2025--2026学年吉林省通化市梅河口市第五中学高一下学期5月阶段检测数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年吉林省通化市梅河口市第五中学高一下学期5月阶段检测数学试题-含解析试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
5. 已知，若恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
6. 古希腊数学家在研究正五角星时，发现其内部包含顶角为的等腰三角形，这类三角形的底边长与腰长之比为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期是，最小值是0B. 的最小正周期是，最小值是1
C. 的最小正周期是，最小值是0D. 的最小正周期是，最小值是1
8. 如图，在中，，E在边AC上，且，若，，则（ ）
A. 20B. 24C. 26D. 28
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各式计算不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10. 铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，，在正方形的边上，且，关于点对称，则的值可能是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
11. 已知函数（）的两个相邻的零点为，，且，则的值可以是（ ）
A. 3B. 6C. 12D. 15
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则________.
13. 若，，且，，则______；
14. 已知， ， 是平面向量， 是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ________ ．
四、解答题：本题共5个小题，共77分．
15. 已知向量，，满足，，.
（1）求向量，所成的角的大小；
（2）若，求实数的值.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求角A的大小；
（2）若D为BC中点， ， ，求边a；
（3）若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．
17. 已知函数.
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，，且，均为锐角，求的值.
18. 若函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.
①当时，的最大值为，求的值；
②已知的三个顶点均在函数的图象上，且，，，点在线段上运动，求的取值范围.
19. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为.
（1）若，则
①求；
②若，设点为的“点”， 求；
（2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值.
数学
一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.每小题所给选项中有且只有一个正确选项）
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用二倍角正弦公式，结合平方关系，弦化切，则代入求值即可.
解答过程：因为，
所以，
故选：C
2. 若向量，满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：结合已知条件求出，，，再利用向量的模的公式求解即可 .
解答过程：由得，，
由得，，即，所以.
又，所以，即，所以.
所以.
3. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用诱导公式建立已知角与待求式中角的关系，结合同角三角函数基本关系、二倍角公式计算即可．
解答过程：由，得，
又，所以，
所以，
，
所以．
4. 设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（ ）
A. 2B. C. 4D.
答案：C
解析：
思路：利用正弦定理化边为角，利用两角和的正弦公式，结合同角三角函数商数关系即可求解.
解答过程：因为，由正弦定理化边为角可得，
因为，
所以，
整理可得，所以，即，所以.
5. 已知，若恒成立，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：若恒成立，即，由余弦的二倍角公式和辅助角公式化简，求出，此时，则，由诱导公式即可得出答案.
解答过程：，
其中，，所以当时，.
若恒成立，则，
此时，则，即，
.
故选：A.
6. 古希腊数学家在研究正五角星时，发现其内部包含顶角为的等腰三角形，这类三角形的底边长与腰长之比为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据已知条件求得，然后利用半角公式求得.
解答过程：顶角为的等腰三角形，底角为，
由题意可得，
则.
7. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期是，最小值是0B. 的最小正周期是，最小值是1
C. 的最小正周期是，最小值是0D. 的最小正周期是，最小值是1
答案：D
解析：
解答过程：由题意可得,
所以，则的最小正周期，且.
8. 如图，在中，，E在边AC上，且，若，，则（ ）
A. 20B. 24C. 26D. 28
答案：A
解析：
思路：根据给定条件，利用数量积的运算律及性质列式求解.
解答过程：由，得，
而E在边AC上，且，所以
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列各式计算不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：ABD
解析：
思路：利用和差角的三角函数公式、辅助角公式、二倍角公式逐项求解判断.
解答过程：对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，sin15∘cs75∘=sin215∘=1−cs30∘2=2−34，C正确；
对于D，由，得tan20∘+tan25∘=1−tan20∘tan25∘，
因此，D错误.
10. 铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，，在正方形的边上，且，关于点对称，则的值可能是（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
答案：BC
解析：
解答过程：由题意可得PM⋅PN=PO+OM⋅PO+ON= PO+OM⋅PO−OM= =9−OM2.
因为正方形的边长为2，所以，所以1≤OM2≤2 ，则7≤PM⋅PN≤8 .
11. 已知函数（）的两个相邻的零点为，，且，则的值可以是（ ）
A. 3B. 6C. 12D. 15
答案：AD
解析：
解答过程：
，令，
得或,
即或，
所以相邻的零点间距为或，结合已知条件解得或.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则________.
