2025--2026学年江苏连云港市灌南县高一下册期中调研考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏连云港市灌南县高一下册期中调研考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若向量，，则与的夹角为（ ）．
A. B. C. D.
2. 若复数（）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. 1C. iD.
3. 若，则
A. B. C. D.
4. 在中，已知，，，则（ ）
A. 1B. C. D. 3
5. 已知，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，交于F，设，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数与函数的图象在内交点的横坐标依次是，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10. 下列式子正确的是（ ）
A. B. 已知，，则
C. D.
11. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 直线必过边的中点
C.
D. 若，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则的值为________．
13. __________.
14. 已知平面向量，，且，则在上的投影向量为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，，，求：
（1）与的夹角的余弦值；
（2）与的夹角的余弦值．
16. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若csB，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
17. 已知，，.
（1）求的值.
（2）求的值.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
（3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围．
19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求的最大值；
（2）若为钝角，求：
（ⅰ）m的取值范围；
（ⅱ）的取值范围．
参考公式：；
；
数学
考试时间120分钟，试卷总分150分.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若向量，，则与的夹角为（ ）．
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：，
因为，所以与的夹角为.
2. 若复数（）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. 1C. iD.
答案：B
解析：
解答过程：由，
因为复数（）是纯虚数，所以，解得，
所以，即，故z的共轭复数的虚部为.
3. 若，则
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：分析：由公式可得结果.
详解：
故选B.
点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.
4. 在中，已知，，，则（ ）
A. 1B. C. D. 3
答案：D
解析：
思路：利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
解答过程：设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
方法提示：利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
5. 已知，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用正切化弦，再结合展开式求出和，最后利用同角三角函数基本关系求解.
解答过程：由题意，因为，，
则，解得，
由余弦差角公式.
因为，所以，即
所以.
6. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先由正弦定理，由题中条件，得到，再由三角形有两个解，得到，从而可求出结果.
解答过程：因为，，
由正弦定理可得，所以，
又满足题意的三角形有两个，所以只需，即，
解得.
故选：C.
7. 如图，在中，，，交于F，设，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用共线向量定理的推论结合已知条件可得，，从而可得，求出可得答案
解答过程：因为，，
所以，
因为三点共线，
所以，
因为三点共线，
所以，
所以，解得，
所以，
故选：B
8. 设函数与函数的图象在内交点的横坐标依次是，且，则实数（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用诱导公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，从而求得正确答案.
解答过程：由题意可知，
所以，又，
所以，则，
所以
，
因为，解得.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
答案：AC
解析：
思路：由复数的运算逐项判断可得.
解答过程：设 ，
对于A，有 ，正确；
对于B，若 ，则有 ，
比如 ，则有 ，但 ，错误；
对于C，若 ，则有 ，不妨设 ，并且 ，
则 ， 代入①，整理得 ，故 ， ；
若 ，则 或 ，若 代入①得 ，
若 代入①得 ，
综上，C 正确；
对于D，若 ，表示 在复平面上对应的点到原点的距离相等，显然不能推出 ，
比如 ，则 ， ，错误；
10. 下列式子正确的是（ ）
A. B. 已知，，则
C. D.
答案：AC
解析：
思路：对A：根据辅助角公式即可求解；对B：根据二倍角正弦、二倍角余弦公式即可求解；对C：利用二倍角正切公式即可求解；对D：根据正切和角公式即可求解.
解答过程：选项A：，A选项正确；
选项B：，所以，
则，
代入得，B选项错误；
选项C：因为，
所以，C选项正确；
选项D：因为，
所以，D选项错误.
11. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）
A.
B. 直线必过边的中点
C.
D. 若，且，则
答案：ACD
解析：
思路：根据题设条件，化简得到，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的.
解答过程：如图所示，点O为所在平面内一点，且，
可得，即，
即，所以，所以A是正确的；
在中，设为的中点，
由，可得，
所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确；
由，可得且，
所以，所以，可得，所以
所以，所以C正确；
由，可得
因为，且，
可得，
所以，所以D是正确的.
故选：ACD.
方法提示：本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，则的值为________．
答案：2
解析：
解答过程：由得，
所以，所以，所以.
13. __________.
答案：
解析：
思路：利用展开计算即可
解答过程.
故答案为.
14. 已知平面向量，，且，则在上的投影向量为________．
答案：
解析：
解答过程：因为，，所以在上的投影向量为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知，，，求：
（1）与的夹角的余弦值；
（2）与的夹角的余弦值．
答案：（1）
（2）．
解析：
思路：（1）由数量积的运算律及向量夹角的计算公式可得；
（2）分别计算出，再根据夹角的计算公式求解.
（1），．
又，，解得．
，.
（2）由（1）可得，
．
．
与的夹角的余弦值为．
16. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若csB，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
答案：（1）2（2）5
解析：
思路：（1）利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式即可求解；
（2）由（1）利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，结合三角形的面积公式可求，联立解得，的值，根据余弦定理可求的值，即可得解三角形的周长．
解答过程：（1）∵，
∴sinBcsA﹣2sinBcsC＝2sinCcsB﹣sinAcsB，sinBcsA+sinAcsB＝2sinCcsB+2sinBcsC，
可得sin（A+B）＝2sin（B+C），即sinC＝2sinA，
∴2．
（2）∵由（1）可得sinC＝2sinA，
∴由正弦定理可得c＝2a，①
∵csB，△ABC的面积为，
∴sinB，由acsinBac•，解得ac＝2，②
∴由①②可得a＝1，c＝2，
∴由余弦定理可得b2，
∴△ABC的周长a+b+c＝1+2+2＝5．
方法提示：本题主要考查了正弦定理、两角和的正弦函数公式、同角三角函数基本关系式，考查了三角形的面积公式、余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
17. 已知，，.
（1）求的值.
（2）求的值.
答案：（1）；（2）.
解析：
思路：
（1）根据二倍角的余弦公式，结合已知，得到答案；（2）根据的值和的范围，判断出和的范围，得到和的值，从而利用两角和的正弦公式，得到答案.
解答过程：（1）因为，所以.
（2），，
，
，，
.
又，
，
.
方法提示：本题考查二倍角的余弦公式，利用同角三角函数关系进行求值，利用两角差的正弦公式进行求值，属于简单题.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围；
（3）若，且外接圆半径为2，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）直接利用正余弦定理余弦定理边角互化解三角形即可求解；
（2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解；
（3）易得三角形为等边三角形，取中点，可得，由P为上的一动点，可得，进而可求的取值范围.
（1）依题意，由正弦定理，，
由
可得，
由余弦定理，，
则，则，
因为，所以；
（2）由为锐角三角形，，
可得，解得，
由正弦定理，则，
，，，
；
（3）由正弦定理，则，则，
由，可得，则，
则三角形为等边三角形，取中点，如图所示：
则
，
由，，则，则.
19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求的最大值；
（2）若为钝角，求：
（ⅰ）m的取值范围；
（ⅱ）的取值范围．
参考公式：；
；
答案：（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
解析：
思路：（1）由题意结合余弦定理，可得，从而得的最大值；
（2）由为钝角，得，结合，分离参数，利用基本不等式可得的取值范围；利用参考公式，将化为的函数，由的取值范围即可得到的取值范围.
（1）当时，，所以，
因为，所以，则的最大值为．
（2）（ⅰ）因为为钝角，即存在，，使得，即，
即，成立；
因为（当且仅当时，取等号），所以.
又，所以，即.
（ⅱ）因为，所以，
则，
因为，
所以，
所以，
则，
，
所以.
所以，
因为，所以，所以，
即．