2025--2026学年江苏省如东高级中学高一下学期期末模拟二数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省如东高级中学高一下学期期末模拟二数学试题-含解析试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 设是两条直线，是两个平面，下列说法错误的是（ ）
A. 如果，那么
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则
4. 如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 直角或等腰三角形
6. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，内角所对应边分别为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若满足，的有两解，则a的取值范围为
B. 若为锐角三角形，且，则的取值范围是
C. 若则是的外心
D. 若点O为内一点，且，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选择中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度，先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得.在点后移至点，测得仰角为，则山高的高度为（ ）
A. B.
C. D.
10. 在锐角中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（ ）
A. 正三棱柱的外接球表面积为
B. 周长的最小值为
C. 棱上总存在点，使得直线平面
D. 为的中点，平面将三棱柱分成两部分，若两部分的体积分别为，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 若复数，则实数的取值为__________.
13. 在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为__________
14. 已知，，是平面内的三个单位向量，且，，两两的夹角相等，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为，且.
（1）求的面积；
（2）若，求的周长.
16. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）证明：平面．
17. （1）已知平面向量，，，.
（i）若，求和的值；
（ii）在（i）的条件下，若，求实数的值；
（2）已知，若，求的最小值.
18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19. A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上．
（1）若三角形ABC为等边三角形，点D在BC延长线上，满足，则A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值；
（2）若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值；
（3）若，，由A点对BC施以视角运算，，求AD的最大值.
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：结合诱导公式，根据两角和的正弦公式的逆用化简计算即可.
解答过程：易知.
故选：D.
2. 已知向量，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据题意，结合向量的垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.
解答过程：由向量，可得，
因为，可得，解得.
故选：A.
3. 设是两条直线，是两个平面，下列说法错误的是（ ）
A. 如果，那么
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则
答案：B
解析：
思路：由线、面之间的位置关系的判定定理和性质逐一判断即可.
解答过程：对于A，如果，则，故A正确；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，因为，所以存在直线，使得，
又，所以或，
当时，因为，，所以由线面平行性质定理可知，
所以由平行传递性可得；
当时，因为，，所以直线与直线重合，故.
综上，若，，则，故C正确；
对于D，若，，所以或，
当时，存在直线，使得，
又因为，所以，则；
当时，因为，所以.
综上，若，则，故D正确.
4. 如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由向量的线性运算求解即可.
解答过程：因点E是的中点，点D是的中点，
所以
.
5. 在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 钝角三角形D. 直角或等腰三角形
答案：B
解析：
思路：将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角.
解答过程：因为，所以，
即，
所以，
即，
整理得，
角为直角，为直角三角形.
6. 如图，圆锥的轴截面为等边三角形，为弧的中点，为母线的中点，则异面直线和所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用几何关系转化异面直线和所成的角为，再根据三角形性质求解角大小.
解答过程：如图所示，取底面圆心（即中点），连接.
因为是中点，是中点，所以是的中位线，得.
因此异面直线和所成的角，等于与所成的角.
圆锥轴截面垂直于底面圆所在平面，交线为.
因为是弧的中点，所以，
由面面垂直的性质定理，得平面.
又平面，因此，是直角三角形，直角在点.
设底面圆半径为，则，直径.
因为轴截面是等边三角形，所以，
由中位线性质得，
在中，，因此 ，得 ，
即异面直线和所成角为.
7. 在中，已知，，，为线段上的一点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据题目信息结合三角恒等变换及向量的数量积公式解出三角形，建立平面直角坐标系，由为线段上的一点，则存在实数使得，求出点坐标，再根据，求出点坐标，从而得到，利用基本不等式即可求出答案.
解答过程：中设，，，
因为，，
所以，
即，
所以，
因为，所以，
所以，又，所以，
又因为，所以，
又，所以，
在中，，，，
根据，所以，，
，
以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，
可得，，，所以，，
为线段上的一点，
则存在实数使得，
设，，则，，
所以，则，
所以，，则，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
此时，
所以的最小值为.
