广东省河源市2025-2026学年七年级下学期7月期末 数学试题（含解析）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2026B. C. D.
2. 如图，是由五个相同的正方体组成的几何体，从上面看的形状图是（ ）
A. B. C. D.
3. 小小一片超薄芯片，承载着中国科技自主自强的底气．2026年5月我国南京大学团队成功生产制造出世界首颗二硫化钼多核并行微处理器——“梦启（）”，将芯片物理厚度缩减至0.0000000006米，该数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A. 调查某品牌节能汽车的抗撞击能力
B. 调查神舟二十二号飞船发射前各零部件的质量问题
C. 调查全国初中生对2026年“天宫课堂”新课的观看情况
D. 调查嘉陵江某段水域的水质情况
5. 如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与互为对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
6. 利用全等三角形测距离是中国古代工匠日常测量的基础方法．如图，A，B两点分别位于池塘的两端，以为边作，在的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等判定条件中的（ ）
A. B. C. D.
7. 为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为的正方形按如图所示的方式摆放，，分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为（ ）
A. B. C. D.
8. 漏刻是我国古代的一种计时工具，数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表：
下列说法正确的是（ ）
A. 漏刻水位h是自变量，时间t是因变量
B. 实验开始时，漏刻水位是
C. 水位与时间的关系式为
D. 当注水时间为10分钟时，水位高度为
9. 在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，一个边长为a的大正方形与一个直角边长为b的等腰直角三角形按如图所示放置，如果，，那么图中阴影部分的总面积是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11. 我国古代数学著作《九章算术》在“方程”一章中提出了正数、负数的概念，如果盈利80元记作，那么亏损50元记作_________．
12. 如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________．
13. 一个等腰三角形一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长是______．
14. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是_______ ．
15. 如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、说理过程或演算步骤．）
16. 计算：
（1）（2）
17. 先化简，再求值：，其中，．
18. 随着低空经济政策落地，无人机配送逐渐成为物流新形式．某快递公司使用A、B两种型号的无人机送货，已知一架A型无人机每天比一架B型无人机多送60件．若某日安排4架A型无人机和5架B型无人机共同工作，当天恰好共配送2400件货物，求A、B型无人机每天各配送多少件？
19. 在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30个．某数学学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）上表中的________，________；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）；
（3）在第（2）题的条件下，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，若从袋中摸出一个白球的概率为，则取出了多少个黑球？
20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图
（1）在图（1）中画出与关于直线l成轴对称的图形；
（2）在图（1）直线l上找一点P，使的长最短（保留必要的画图痕迹）；
（3）在图（2）中画出网格中的所有，使与全等．
21. 课题探究：利用平行线进行“等角转化”
【阅读理解】已知点A是外一点，连接，，求的度数．
解：如图1，过点A作，
，________．（___________________________）
又（___________________________）
（1）阅读并补充以上推理过程．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）【类比探究】
如图2，已知，点E在和之间，连接，．试探究、和之间的数量关系，并说明理由．
（3）【学以致用】
如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知，，测量得知， ，________．
