2025--2026学年江苏南通市如东县高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏南通市如东县高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为，则该扇形的弧长是（ ）
A. B. C. D.
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 函数，的值域是（ ）
A. B.
C. D.
5. 在一座高的观测台顶测得对面一座水塔塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则该水塔的高度是（ ）
A. B. C. D. 1033+10m
6. 已知非零向量满足(a→−3b→)⊥a→，且(b→−3a→)⊥b→，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，已知，，，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在边长为的等边中，， ，，则（ ）
A. B.
C. DF=153D.
10. 已知是复数，则（ ）
A. z1−z2=z1−z2B.
C. z1z2=z1z2D.
11. 在中，已知内角的对边分别为，其面积为，外接圆的半径为，且．下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. 若，则D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数满足，则的取值范围是______________．
13. 为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500 N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都为．经工作人员测量得，则两条钢丝绳拉力的合力大小为______________N．
14. 在中，已知内角的对边分别为，且，则_______________．若为边上的点，且，，则的最小值是_______________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点A（1，0），B（0，1），C（2，5），求：
（1）的模；
（2）．
16. 如图，在中，，，，，
（1）求的长；
（2）求的面积.
17. 如图，有两条相交成角的直路，，交点是.甲、乙分别在，上，起初甲离点3 km，乙离点1 km，后来甲沿着方向，乙沿着方向，同时以4 km/h的速度步行.
（1）起初两人间的距离是多少？
（2）经过多长时间，两人间的距离是4 km？
（3）什么时候两人间的距离最短，并求出最短距离.
18. 在四边形中，，，.
（1）若四边形是圆的内接四边形，求
①；
②；
（2）求四边形的面积的最大值.
19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量O→=(xk,yk) 和角，定义变换如下：，且OP1→=(1,3) ．
（1）若，求的值；
（2）求证：与的面积相等；
（3）设，，是否存在，使得 ，不等式u+λv≥23恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为，则该扇形的弧长是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为，扇形的半径为10 cm，所以该扇形的弧长是.
2. （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程.
3. 已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：因为角的终边经过点，所以，
所以，所以.
4. 函数，的值域是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据正弦函数的单调性即可求解.
解答过程：由正弦函数性质可知函数在上单调递增，在上单调递减，
又时，；
时，；
时，，
所以函数，的值域是.
故选：B.
5. 在一座高的观测台顶测得对面一座水塔塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则该水塔的高度是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：作出示意图，结合锐角三角函数的定义求解即可.
解答过程：如图所示，DM=AB=10m ，，，
易知，所以是等腰直角三角形，所以，
，故，
因此塔高为CD=CM+DM=103+10m .
6. 已知非零向量满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由a−3b⊥a得：a−3b⋅a=a2−3a⋅b=0 ，则得a2=3a⋅b，
由b−3a⊥b得：b−3a⋅b=b2−3a⋅b=0 ，则得b2=3a⋅b，
故a2=b2=3a⋅b，即，且a⋅b=a23，
则与的夹角余弦值为：csa→,b→=a→⋅b→a→·b→=a→23a→2=13.
7. 在中，已知，，，则 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据给定条件，利用余弦定理求出，再利用数量积的运算律及定义求解.
解答过程：在中，由余弦定理AC2=AB2+BC2−2AB⋅BCcsB ，
得，即，而，解得，
所以
.
8. 在中，已知，．为的中点，且，则的面积是 （ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据BM2=14BA+BC2可得，再利用平方关系和三角形面积公式求解.
解答过程：根据题意，，
则BM2=14BA+BC2，即19=1449+13+2×7×13cs∠ABC，
则，又，所以sin∠ABC=2313，
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 在边长为的等边中，， ，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：
思路：等边三角形性质建立坐标系并确定顶点坐标，再利用向量数乘与三角形法则，由给定的比例关系直接算出各分点坐标，随后对每个选项进行验证判断即可.
解答过程：如图以点为坐标原点，直线为轴建立平面直角坐标系.
则，，，
由AF→=12AB→=122,0=1,0，BC→=1,3−2,0=(−1,3)
由，得AD→=AB→+13BC→=2,0+13(−1,3)=53,33.