8. 在中，内角所对应边分别为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若满足，的有两解，则a的取值范围为
B. 若为锐角三角形，且，则的取值范围是
C. 若则是的外心
D. 若点O为内一点，且，则
答案：C
解析：
思路：对于A，利用正弦定理和三角函数的性质求解；对于B，根据余弦定理和已知条件化简，求出，再用正弦定理对进行化简，根据的范围判断即可；对于C，由向量的数量积的运算及外心的定义判断；对于D，交于点，由向量的线性运算法则及向量共线定理，可得，从而求得面积比.
解答过程：对于A，，所以，
因为，要使有两解，则，所以，A正确；
对于B，因为，又，
所以，即，即，
所以，
即，即，
因为，所以，即
所以，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，B正确；
对于C，
则，
所以，所以点在边的高线上，所以不一定是的外心，C错误；
对于D，若点O为内一点，且，
延长交于点，故存在实数，使得，
由于在直线上，故，从而，即，
所以，故，D正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题给出的四个选择中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度，先在河岸边定好一条基线，在点测得山顶的仰角为，在点测得山顶的仰角为.测得.在点后移至点，测得仰角为，则山高的高度为（ ）
A. B.
C. D.
答案：ACD
解析：
思路：先设出，并表示出其他相关边长，再利用余弦定理建立方程求解得到A，利用建立方程得到C，D即可.
解答过程：设，因为，所以；
因为，所以；
在中，，
由余弦定理得，
解得，故A正确，
因为，所以，同理可得，
因为，所以，
解得或，故C，D正确.
故选：ACD
10. 在锐角中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：
思路：对于选项A，将两个等式利用和差的正弦公式展开，即可求得的值；对于选项B，根据条件求出的值，进而可得到的关系；对于选项C，根据先求出其余弦值，进而得到正切值；对于选项D，首先将展开，然后根据求出.
解答过程：对于选项A：
因为，
所以①
②，
所以，所以A正确；
对于选项B：
因为，.
所以，即，所以B正确；
对于选项C：
因为，所以.
所以，所以C错误；
对于选项D：
因为，.
又，所以，
化简得，所以解得.
又是锐角，所以，所以，D正确.
故选：ABD.
11. 如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是（ ）
A. 正三棱柱的外接球表面积为
B. 周长的最小值为
C. 棱上总存在点，使得直线平面
D. 为的中点，平面将三棱柱分成两部分，若两部分的体积分别为，，则
答案：ACD
解析：
思路：对A，先求出正三棱柱底面正三角形的外接圆半径，根据外接球球心在上下底面中心连线的中点求出外接球半径，代入球表面积公式计算验证结论；对B，将正三棱柱两个相邻侧面展开为平面，利用两点之间线段最短得到的最小值，结合固定边长计算的最小周长验证结论；对C，在侧面中作，交于，在侧面过作的平行线交于，则点满足平面；对D，先计算正三棱柱总体积，再用割补法求出平面截得的较大部分体积，最终计算验证结论.
解答过程：对于A：正三棱柱外接球的球心为上下底面正三角形中心连线的中点，
底面正三角形边长为4，其外接圆半径​​；
正三棱柱高，球心到底面距离，因此外接球半径满足：，
外接球表面积，A正确；
对于B： 中，为定值，周长最小时最小，

将侧面与侧面翻折到同一平面内，连接，则的最小值为，
，因此周长最小值为 ，B错误；
对于C：在侧面内，过作，交于，
在侧面内，过作交于，，
所以平面平面，平面，所以平面 ，C正确；
对于D：正三棱柱总体积 ，是中点，取中点，
连接，则是边长为的等边三角形，取中点，则，
又由平面可知，，所以平面，
较小体积 ，
因此：，​ D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 若复数，则实数的取值为__________.
答案：
解析：
思路：根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可.
解答过程：，
，解得，
故实数的取值为.
13. 在棱长为4的正方体中，为棱的中点，是侧面上的动点，且平面，则点在侧面上的轨迹长度为__________
答案：
解析：
思路：构造一个过且平行于平面的平面，该平面与侧面的交线即为点的运动轨迹.
解答过程：在棱长为4的正方体中，分别取的中点，连接，连接，
由，，得，又，得四边形是平行四边形，
则，平面，平面，
因此平面；
又，，得，平面，平面，
因此平面，又平面，平面，，
则平面平面，而侧面，平面，
于是平面，则点在侧面与平面的交线上，
即点的轨迹为线段，又，所以点在侧面上的轨迹长度为.
