2024-2025学年江苏省如东高级中学高一下学期期中数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省如东高级中学高一下学期期中数学试题（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足(1−i)(z+i)=1(i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A. −12B. −12iC. 13D. 12
2.已知a=(1,0),|b|=3,a⊥(a+b)，则a−b=( )
A. 12B. 2 3C. 8D. 2 2
3.已知tanα，tanβ是方程x2−2x−3=0的两根，则tan(2α+2β)=( )
A. −43B. −34C. 34D. 43
4.已知轮船A在灯塔B的北偏东45∘方向上，轮船C在灯塔B的南偏西15∘方向上，且轮船A，C与灯塔B之间的距离分别是10千米和10 3千米，则轮船A，C之间的距离是( )
A. 10千米B. 10 3千米C. 10 5千米D. 10 7千米
5.已知向量a=(0,−2)，b=(2,t)，若向量b在向量a上的投影向量为14a，则a⋅b=( )
A. −1B. −2C. 2D. 1
6.已知向量a=(x,6),b=(3,4)，且a与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为( )
A. [−8,+∞)B. (−8,92)∪(92,+∞)
C. [−8,92)∪(92,+∞)D. (−8,+∞)
7.如图，在▵ABC中，∠BAC=π4，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若AC=3，AB=2 2，则AP⋅CD值为( )
A. −1712B. 214C. 1312D. −1912
8.已知α,β为锐角，csα=17，sin(α+β)=5 314，则csβ=( )
A. −12B. 12C. 7198D. 12或7198
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，下列说法正确的是( )
A. 若复数z=1+i1−i(i为虚数单位)，则z30=−1
B. 若复数z满足z2∈R，则z∈R
C. 若复数z满足|z|=1，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆
D. 若复数z满足z−4i=2，则|z|的最小值为6
10.下列选项中，值为14的有( )
A. sin75°sin15°B. sin18°sin54°C. sin56°+sin4°cs56°+cs4°D. 12tan22.5°1−tan222.5°
11.在▵ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设▵ABC的面积为S，若2S=3bsinC+csinB，则下列命题中正确的是( )
A. 若A=π6，且b=7，则B有两解
B. 若C=2A，且▵ABC为锐角三角形，则c的取值范围为6 2,6 3
C. 若A=2C，且sinB=2sinC，则▵ABC的外接圆半径为2 3
D. 若b=2c，则S的最大值为6 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若1+ 2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则b= ．
13.在▵ABC中，已知asinAa2+c2−b2=bsinBb2+c2−a2，则▵ABC的形状为
14.如果满足∠ABC=45∘,AB=6,AC=b的▵ABC有且只有一个，那么实数b的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m−i(m∈R)，且z⋅(1+3i)为纯虚数(z是z的共轭复数)．
(1)求m的值；
(2)复数z2=a−i2021z在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=sin2x+2 3sinxcsx−cs2x+m的最大值为3．
(1)若f(x)的定义域为[0,π]，求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(x02)=115，x0∈[0,π2]，求cs2x0的值．
17.(本小题15分)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3cs2C=2sin(A+B)−1．
(Ⅰ)求csC；
(Ⅱ)若边AB上的中线CD=1，a+b= 5，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
如图，在▵ABC中，AB=2，AC=4，∠BAC=120°，BD=2DA，CE=2EB．
(1)求AE⋅CD的值；
(2)线段BC上是否存在一点P，使得CD⊥AP？若存在，请求出点P的位置，若不存在，请说明理由；
(3)若O是▵ABC内一点，且满足OC⃗+2OB⃗+mOA⃗=0⃗m∈R，求OA⋅OC+2OA⋅OB的最小值．
19.(本小题17分)
由倍角公式cs2x=2cs2x−1，可知cs2x可以表示为csx的二次多项式.对于cs3x，我们有cs3x=cs(2x+x)=cs2xcsx−sin2xsinx=2cs2x−1csx−2sinxcsxsinx=2cs3x−csx−21−cs2xcsx=4cs3x−3csx.可见cs3x可以表示为csx的三次多项式.一般地，存在一个nn∈N∗多项式使得Pn(t)=a0+a1t+a2t2+⋯+antna0,a1,a2,…,an∈R使得csnx=Pncsx，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫(P．L．Tscℎebyscℎeff)多项式．
(1)请求出P4(t)，即用一个csx的四次多项式来表示cs4x;
(2)利用结论cs3x=4cs3x−3csx，求出cs36∘的值；
(3)证明：a1+a2+a3+⋯+an≤2．
参考答案
1.A
2.B
3.D
4.D
5.D
6.B
7.D
8.B
9.AC
10.ABD
11.ABC
12.−2
13.等腰或直角三角形
14.[6,+∞)∪3 2
15.解：(1)解：因为复数z=m−i(m∈R)，
所以z=m+i(m∈R)，
则z⋅(1+3i)=m+i⋅(1+3i)=m−3+(3m+1)i，
因为z⋅(1+3i)为纯虚数，
所以m−3=03m+1≠0，解得m=3；
(2)复数z2=a−i20213−i=a−i3−i=a−i3+i3−i3+i=3a+110+a−310i，
因为复数z2=a−i2021z在复平面对应的点在第一象限，
所以3a+110>0a−310>0，解得a>3．

16.解：(1)f(x)= 3sin2x−cs2x+m=2sin(2x−π6)+m，
因为f(x)max=2+m=3，所以m=1．
此时f(x)=2sin(2x−π6)+1，
当x∈[0,π]时，2x−π6∈[−π6,11π6]，
令−π6≤2x−π6≤π2，得0≤x≤π3;
令3π2≤2x−π6≤11π6，得5π6≤x≤π，
所以f(x)的单调递增区间为[0,π3]和[5π6,π].
(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x−π6)+1．
由f(x02)=115，得2sin(x0−π6)+1=115，
所以sin(x0−π6)=35．
又因为x0∈[0,π2]，
所以x0−π6∈[−π6,π3]，
所以cs(x0−π6)= 1−sin2 (x0−π6)=45，
所以sin[2(x0−π6)]=2sin(x0−π6)cs(x0−π6)=2425，
cs[2(x0−π6)]=1−2sin2(x0−π6)=725，
所以cs2x0=cs[2(x0−π6)+π3]
=cs(2x0−π3)csπ3−sin(2x0−π3)sinπ3
=725×12−2425× 32=7−24 350．
故cs2x0的值为7−24 350．
17.解：(Ⅰ)因为3cs2C=2sin(A+B)−1，
所以6cs2C−3−2sinC+1=0，
所以3sin2C+sinC−2=0，
因为0cs30°= 32，所以m2=5+ 58，
所以cs36°=2cs218°−1=2×5+ 58−1= 5+14．
(3)因为多项式Pn(t)=a0+a1t+a2t2+…+antn，
即csnx=a0+a1csx+a2cs2x+…+ancsnx，
当x=0时，得1=a0+a1+a2+...+an，
当x=π2时，csnπ2=a0，即a0=1,n=4k,k∈Z−1,n=4k+2,k∈Z0,n=2k+1,k∈Z，即a0≤1；
又1=a0+a1+a2+...+an且a1+a2+...+an−a0≤a0+a1+a2+...+an=1，
所以a1+a2+...+an≤a0+a1+a2+...+an+a0=1+1=2．