22. 南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，图1是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，它的发现比欧洲早五百年左右．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：
【初步感知】
（1）按以上规则的展开式共有________项，第二项（字母部分为）系数为________．
【尝试应用】
（2）利用上面的规律计算：
①________；
②当代数式的值为1时，求的值．
【拓展迁移】
（3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第层的圆球数为，求的值．
23. 问题情境：已知射线和射线相交于点B．且．点D在射线上，作射线，在射线上取一点E，连接，，使．
（1）如图1，与的数量关系为________；
（2）如图2，当点D在延长线上，时．
①根据要求作图：在射线上取一点F，使，连接．
②求的度数；
（3）如图3，当，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
数学
本试卷共5页，23小题，满分为120分，考试用时为120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2026B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：解：．
2. 如图，是由五个相同的正方体组成的几何体，从上面看的形状图是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：解：由图可知，从上面看的形状图是．
3. 小小一片超薄芯片，承载着中国科技自主自强的底气．2026年5月我国南京大学团队成功生产制造出世界首颗二硫化钼多核并行微处理器——“梦启（）”，将芯片物理厚度缩减至0.0000000006米，该数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(包括小数点前的零)．
解答过程：解：∵原数左起第一个非零数字为，前面共有个零，且满足，符合科学记数法对的要求，
∴．
4. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A. 调查某品牌节能汽车的抗撞击能力
B. 调查神舟二十二号飞船发射前各零部件的质量问题
C. 调查全国初中生对2026年“天宫课堂”新课的观看情况
D. 调查嘉陵江某段水域的水质情况
答案：B
解析：
思路：当调查要求结果精准，事关重大，无破坏性且范围可控时，适合采用全面调查；若调查具有破坏性，范围过大，适合抽样调查，据此对选项逐一判断即可．
解答过程：解：选项A调查某品牌节能汽车的抗撞击能力，调查具有破坏性，不适合全面调查；
选项C调查全国初中生的观看情况，范围过大，工作量大，不适合全面调查；
选项D调查嘉陵江某段水域的水质，范围较大，不适合全面调查；
选项B神舟飞船发射安全要求所有零部件都必须合格，结果要求绝对精准，适合全面调查．
5. 如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与互为对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查了对顶角，根据对顶角的定义即可求解，掌握对顶角的定义是解题的关键．
解答过程：解：由图可得，与互为对顶角的是，
故选：．
6. 利用全等三角形测距离是中国古代工匠日常测量的基础方法．如图，A，B两点分别位于池塘的两端，以为边作，在的另一条边上截取，最后测出的长度就等于池塘两端A，B的距离．这种方法是利用了三角形全等判定条件中的（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据三角形全等的判定定理，解答即可
解答过程：解：∵
∴；
7. 为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为的正方形按如图所示的方式摆放，，分别是正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用正方形的性质和证明重叠处两个小三角形全等，实现面积等量代换，可推得单个重叠区域面积为正方形面积的​，两处重叠面积总和就是边长为的正方形面积的．
解答过程：解：如图，
，，
，
在和中，
，
，
，
重叠部分的面积和为正方形面积的一半，即．
8. 漏刻是我国古代的一种计时工具，数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，每2分钟记录一次箭尺读数，得到漏刻水位与时间的实验数据如下表：
下列说法正确的是（ ）
A. 漏刻水位h是自变量，时间t是因变量
B. 实验开始时，漏刻水位是
C. 水位与时间的关系式为
D. 当注水时间为10分钟时，水位高度为
答案：B
解析：
思路：根据表格数据确定自变量与因变量及实验开始时的漏刻水位，进而得到关系式，再代入数值计算即可判断．
解答过程：解：∵水位随时间的变化而变化，
∴时间是自变量，水位是因变量，故A选项错误．
∵当时，，
∴实验开始时，漏刻水位是，故B选项正确．
由表格可知t每增加2，h增加，即t每增加1，h增加，
∴，故C选项错误．
当时，，
∴当注水时间为分钟时，水位高度为，故D选项错误．
9. 在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案．
解答过程：解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，
∴实物与其像的连线与镜面垂直，
∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形，
故选：D．
10. 如图，一个边长为a的大正方形与一个直角边长为b的等腰直角三角形按如图所示放置，如果，，那么图中阴影部分的总面积是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：用和表示出阴影部分的总面积，再代入值计算即可．
解答过程：解：由图可知，阴影部分的总面积，
，，
阴影部分的总面积．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11. 我国古代数学著作《九章算术》在“方程”一章中提出了正数、负数的概念，如果盈利80元记作，那么亏损50元记作_________．
答案：
解析：
思路：本题考查正负数的概念，掌握好相关知识是关键．盈利和亏损是相反意义的量，盈利用正数表示，亏损用负数表示．
解答过程：解：根据正负数的意义，盈利80元记作，表明盈利用正数表示．亏损与盈利是相反意义的量，因此亏损应用负数表示．故亏损50元记作．
故答案为：．
12. 如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________．
答案：5
解析：
思路：根据，代入求解即可；
解答过程：解：根据题意，得点M，N分别是线段，的中点，
，，
，
,
，
13. 一个等腰三角形一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长是______．
答案：
解析：
思路：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系，验证能否组成三角形．
解答过程：解：当腰为时，，不能构成三角形；
当腰为时，，能构成三角形，
周长是：，
故答案为：．
14. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是_______ ．
答案：18
解析：
思路：本题考查了角平分线的尺规作图和性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．
过点作于点，先根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得答案．
解答过程：解：∵，
∴，
过点作于点，如图所示：
由作图过程可知，是的平分线，
∴，
∴的面积为，
故答案为：18．
15. 如图所示的运算程序中，若开始输入的值为，则第次输出的结果是________．
答案：
解析：
思路：根据运算程序依次计算前几次的输出结果，观察数据特征，找出循环规律，利用周期性求解即可．
解答过程：解：输入，是偶数，
第次输出．
输入，是奇数，
第次输出．
输入，是偶数，
第次输出．
输入，是偶数，
第次输出．
输入，是奇数，
第次输出．
输入，是偶数，
第次输出．
输入，是奇数，
第次输出．
输入，是偶数，
第次输出．
依次类推，从第次输出开始，结果分别以、、、、、循环．
，
第次输出的结果是．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明、说理过程或演算步骤．）
16. 计算：
（1）（2）
答案：（1）
（2）解析：
（1）解：
；
（2）解：
．
17. 先化简，再求值：，其中，．
答案：，
解析：
思路：首先利用整式的混合运算进行化简，再代入求值即可；
解答过程：解：原式
，
当，时，
原式；
18. 随着低空经济政策落地，无人机配送逐渐成为物流新形式．某快递公司使用A、B两种型号的无人机送货，已知一架A型无人机每天比一架B型无人机多送60件．若某日安排4架A型无人机和5架B型无人机共同工作，当天恰好共配送2400件货物，求A、B型无人机每天各配送多少件？
答案：A型无人机每天配送300件，B型无人机每天配送240件
解析：
思路：设A型无人机每天配送x件，B型无人机每天配送y件，根据题意，得，求解即可；
解答过程：解：设A型无人机每天配送x件，B型无人机每天配送y件，
根据题意，得，
解得，
答：A型无人机每天配送300件，B型无人机每天配送240件.
19. 在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30个．某数学学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）上表中的________，________；
（2）“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到0.1）；
（3）在第（2）题的条件下，现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的白球，搅拌均匀后，若从袋中摸出一个白球的概率为，则取出了多少个黑球？
答案：（1），
（2）0.6 （3）
解析：
思路：（1）根据频率的定义，列式计算即可；
（2）利用频率估计概率即可解答；
（3）先设取出了个黑球，则放入了个白球，再根据题意列方程求解即可．
（1）解：由题意得，，．
（2）解：随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.6附近，
故“摸到白球”的概率的估计值为0.6．
（3）解：由（2）可知，“摸到白球”的概率约为0.6，
袋中原有白球的数量为：（个）．
设取出了个黑球，则放入了个白球，
根据题意得，，
解得，．
答：取出了个黑球．
20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图