14. 已知，，是平面内的三个单位向量，且，，两两的夹角相等，则________．
答案：或
解析：
思路：依题意它们两两的夹角为或，分两种情况讨论，分别计算可得.
解答过程：因为，，两两的夹角相等，所以它们两两的夹角为或．
当夹角为时，；
当夹角为时，，从而．
故答案为：或
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角的对边分别为，且.
（1）求的面积；
（2）若，求的周长.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用三角形内角和定理求出，利用三角形的面积公式求解.
（2）（方法一）联立方程组计算出的值，利用余弦定理求出，从而求出的周长.（方法二）由余弦定理及，求出，从而求出的周长.
（1）因为，所以.
因为，所以的面积为.
（2）（方法一）由，得或，
由余弦定理，得，
解得.
故的周长为.
（方法二）由余弦定理，
得，
解得.
故的周长为.
16. 如图，在正四棱柱中，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）证明：平面．
答案：（1）证明见详解
（2）证明见详解
解析：
思路：（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明；
（2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明.
（1）证明：设，连接，
在正四棱柱中，四边形为正方形，
，又是的中点，，
，又平面，平面，
平面.
（2）在正四棱柱中，平面，
又平面，，
在正方形中，，
又，平面，平面，
平面.
17. （1）已知平面向量，，，.
（i）若，求和的值；
（ii）在（i）的条件下，若，求实数的值；
（2）已知，若，求的最小值.
答案：（1）（i）， ；（ii）；（2）最小值为
解析：
思路：（1）（i）依托向量线性运算的坐标相等构建方程组求解参数；
（ii）利用向量平行的坐标判定公式建立方程求实数；
（2）将向量模长表达式转化为二次函数，借助二次函数性质求解最小值.
解答过程：（1）（i）由，代入向量坐标得，
可得方程组，解得，.
（ii）由（i）得，故，则，，
由两向量平行的坐标关系得，
化简得，解得.
（2）由，，得，
则，
令，其对称轴为，
当时，，
因此，的最小值为.
18. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）证明：取棱的中点，连接，
因为为等边三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又 平面，所以.
又，，，平面，所以平面．
（2） （3）存在，
解析：
思路：（1）根据线面垂直的判定定理证明即可．
（2）连接，结合线面角的定义得到为直线与平面所成的角，在中结合三角函数求解即可．
（3）取中点，连接，，结合二面角的定义得到为二面角的平面角，设，在中，结合余弦定理求解即可．
（1）略
（2）连接，
由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角．
因为为等边三角形，，且为的中点，所以，
又，在中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（3）取中点，连接，，
在中，，
因为平面，平面，所以，
在中，，所以，
所以，
又点为中点，所以，
同理，
所以为二面角的平面角，
设，
在中，
在中，
在中，
由余弦定理可得，即，
化简得，解得或（舍去），
即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时．
19. A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P，Q任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D在射线BC上．
（1）若三角形ABC为等边三角形，点D在BC延长线上，满足，则A点对BC施以视角运算，求（B，C；D）的值；
（2）若，，由A点对BC施以视角运算，，求的最小值；
（3）若，，由A点对BC施以视角运算，，求AD的最大值.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由题目所给信息结合题目条件可得答案；
（2）由题目条件可得，然后利用，可得，最后利用基本不等式可得答案；
（3）由题目条件可得，结合向量知识可得，
又，可得，然后结合正弦定理与和差化积，积化和差公式可得答案.
（1）由题目所给信息，又D在线段BC外，则，
如图，因三角形ABC为等边三角形，，
则，
从而，，
则；
（2）因，则D在线段BC内，
则，
因，则.
则，
则，
从而，
当且仅当时取等号；
（3）因，则D在线段BC内.
则
又，则均为锐角，如图过B，C做AD所在射线的垂线，
垂足分别为E，F，则，
则，又注意到，则，
从而，则，
从而，
则，
又，则.
则，
由正弦定理得，
由和差化积公式：，
则.
由积化和差公式：.
注意到，则，则当时，
，即，
则.