2025--2026学年江苏省连云港市灌南县高二下学期期末学业水平质量监测数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省连云港市灌南县高二下学期期末学业水平质量监测数学试题-含解析试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. iB. C. 1D.
3. 如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（ ）
A. 11B. 13C. 15D. 17
4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. 20C. D. 15
6. 某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表：
发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
7. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：共3小题，满分18分.
9. 设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
10. 景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A. 该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为
B. 该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小
C. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为
D. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为
11. 在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：共5小题，满分15分.
12. 已知随机变量，且，则__________.
13. 某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到下侧列联表.已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为__________.
参考公式：，其中.
14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____.
四、解答题：共5大题，满分77分.
15. 已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
16. 根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立．
（1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率；
（2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望．
17. 已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数的图像上存在两点，，使得曲线在两点处的切线互相平行，且线段的中点在上，求的取值范围.
18. 已知双曲线：的离心率为，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为．过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求直线的方程；
（3）试证明为定值
19. 如图，四棱台的底面为正方形，侧面为等腰梯形，，，为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值．
（3）在上是否存在一点，使的体积为，若存在，求与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.
数学
一、单项选择题：共8小题，满分40分.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：求出集合,利用交集的定义求解即可.
解答过程：由题可得：，
所以.
故选：C
2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. iB. C. 1D.
答案：D
解析：
思路：根据复数的乘法运算求出复数，再根据共轭复数及复数虚部的定义即可得解.
解答过程：由，
得，所以，
所以，其虚部为.
故选：D.
3. 如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（ ）
A. 11B. 13C. 15D. 17
答案：B
解析：
思路：按照焊接点脱落的个数分类讨论，运用分类加法计数原理求解即可.
解答过程：按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有共2种情况，
若脱落2个，则有共6种情况，
若脱落3个，则有共4种情况，
若脱落4个，则有共1种情况，
由分类加法计数原理，情况种数共有种．
故选：B．
4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据线面垂直的性质可得，进而求得，即得.
解答过程：因为，所以，
又，
即，
解得：，
所以，
故选：C.
5. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. 20C. D. 15
答案：A
解析：
解答过程：由题意得的通项公式为，
令，可得，即其常数项为.
6. 某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表：
发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
答案：A
解析：
思路：将代入经验回归方程计算即可得.
解答过程：，，
则，解得.
7. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解.
解答过程：设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示，
则.
某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为
所以.
故选:B.
8. 在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据题设定义得平面的法向量为，结合直线方向向量，求线面角的正弦值.
解答过程：由过，可化为，
所以平面的法向量为，而直线的方向向量为，
所以直线与平面的所成角的正弦值.
故选：D
二、多项选择题：共3小题，满分18分.
9. 设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
答案：BD
解析：
思路：用空间几何中线、面平行与垂直的判定定理与性质，构造反例来排除错误选项即可.
解答过程：若，，则或m与n相交或m与n异面，选项A错误;
若，，则，选项B正确;
若，，则或α与β相交，选项C错误;
若，，则或，又，则，选项D正确.
10. 景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A. 该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为
B. 该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小
C. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为
D. 若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为
答案：BCD
解析：
思路：设相应事件，利用全概率公式求，即可判断B，结合条件概率公式判断ACD.
解答过程：设该游客第一次选择套餐为事件，第二次选择套餐为事件，
则，，且，，
可得，.
对于选项A：该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐为事件，
其概率为，故A错误；
对于选项B：因为，
即，所以该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小，故B正确；
对于选项C：因为，
所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故C正确；
对于选项D：因为，则，
所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故D正确.
11. 在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 点到平面的距离为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
答案：AC
解析：
思路：对于A，判断FG与平面关系：正方体棱长，、为特定棱中点，得FG与平行，FG不在平面内，在该平面内，所以FG平行平面.
对于B，求AE与FG所成角余弦值：连BG、BF，AE与BG平行，是所成角或补角，由棱长算BG、GF、BF长，用余弦定理得值，取绝对值得正确值.
对于C，求点到平面距离：算边长和面积，设距离为，利用求出.
对于D，求外接球表面积：算正方体相关线段长，确定射影位置，设半径和球心，根据关系求，再算表面积.
解答过程：在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，
所以，又平面平面，所以平面，故A正确；
连接，易得，所以为直线与所成的角或补角，又易得，
由余弦定理得，所以直线与所成角的余弦值为，故B错误；
在中，，所以，
设点到平面的距离为，又，
所以，解得，即点到平面的距离为，故C正确；
易得，所以为直角三角形，所以在底面的射影为的中点，设为，
设外接球半径为，球心为，由，解得，所以外接球的表面积为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：共5小题，满分15分.
12. 已知随机变量，且，则__________.
答案：
解析：
思路：根据正态分布的性质求解.
解答过程：因为随机变量，且，
所以，
则.
故答案为：
13. 某传媒公司针对“社交电商用户是否存在性别差异”进行调查，共调查了个人，得到下侧列联表.已知，若根据的独立性检验认为“社交电商用户存在性别差异”，则的最小值为__________.
参考公式：，其中.
答案：3
解析：
思路：由题意，应用卡方公式得，根据独立检验的结论确定的最小值.
