2025--2026学年江苏省连云港市灌南县名校协作体高二下学期6月阶段检测数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省连云港市灌南县名校协作体高二下学期6月阶段检测数学试题-含解析试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：共8小题，每小题5分，满分40分．
1. 已知集合，那么（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足（i为虚数单位），则为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
4. 某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（ ）种.
A. 90B. 60C. 150D. 140
5. 展开式中含项的系数为（ ）
A. B. C. 220D. 380
6. 已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（ ）
A. 0.6B. 0.8C. 0.75D. 0.5
7. 在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：共3小题，每小题6分，满分18分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3
B. 若随机变量，则
C. 若事件，满足，则与是对立事件
D. 若事件，满足，则事件，相互独立
10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A. B. 展开式的二项式系数和为
C. 展开式的各项系数和为D.
11. 在棱长为1的正四面体中，M，N分别是棱AB，BC的中点，则下列说法正确的是
A. 正四面体外接球的体积是
B. 直线SM和AN所成角的余弦值为
C. 可以用棱长为的正方体切割出正四面体
D. 若正四面体的内切球为球O，在球O和各个顶角的空隙内分别放入一个和球O、顶角侧面都相切的小球，则这5个球的半径之和为
三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分．
12. 已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且，若，，则________．
13. 已知事件和满足，，，则______．
14. 在梯形ABCD中，，，E为CD上一点，，将△AED沿AE所在直线翻折成△AED＇（如图所示）.AD＇上一点M满足，在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为______.
四、解答题：共5大题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，满分77分．
15. 在数列中，.
（1）求；
（2）设，求数列的前项和.
16. 智能驾驶辅助系统是指利用车载传感器、控制器等装置、实现环境感知、规划决策与运动控制，辅助驾驶员完成部分驾驶操作，提升行车安全性与舒适性的系统，驾驶员仍需全程监管车辆并随时接管驾驶：驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度、为研究智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄的关系，随机调查了200名私家车车主，得到如下列联表：
（1）从这200名车主中随机抽取1人，已知该车主驾龄不超过5年，求该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关.
附：
17. 设函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值；
（3）若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围．
18. 已知点，，点是直线外的一个动点，直线，的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）已知直线交于，两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为，证明：
以下问题：
（ⅰ）直线过定点；
（ⅱ）为钝角三角形．
19. 如图1，在梯形中，，是线段 上的一点，，，将沿翻折到的位置．
（1）如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面．
（2）如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围．
（3）我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体的内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论．
数学
本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
一、单选题：共8小题，每小题5分，满分40分．
1. 已知集合，那么（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为，又，
则.
2. 若复数满足（i为虚数单位），则为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：，则．
3. 已知向量，满足，，，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
答案：C
解析：
思路：由向量的垂直结合向量数量积的运算公式即可求解.
解答过程：由题意得，即，
且，即，
，解得，.
4. 某班组织5名同学到三个不同社区志愿服务，每位同学只去一个社区且每个社区至少1人最多2人，则不同的安排方法有（ ）种.
A. 90B. 60C. 150D. 140
答案：A
解析：
思路：先确定分配人数只能是2，2，1，分组时注意除以消除重复，最后将3组全排列到3个不同社区
解答过程：5人只能按照2，2，1分组，分组方法有，将分好的3组分别派往3个不同社区：，
则不同安排方法共有
5. 展开式中含项的系数为（ ）
A. B. C. 220D. 380
答案：A
解析：
解答过程：的展开式的通项公式为，
所以展开式含项的系数为.
6. 已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5．现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（ ）
A. 0.6B. 0.8C. 0.75D. 0.5
答案：C
解析：
解答过程：记甲击中目标为事件，记乙击中目标为事件，则，，
记击中目标为事件，则，
所以，
又，所以.
7. 在四面体中，平面，，.若四面体的体积为，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：
在中，，，由三角形面积公式得，
由余弦定理得 ，故，
因为平面ABC，四面体体积，代入解得，
以B为原点，为轴，平面内垂直于的方向为轴，过B且垂直于平面的方向为轴，
得各点坐标：， ， ， ，，
设平面的法向量为，
则，解得，令得，即 ，
又向量 ，，
设AC与平面所成角为，根据线面角与向量夹角的关系，.
8. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，是正方形内的动点（包含边界），且平面，则点的轨迹长度为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：建立空间直角坐标系，利用线面平行，可知直线的方向向量与平面的法向量垂直，确定动点坐标之间的联系，从而找到过点且与平面平行的平面，与平面的交线即为动点的轨迹，最后计算轨迹线段长度即可.
