
又M(0,1)，则MA=(x1,y1−1)，MB=(x2,y2−1)，
因为MA⋅MB=0，则MA⋅MB=x1x2+(y1−1)(y2−1)，
又y1=kx1+m，y2=kx2+m，
所以MA⋅MB=x1x2+(kx1+m−1)(kx2+m−1)
=(1+k2)x1x2+k(m−1)(x1+x2)+(m−1)2
=(1+k2)4(m2−1)1+4k2+k(m−1)−8km1+4k2+(m−1)2=0，
因为m≠1，所以4(1+k2)(m+1)−8k2m+(m−1)(1+4k2)=0，
整理得到5m+3=0，解得m=−35，
所以直线l的方程为：y=kx−35，故直线l过定点P(0,−35)．
(14,4)
19.【答案】πx−y−π24=0
[6,+∞)
因为sinx+sin(1−x)=2sin12⋅cs(x−12)≤2sin12，
由(2)知，a=6时，f′(x)在(0,π2)单调递减，f′(0)=0，
所以f′(x)