由，得AE→=AC→−14AC→=34AC→=341,3=34,334.
选项A：EF→=AF→−AE→=14,−334，
右边=12AB→−34AC→=122,0−341,3=14,−334=EF→，A正确，
选项B：DE→=AE→−AD→=−1112,5312，
右边=−23AB→+512AC→=−232,0+5121,3=−1112,5312=DE→，B正确，
选项C：DF→=AF→−AD→=−23,−33，
，C错误，
选项D：，D正确.
10. 已知是复数，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ACD
解析：
解答过程：设，，
对于A，z1−z2=a−c+b−di ，所以z1−z2=a−c−b−di ；
而z1−z2=a−bi−c−di=a−c−b−di .所以A正确.
对于B，z1z2=a+bic−di=ac+bd+bc−adi ；
z1z2=a−bic+di=ac+bd+ad−bci≠ac+bd+bc−adi .所以B错误.
对于C，z1z2=a+bic+di=ac−bd+ad+bci=ac−bd2+ad+bc2
；
而z1z2=a2+−b2·c2+−d2=a2c2+b2c2+a2d2+b2d2.所以C正确.
对于D，因z1z2=a+bic+di=ac−bd+ad+bci ，则；
z1·z2=a−bic−di=ac−bd−ad+bci .所以D正确.
11. 在中，已知内角的对边分别为，其面积为，外接圆的半径为，且．下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B.
C. 若，则D. 若，则
答案：BCD
解析：
思路：根据正弦定理，，利用正弦定理可判断A；根据外心性质可得在上的投影向量为，从而判断B；利用余弦定理和基本不等式可得，再根据三角形面积公式判断C；利用余弦定理、面积公式和基本不等式sinC≥21−csC>0 ，化简求得，再由正弦定理判断D.
解答过程：根据正弦定理，可得，
则2sinA+B=csinC ，即，
所以，
对于A，若，则，所以，A错误；
对于B，由点向作垂线，垂足为，
因为为外接圆圆心，所以为中点，
从而在上的投影向量为，
则，B正确；
对于C，若，则，
根据余弦定理，，即，
又根据基本不等式，得4≥2ab−3ab=2−3ab ，
则，当且仅当时，等号成立，
则Smax=12absinC≤2+3，
当且仅当时，等号成立，C正确；
对于D，，则ab=4sinC，
又，
即4=b2+a2−2abcsC≥2ab1−csC=81−csCsinC，
当且仅当时，等号成立，
因为，所以，所以sinC≥21−csC>0 ，
则sin2C≥41−csC2，即，
即，解得，，
所以，而，
所以，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数满足，则的取值范围是______________．
答案：
解析：
解答过程：设，由z−1−2i=2 ，可得x−12+y−22=2 ，
所以，所以复数在复平面内对应的点为以为圆心，2为半径的圆上的点，
又OM=0−12+0−22=5，
所以的取值范围是.
13. 为了防止电线杆倾斜，在两侧对称地用钢丝绳把它拉紧．已知每条钢丝绳的拉力都是500 N，每条钢丝绳与电线杆的夹角都为．经工作人员测量得，则两条钢丝绳拉力的合力大小为______________N．
答案：
解析：
解答过程：设两条钢丝绳的拉力分别为，合力为，且，，
所以
，
所以两条钢丝绳拉力的合力大小为 N．
14. 在中，已知内角的对边分别为，且，则_______________．若为边上的点，且，，则的最小值是_______________．
答案： ①. ②. 9
解析：
解答过程：由，可得，
所以，所以，所以，
所以，又，所以.
因为，又，所以.
又，所以，
所以，所以，
所以，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知点A（1，0），B（0，1），C（2，5），求：
（1）的模；
（2）．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先计算的坐标，再利用向量模长的坐标表示，即得解
（2）由，代入（1）中计算的的坐标，运算即得解
（1）由题意，
故
故
（2）16. 如图，在中，，，，，
（1）求的长；
（2）求的面积.
答案：（1）7 （2）
解析：
思路：（1）过点作，垂足为，分别求出，，再由余弦定理即可求出.