解答过程：解：由正方体，可建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，
则，，，，所以，，
设平面的法向量，则，所以，
则，取，则，，所以.
由是正方形内的动点（包含边界），可设，其中，，则，
因为平面，所以，则，即，整理得，
当时，，此时，为中点；
当时，，此时，为中点，
连接，不难发现，，且，，
易证，平面平面，所以点的轨迹为线段，
因此，轨迹长.
二、多选题：共3小题，每小题6分，满分18分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3
B. 若随机变量，则
C. 若事件，满足，则与是对立事件
D. 若事件，满足，则事件，相互独立
答案：ABD
解析：
解答过程：对于选项A，可知，所以8个数据的第30百分位数为第3个数字，即3，所以A正确；
对于选项B，由二项分布可知，所以B正确；
对于选项C，由无法得出，所以无法判定与是否是对立事件，所以C错误；
对于选项D，可知，
可得，化简得，即事件，相互独立，所以D正确；
10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A. B. 展开式的二项式系数和为
C. 展开式的各项系数和为D.
答案：AD
解析：
解答过程：对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确；
对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确；
对于D：令，得，令，得，所以，故D正确．
11. 在棱长为1的正四面体中，M，N分别是棱AB，BC的中点，则下列说法正确的是
A. 正四面体外接球的体积是
B. 直线SM和AN所成角的余弦值为
C. 可以用棱长为的正方体切割出正四面体
D. 若正四面体的内切球为球O，在球O和各个顶角的空隙内分别放入一个和球O、顶角侧面都相切的小球，则这5个球的半径之和为
答案：ABC
解析：
思路：求得正四面体的外接球的半径为，结合球的体积公式，可判定A正确；利用向量的夹角公式，可判定B正确；根据正方体的性质，结合正方体的对角线长，可判定C正确；设正四面体的内切球的半径为，求得，在顶角处的小球的半径为，求得，可判定D不正确.
解答过程：对于A，设正四面体的外接球的半径为，
因为正四面体的棱长为，由正四面体的性质，可得，
所以外接球的体积为，所以A正确；
对于B，设，则，且两两夹角为，
可得，
由，
可得，可得，
且，可得，
又由，
设异面直线和所成的角为，
则，所以B正确；
对于C，如图所示，把正四面体放置在正方体中，
设正方体的棱长为，因为正四面体的棱长为，可得，解得，
所以用棱长为的正方体切割出正四面体，所以C正确；
对于D，设正四面体的内切球的半径为，高为，
因为正四面体的棱长为，可得，且，
设顶角处的小球的半径为，其中小球和内切球，侧面都相切，
若小球和内切球的切点作平行底面的截面，得到一个以为顶点的小正四面体，
设小正四面体的高为，可得，
所以小球的半径为，
所以5个球的半径和为，所以D不正确.
三、填空题：共3小题，每小题5分，满分15分．
12. 已知某种树苗在一个生长周期内生长的高度为随机变量，且，若，，则________．
答案：##0.45
解析：
思路：根据正态曲线对称的性质即可求解．
解答过程：因为，
所以，则．
13. 已知事件和满足，，，则______．
答案：##
解析：
解答过程：由，所以，得.
所以，
又，
所以.
14. 在梯形ABCD中，，，E为CD上一点，，将△AED沿AE所在直线翻折成△AED＇（如图所示）.AD＇上一点M满足，在翻折过程中，二面角的正弦值的最大值为______.
答案：
解析：
思路：过作于，利用已知可得，过作于，进而可得，过作于，为二面角的平面角，计算可求得最大值.
解答过程：过作于，因为，，
所以四边形是矩形，所以，
所以，所以，
又因为，，，所以，
又因为，所以，
所以，过作于，
则，
所以，过作于，
因为，又，平面，
所以平面，所以为二面角的平面角，
因为，又，所以，
又因为，所以，
由正弦定理可得，所以.
四、解答题：共5大题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，满分77分．
15. 在数列中，.
（1）求；
（2）设，求数列的前项和.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用“累加法”求数列的通项公式.
（2）利用“裂项求和法”求数列的前项和.
（1）因为在数列中，，
当时，，
所以；
又符合上式，所以；
（2）由（1）知,
则 ，
所以.
