吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（）含答案

这是一份吉林通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题（）含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知数据的中位数为2，方差为3，那么数据的中位数和方差分别为（ ）
A．2，3B．7，6C．7，12D．4，12
3．某品牌家电公司从其全部200名销件员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（单位：百万元）内，将其分成5组：，并整理得到如下的频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）
A．频率分布直方图中a的值为0.06
B．估计全部销售员工销售额的中位数为15
C．估计全部销售员工中销售额在区间内有6人
D．估计全部销售员工销售额的第76百分位数为17
4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响.若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ）
A．0.6B．0.7C．0.8D．0.9
5．已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则，共面
B．若，则与有公共点
C．若与无公共点，且，则
D．若存在平面，使得，，，则
6．如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，角，，所对的边分别为，，，，设的面积为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
8．若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．（多选题）已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则的虚部为D．若，则
10．在中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．，则
C．若，，有两解，则
D．
11．如图，在正方体中，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．几何体是三棱台
B．直线与平面相交
C．二面角的平面角的正切值为
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．在中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，，则______.
13．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，过点的平面∥平面，则平面截该正方体所得截面的面积为________．

14．某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示：已知，，路宽米.设，则制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小值为_________.
四、解答题
15．已知复数满足.
(1)求；
(2)已知是关于的实系数一元二次方程的一个根，分别求 的值.
16．已知向量.
(1)当时，求实数的值；
(2)当时，求向量与的夹角的余弦值；
(3)当为钝角时，求的取值范围.
17．俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：

(1)求样本中数据落在的频率；
(2)求样本数据的第50百分位数；
(3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.
18．如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求点到平面的距离.
19．一个上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2的圆台，如图所示，等腰梯形ABCD是圆台的轴截面，P为圆台上底面圆周上一点

(1)若平面APC与圆台下底面的圆周交于点Q．
（ⅰ）证明：平面ADQ；
（ⅱ）若四棱锥的体积为，求二面角的正弦值；
(2)若圆台是封闭容器（容器壁厚度忽略不计），且圆台内有两个半径相等的铁球，求铁球半径的最大值．
《2026年7月16日高中数学作业》参考答案
12．或
13．
14．
15．(1)
(2)
【详解】（1）设复数，所以，
又，
所以，解得，
所以；
（2）由题意得：是关于的实系数一元二次方程的一个根，
所以也是实系数一元二次方程的另一个根，
所以，解得.
16．(1)
(2)
(3)
【详解】（1），
因为，
，
所以.
（2），
因为，所以，
所以，
.
（3）角为钝角，即，且与不能反向共线，
所以，因为，可得，
且，
综上.
17．(1)0.4
(2)52.5
(3)
【详解】（1）由频率分布直方图可得：组距为10，所以：
，
得：，故样本中数据落在的频率为：.
（2）设第50百分位数为，易得位于50和60之间，
则有：
解得：.
（3）分组人数为：人；
分组人数为：人，
利用分层抽样的方法易得：
分组抽人，
分组抽人，
从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即：
2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组，
故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：.
18．(1)取中点，连接，．
在中，，分别为，的中点，
所以，且．
由已知，，所以，且．
所以四边形为平行四边形．所以．
又因为平面，且平面，所以平面．
(2) 在正方形中，．又由题知，
直线，在平面内，且相交于点，所以平面，
又平面，所以平面平面，即平面平面.
(3).
【详解】(1)略
（2）略
(3)在直角梯形中，，，可得，．
在中，，
所以．所以．
由(2)知，平面与平面垂直且交线为，所以平面．
又因为平面，所以平面平面．
过点作的垂线交于点，则平面
所以点到平面的距离等于线段的长度
在直角三角形中，
，
所以
所以点到平面的距离等于．
19．(1)（ⅰ）因为圆台上、下底面平行，平面与上底面的交线为，与下底面的交线为，
所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（ⅱ）
(2)
【详解】（1）（ⅰ）略
（ⅱ）因为圆台上底面半径为1，下底面半径为2，所以，
如图1，连接，则，则，

又因为.圆台的高为.
则，所以，
又因为，所以点到直线的距离为2，所以，则.
过点作，垂足为，过点作，交于点，连接，
因为，所以，因为平面，所以，所以平面，
所以，则即为二面角的平面角，
因为，，则，所以，
所以，
所以；
（2）由（ⅰ）（ⅱ）可知为圆台的轴截面，，
因为是等腰梯形，所以，.
设两铁球半径为，
Ⅰ.当两个铁球的球心在竖直方向上时，若半径最大，则分别与两个底面相切，如图2，

则铁球球心与圆台上、下底面的距离均为，则有，所以此时铁球半径；
Ⅱ.当两个铁球都与底面相切时，若半径最大，则两铁球相外切，且各与圆台一侧面也相切，如图3，
，分别是两球与底面相切的切点，则，，，
连接，因为点到与的距离都等于，所以点在的角平分线上，
同理，点也在的角平分线上，
则，又因为，则，
所以，则；
Ⅲ.当两个铁球一个与下底面相切，另一个与上底面相切，
若球的半径最大，则两球相切且分别各与圆台一侧面相切，如图4所示，

球与下底面相切的切点为，球与上底面相切的切点为，
的延长线与交于点，过向直线作垂线，垂足为，
则，，
同上分析，在的角平分线上，点在的角平分线上，所以，，
则，由，
即，化简得：，
解得或（舍）.
又因为，所以铁球半径的最大值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
B
D
D
C
A
BCD
BCD
题号
11









答案
AC