解答过程：由题设，零假设社交电商用户与性别无关，
而，
则，
所以根据的独立性检验认为是不是社交电商用户与性别有关，则的最小值3.
故答案为：3
14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____.
答案：
解析：
思路：在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值.
解答过程：在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.

因为点是棱的中点，所以.
设，其中，
连接，则，，
所以点到直线的距离
．
设，，则，
所以．
所以当，即，即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为.
故答案为：.
四、解答题：共5大题，满分77分.
15. 已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
答案：（1）；
（2）解析：
思路：（1）两边取倒数，结合等差数列通项公式进行求解；
（2）裂项相消法求和即可
（1）两边取倒数得，
即，又，所以，
从而为首项为，公差为2的等差数列，
所以，
故，
（2），
所以.
16. 根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立．
（1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率；
（2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）将事件“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”拆分为“抽取的是本地会员且满意”和“抽取的是外地会员且满意”这两个互斥事件，分别计算出其概率再相加.
（2）先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布的概率公式求出的分布列，最后利用数学期望公式计算期望.
（1）设事件表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件表示“抽取的会员是本地会员”，事件表示“抽取的会员是外地会员”.
因为本地会员占70%，外地会员占30%，.
本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，.
.
即该店所有会员中随机抽取1名会员，其对该店商品质量满意的概率为.
（2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，每名会员对该店商品质量满意的概率为，且每名会员对该店商品质量满意与否相互独立，故随机变量.
由题意，可取.
.
的分布列为
.
17. 已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数的图像上存在两点，，使得曲线在两点处的切线互相平行，且线段的中点在上，求的取值范围.
答案：（1）
（2）当时，在，上单调递增，在上单调递减.
当时，在上单调递增.
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（3）解析：
思路：（1）第一问先代入得到具体函数,求导后算出处的函数值与导数值,由切线斜率为0直接写出切线方程；
（2）先对函数求导并通分因式分解,得到导数零点为和,再根据参数与1的大小关系分三种情况讨论,分别判断定义域内各区间导数的正负,进而得出每种情况下函数的递增、递减区间,最后整合写出单调区间的完整结论.
（3）利用两点处切线平行则导数值相等建立等式,化简推导出,再由中点横坐标条件得到,进而构造以为根的一元二次方程,结合方程有两个不等正根的判别式与参数范围要求,解出的取值范围.
（1）函数，定义域为，.
当时，.求导得.
代入，，.
切线斜率为，切线方程为.
（2）求导得.
令，得或
①当时：时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增.
②当时：，在上单调递增.
③当时：时，，单调递增；
时，，单调递减；
时，，单调递增.
综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减.
当时，在上单调递增.
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（3）由题意，处切线平行，故.
即，整理得，
即，因，故.
又中点在上，故，即.
于是是方程的两个根,题干等价于二次方程有两个不等的正根.
所以满足条件：解得.
故的取值范围是.
18. 已知双曲线：的离心率为，左､右顶点分别为，，右焦点到其中一条渐近线的距离为．过的直线与双曲线交于，两点，直线，交于点，直线，交于点，设点为中点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求直线的方程；
（3）试证明为定值
答案：（1）
（2） （3）由（2）知，，，则．
将代入直线方程中，可得，
同理可得，
所以
，即，
，
，
所以，
而，
所以．
解析：
思路：（1）根据条件建立方程组，直接求出，即可求解；
（2）设直线方程为，，，联立直线与双曲线方程，得，，再联立直线方程分别求出的横坐标，即可求解；
（3）根据条件求出，即可求解.
（1）易知双曲线：的渐近线方程为，右焦点为，
由题意知， 解得，，，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，，，，
由题可设过的直线方程为，，，
联立，消整理得，
则，，，
又直线方程为，直线方程为，
联立解得
，即点的横坐标为，
同理可得，点的横坐标为．
所以直线的方程为．
（3）略
19. 如图，四棱台的底面为正方形，侧面为等腰梯形，，，为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值．
（3）在上是否存在一点，使的体积为，若存在，求与平面所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.
答案：（1）证明：由题可知，所以，
所以，
所以，即
又四边形是正方形，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，故平面平面；
（2） （3）存在，
解析：
思路：（1）由勾股定理可得，即，又，根据线面垂直判定定理可证平面，最后由面面垂直的判定定理得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，代入公式运算得解.
（3）根据等体积法求出点的位置，再利用向量法求线面夹角的正弦值.
（1）略
（2）过点作直线平面，以为坐标原点建立如图坐标系，
过作，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以为四棱台的高，
又，所以，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则由，得，
令，所以，
设平面的一个法向量为，
则由，得，
令，得平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
（3）假设在上存在一点，使的体积为，
设，
所以，
解得，所以，，
由（2）可知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，
所以在上存在一点，使的体积为，此时与平面所成角的正弦值为注意事项
1．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
耕种深度
2
3
5
6
每公顷产量
m
5
7
8
是社交电商用户
不是社交电商用户
合计
男性
女性
合计
注意事项
1．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.
3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
耕种深度
2
3
5
6
每公顷产量
m
5
7
8
是社交电商用户
不是社交电商用户
合计
男性
女性
合计
0
1
2
3
0
1
2
3