（1）在图（1）中画出与关于直线l成轴对称的图形；
（2）在图（1）直线l上找一点P，使的长最短（保留必要的画图痕迹）；
（3）在图（2）中画出网格中的所有，使与全等．
答案：（1）如图，即为所求
（2）如上图，点P即为所求
（3）如图，、都与全等
解析：
思路：（1）根据轴对称的性质即可画出；
（2）连接，交直线l于点P，此时的长最短；
（3）根据全等三角形的对应边和角相等，结合网格作图即可．
（1）略
（2）略
（3）略
21. 课题探究：利用平行线进行“等角转化”
【阅读理解】已知点A是外一点，连接，，求的度数．
解：如图1，过点A作，
，________．（___________________________）
又（___________________________）
（1）阅读并补充以上推理过程．
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
（2）【类比探究】
如图2，已知，点E在和之间，连接，．试探究、和之间的数量关系，并说明理由．
（3）【学以致用】
如图3是超市购物车，图4是其侧面示意图，已知，，测量得知， ，________．
答案：（1）；两直线平行，内错角相等；平角的定义
（2）解：，理由如下：
过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解析：
思路：（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可；
（2）过点E作，根据平行线的性质及角的和差求解即可；
（3）作，，由平行线的性质可得，，相加即可．
（1）解：如图1，过点A作，
，．（两直线平行，内错角相等），
又（平角的定义），
；
（2）解：略
（3）解：作，
则（两直线平行，内错角相等），
∵，
∴，
作，
则（两直线平行，同旁内角互补），
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
22. 南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，图1是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，它的发现比欧洲早五百年左右．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律：
【初步感知】
（1）按以上规则的展开式共有________项，第二项（字母部分为）系数为________．
【尝试应用】
（2）利用上面的规律计算：
①________；
②当代数式的值为1时，求的值．
【拓展迁移】
（3）“杨辉三角”的应用很广泛，例如“堆垛术”，图2中的立体图形是由若干形状、大小相同的圆球摆放而成，从上至下每层小球的个数依次为：1，3，6，10…，记第层的圆球数为，求的值．
答案：（1）；
（2）①；②或
（3）解析：
思路：（1）观察杨辉三角规律：展开式项数为；展开式第二项系数等于．
（2）①对照，令，原式恰好等于．
②先逆用杨辉三角配成完全四次方，再解方程．
（3）根据每层小球数得通项公式：，代入计算．
（1）解：由规律：
2项，第二项系数；
3项，第二项系数；
4项，第二项系数；
5项，第二项系数；
可得展开式共有项，第二项系数为．
（2）解：①
．
②
=a−24，
由题意：
实数范围内，四次方等于1的数为：
，，
，，
综上，的值为3或1．
（3）解：由每层小球数：，
，
，
，
，
得通项公式：，
将代入：
．
23. 问题情境：已知射线和射线相交于点B．且．点D在射线上，作射线，在射线上取一点E，连接，，使．
（1）如图1，与的数量关系为________；
（2）如图2，当点D在延长线上，时．
①根据要求作图：在射线上取一点F，使，连接．
②求的度数；
（3）如图3，当，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
答案：（1）
（2）①如图，
②
（3）或
解析：
思路：（1）利用三角形内角和定理即可得出答案；
（2）①按要求作图即可；
②先证得，得出，，则，进而得出，再根据角的和差即可求解；
（3）分两种情况：当点D在线段上时；当点D在的延长线上时；在射线上取一点F，使，连接，先证明，可得：，，再由等腰三角形性质即可求得答案．
（1）解：如图，
∵，，
又∵，，
∴；
（2）解：①略
②由（1）得，由①得，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：分以下两种情况：
当点D在线段上时，如图，在射线上取一点F，使，连接，
由（1）知：，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴；
当点D在的延长线上时，在射线上取一点F，使，连接，如图，
由（1）知：，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
综上所述，的度数为或．0
2
4
6
8
…
2
2.8
3.6
4.4
5.2
…
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
b
295
480
601
摸到白球的频率
a
0.64
0.58
0.59
0.60
0.601
0
2
4
6
8
…
2
2.8
3.6
4.4
5.2
…
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
59
96
b
295
480
601
摸到白球的频率
a
0.64
0.58
0.59
0.60
0.601