（2）直接由三角形的面积公式即可求得答案.
（1）过点作，垂足为，
∵，，，，
在中，，
在中，，
由余弦定理可得，，
∴；
（2），
.
17. 如图，有两条相交成角的直路，，交点是.甲、乙分别在，上，起初甲离点3 km，乙离点1 km，后来甲沿着方向，乙沿着方向，同时以4 km/h的速度步行.
（1）起初两人间的距离是多少？
（2）经过多长时间，两人间的距离是4 km？
（3）什么时候两人间的距离最短，并求出最短距离.
答案：（1）
（2）小时
（3）经过小时后，距离最短，最短距离是2 km.
解析：
思路：（1）利用余弦定理可直接求得；
（2）分别在和两种情况下，利用余弦定理可求得两人间的距离，进而计算即可求解；
（3）根据（2）中结论，利用二次函数性质可得结果.
（1）设两人间的距离为，起初位置时，
甲、乙的位置分别为，，
起初位置时，，.
在中，由余弦定理
，
得，所以.
（2）设经过小时后，甲、乙的位置分别为，.
当时，，
当时，，
所以.
若，则，
所以或（舍去）.
所以经过小时，两人间的距离是4 km.
（3）由（2）得，
所以当时，，
所以经过小时后，距离最短，最短距离是2 km.
答：（1）距离是 km.（2）经过小时.（3）经过小时后，最短距离是2 km.
18. 在四边形中，，，.
（1）若四边形是圆的内接四边形，求
①；
②；
（2）求四边形的面积的最大值.
答案：（1）①；②
（2）.
解析：
思路：（1）由圆内接四边形的性质及余弦定理可得；以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示求得；或用数量积的定义结合余弦定理求得；
（2）用三角形的面积公式，结合余弦定理，可获得四边形的面积与cs∠BAD+∠BCD的关系，由cs∠BAD+∠BCD的取值，可得四边形的面积的最大值.
（1）连接，在圆中， ，所以.
在中，由余弦定理，
得.
在中，由余弦定理，
得.
所以，所以.
方法一：
以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设，D(−2,23) ，，
则，，
解得(舍)或x=87 ， y=2437．
因为BC⃗=(−67,2437) ，AD⃗=(−2,23) ，
所以．
方法二：
在中，由余弦定理，
得.
在中，由余弦定理，
得.
所以，所以.
所以. 延长交于点，则.
所以.
所以．
（2）四边形的面积为
．
所以S4=sin∠BAD+3sin∠BCD .
由（1）得，
所以.
所以
.
因为，当且仅当时等号成立，
所以，所以.
所以四边形的面积的最大值是.
19. 在平面直角坐标系中，对于非零向量 和角，定义变换如下：，且 ．
（1）若，求的值；
（2）求证：与的面积相等；
（3）设，，是否存在，使得 ，不等式恒成立．若不存在，说明理由；若存在，求出的取值范围．
答案：（1）
（2）证明见解析 （3）存在，λ∈−∞,−32∪32,+∞
解析：
思路：（1）代入已知角度到旋转变换公式，得出新向量的坐标，并利用数量积的坐标公式完成计算；
（2）结合同角平方关系证得所有向量模长相等，再由向量运算得相邻向量夹角恒为，代入三角形面积公式即可推得面积相等；
（3）先由向量加减运算表示出，利用前问结论代入模长与数量积，将恒成立不等式平方后整理为关于的一次函数，最后借助一次函数在区间内恒非负的端点效应转化为关于的不等式组并求解；
（1）因为，所以，，
所以 ，所以．
（2）证明与面积相等首先证明所有为定值：
因此，
，
所以csO+1→ ， O+1→=O+1→⋅O+1→2×2=csθ ，
故，
三角形面积公式：，
因此：,
,
故面积相等，得证.
（3），
，
不等式等价于，
代入得：，
整理化简得：21−λ2csθ+2λ2−1≥0 ，
因为，故，
上式是关于的一次函数，
一次函数在恒非负只需端点满足：恒成立；
，解得，
因此存在满足条件的，取值范围为或.
故.