答案：
解析：
思路：利用诱导公式先化简，再将弦化为切即可求解.
解答过程：由题意有：，
故答案为：.
13. 若，，且，，则______；
答案：
解析：
思路：先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，再根据的范围确定其具体值.
解答过程：因，所以.
所以，
因为，，，
所以，
所以
因为，，所以.
在这个区间内，时，.
故答案为：.
14. 已知， ， 是平面向量， 是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ________ ．
答案：##
解析：
思路：根据向量坐标运算可得的终点对应的轨迹圆和的的终点轨迹所在射线，进而将问题转化为直线上的点到圆上点的最小距离，利用点到直线的距离公式结合圆的半径求解.
解答过程：因为是单位向量，所以可令，设，
由，可得：，整理得：，
即的终点轨迹是以为圆心，半径的圆.
因为非零向量与夹角为，所以的终点在射线上，
故的几何意义是：射线上的点到圆上点的距离，最小值为圆心到射线的距离减去圆半径.
由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离：，
垂足为，在射线上，因此最小距离为：.
四、解答题：本题共5个小题，共77分．
15. 已知向量，，满足，，.
（1）求向量，所成的角的大小；
（2）若，求实数的值.
答案：（1），（2）
解析：
思路：（1）由题意可知，，变形整理得，求解即可.
（2）由题意可知，，解方程即可.
解答过程：（1）
，即
则，即
（2），，
即
方法提示：本题考查向量的数量积运算，属于中档题.
16. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，
（1）求角A的大小；
（2）若D为BC中点， ， ，求边a；
（3）若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值．
答案：（1）
（2） （3）6
解析：
思路：（1）由正弦定理以及两角和的正弦公式可得；
（2）利用以及余弦定理可得；
（3）利用正弦定理得，结合三角函数求值域.
（1）因为，所以由正弦定理可得，
在中， ，
所以，
即，
因为，所以，
因为，所以；
（2）因为，
所以，
，
又，所以，所以，
又因为，所以．
（3）由正弦定理得，可得， ，
，
，
因为是锐角三角形，且，则，
得，得，，， 故的周长最大值为6．
17. 已知函数.
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，，且，均为锐角，求的值.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
（1）.
（2），即，
.
（3）因为，均为锐角，所以，
因为，，
所以，解得.
18. 若函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.
①当时，的最大值为，求的值；
②已知的三个顶点均在函数的图象上，且，，，点在线段上运动，求的取值范围.
答案：（1）
（2）①，；②.
解析：
思路：（1）通过对函数的部分图象的分析，可知，，可得，再由计算出，从而得到函数的解析式；
（2）函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到;
①由时，的最大值为可知，
的最大值等于区间内的最大值减最小值为，从而得到，或，，从而解出的值；
②设，通过坐标运算把转化为关于的函数，最后由计算出的取值范围.
（1）由图可知，
，可得，则
由，则，，得，，
又，则，故；
（2）①图象上所有的点向右平移个单位长度，得到，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到，周期为，
当，令，则，区间长度为.
的最大值等于区间内的最大值减最小值，
由题该值为，仅当最大值为、最小值为时满足.
因此，或，
解得，或，
综上所述，
②设，
因为，，，
所以，，
，
因为，所以，于是有，
所以，
所以的取值范围是.
19. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为.
（1）若，则
①求；
②若，设点为的“点”， 求；
（2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值.
答案：（1）①；②；
（2）.
解析：
思路：（1）①由正弦定理，边化角，利用两角和的正弦公式化简，即可求解；
②由三角形面积公式及向量数量积求解；
（2）由三角恒等变换可知，再设，，，，得到，结合三个余弦定理表示，和，勾股定理确定等量关系，再结合基本不等式，即可求解；
（1）①在 中，由正弦定理得，
，有，
，
，
，，又，
；
②由①知，则 的三个角都小于，
由“点”定义知：，
设，，，由得
，整理得，
所以
.
（2）由，结合正弦定理，
有，均为三角形内角，
或（舍），即，，
由点为的“点”，得，
设， ，，，
由， 得， 由余弦定理得
，
，
，
相加得，得，
整理得，
于是，当且仅当，即时取等号，
又 因为 而 解得，所以实数的最小值为.