16. 智能驾驶辅助系统是指利用车载传感器、控制器等装置、实现环境感知、规划决策与运动控制，辅助驾驶员完成部分驾驶操作，提升行车安全性与舒适性的系统，驾驶员仍需全程监管车辆并随时接管驾驶：驾龄是指初次领取机动车驾驶证至今的时间长度、为研究智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄的关系，随机调查了200名私家车车主，得到如下列联表：
（1）从这200名车主中随机抽取1人，已知该车主驾龄不超过5年，求该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率；
（2）根据小概率值的独立性检验，分析智能驾驶辅助系统使用情况是否与驾龄有关.
附：
答案：（1）0.58
（2）有关
解析：
（1）设事件A为“车主驾龄不超过5年”，事件B为“车主经常使用智能驾驶辅助系统”.
由题意可知：，，根据条件概率公式得：，
所以该车主经常使用智能驾驶辅助系统的概率为0.58.
（2）提出假设：智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄无关，
根据表中数据可得：，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为智能驾驶辅助系统使用情况与驾龄有关，该推断犯错误的概率不超过0.010.
17. 设函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值；
（3）若函数在有三个不同的零点，求b的取值范围．
答案：（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）解析：
思路：（1）对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程；
（2）求导，利用导数分析函数在区间内的单调性和极值，结合端点值确定函数在区间内的最大值和最小值；
（3）把零点问题转化为直线与的交点问题，结合（2）作出的大致图象，结合图象求b的取值范围．
（1）函数求导得，
则，
曲线在点处的切线方程为：
，即．
（2）令，解得或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
为极大值点，为极小值点，
，
，
，
，
综上可得，函数在区间上的最大值为，最小值为．
（3）函数在有三个不同的零点，
等价于直线与有3个不同交点，
由（2）知，的极大值为，极小值，
作出大致图象如下：
由图象可知，要使直线与有3个不同交点，
则需满足：，解得．
18. 已知点，，点是直线外的一个动点，直线，的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线．
（1）求的方程；
（2）已知直线交于，两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为，证明：
以下问题：
（ⅰ）直线过定点；
（ⅱ）为钝角三角形．
答案：（1），；
（2）（ⅰ）设，，，显然的斜率不为零，否则有，，直线，此时，
而直线和的斜率之商为2，故矛盾，故设直线，
由，得，
依题意，，且，
所以，且，，，，，
因为直线和的斜率之商为2，所以，
因为点在上，所以，即，
所以，即，
即，化简可得，解得：，
此时恒成立，所以，过定点；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，，当，即时， ，
所以点均在的右支，如图，
此时，
所以是钝角，是钝角三角形；
当时，即或，，
所以分别在的两支，不妨设在的右支，则，如图，
设，则，
所以，因为过点，所以,
所以是钝角，是钝角三角形.综上可知，是钝角三角形.
解析：
思路：（1）先设动点坐标，，再根据条件转化为坐标关系式，求曲线方程；
（2）（ⅰ）设直线方程并联立，代入双曲线方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理化简目标代数式后，可得定点；（ⅱ）利用向量的数量积可判断三角形的形状.
（1）设，，
由题意可知，，整理为，，
所以双曲线的方程为，；
（2）（ⅰ）略
（ⅱ）略
19. 如图1，在梯形中，，是线段 上的一点，，，将沿翻折到的位置．
（1）如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面．
（2）如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围．
（3）我们把与两条异面直线都垂直相交的线段叫做两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度是两条异面直线上两点间距离的最小值．如图3所示，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线段，记四面体的内切球半径为，比较与的大小，并证明你的结论．
答案：（1）连接，由题意知，
，而，是的中点，所以，
又，，所以四边形为平行四边形，故，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面
（2） （3），证明如下：
是四面体的表面积，，令与面所成角为，
，
，，
因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是，
，（取不到等号），
，，
解析：
思路：（1）通过面面垂直证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设，根据，求出的范围，将平面与平面所成锐二面角余弦值表示为的函数，再求范围；（3）证明关键，.
（1）略
（2）在平面内作的垂线作为轴，所以轴，
如图以为坐标原点，分别以，为，轴正半轴建立空间直角坐标系：
因为，，设，
所以，，，，，
则，，
所以，，
，，．
设平面的法向量，
得，取，
，解得．
设平面的法向量，
得，取，得，
设平面与平面所成锐二面角为，则
，
由于在上单调递增，故，
故，
所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是．
（3）略经常使用智能驾驶辅助系统
不经常使用智能驾驶辅助系统
合计
驾龄≤5年
58
42
100
驾龄＞5年
36
64
100
合计
94
106
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
经常使用智能驾驶辅助系统
不经常使用智能驾驶辅助系统
合计
驾龄≤5年
58
42
100
驾龄＞5年
36
64
100
合计
94
106
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828