2025--2026学年吉林省通化市梅河口市第五中学高二下学期5月阶段检测数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年吉林省通化市梅河口市第五中学高二下学期5月阶段检测数学试题-含解析试卷主要包含了单选题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在等差数列中，，，则公差（ ）
A. 2B. 1C. -1D. -2
2. 已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
3. 函数在上的最大值是（ ）
A. B. 0C. D.
4. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（ ）
A. B. 2C. 0D. 3
5. 若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，则（ ）
A. 32B. 31C. D. 1
7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bt》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：
①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；
③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ）
A. 0.9B. 0.91C. 0.92D. 0.93
8. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. （多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（ ）
A. 恰有1个不是石榴B. 3个全不是石榴
C. 恰有2个石榴D. 至少2个不是石榴
10. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ）
A. B.
C. 若A，B独立，则D. 若A，B互斥，则
11. 对于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 在上单调递减，在上单调递增
B.
C. 设有3个不同的零点，则
D. 设，若对，使成立，则
三、填空题
12. 若（，为有理数），则______．
13. 从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个．
（1）选出球的最大号码为6的概率为________．
（2）已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．
14. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________．
四、解答题
15. 已知的展开式共有11项.
（1）求展开式中各项二项式系数的和；
（2）求展开式中的系数.
16. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
17. 已知．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
18. 某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊．
（1）求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率；
（2）设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个不同零点，，证明：且.
数学
一、单选题（40分）
1. 在等差数列中，，，则公差（ ）
A. 2B. 1C. -1D. -2
答案：A
解析：
解答过程：在等差数列中， 公差.
2. 已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：求导，根据导函数的符号确定的减区间.
解答过程：解：函数的定义域为，
，
当时，单调递增，当时，单调递减；
的减区间是．
3. 函数在上的最大值是（ ）
A. B. 0C. D.
答案：B
解析：
思路：先求导，根据导数的正负得函数单调性即可求最大值.
解答过程：由题，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以.
故选：B.
4. 如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则（ ）
A. B. 2C. 0D. 3
答案：B
解析：
解答过程：根据图像得，点，切线斜率为，，则.
5. 若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用导数来判断函数的单调区间，然后依题意即可得参数满足的不等式,求解即可.
解答过程：由，
则当时，，当时，，
所以函数的减区间为，增区间为，
则依题意有，可得，
故选：C.
6. 已知，则（ ）
A. 32B. 31C. D. 1
答案：C
解析：
解答过程：令，则；
令，则，故.
7. 2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bt》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：
①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，能站稳；
③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（ ）
A. 0.9B. 0.91C. 0.92D. 0.93
答案：D
解析：
思路：根据全概率公式求解即可.
解答过程：.
8. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币8次，每次正面向上得2分，反面向上得分，记总得分为X，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：设为正面向上的次数，则，
总得分,
由于，，
所以
，所以D正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. （多选）水果篮中有8个水果，其中有2个是石榴，现从水果篮中随机地抽取3个，那么概率是的事件为（ ）
A. 恰有1个不是石榴B. 3个全不是石榴
C. 恰有2个石榴D. 至少2个不是石榴
答案：AC
解析：
思路：利用组合公式计算总事件数，进一步进算出恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴的方法数，再利用古典概型进行计算概率．
解答过程：水果篮中随机地抽取3个的总事件数为，
因为其中有2个石榴，所以可能出现的事件有：恰有0个石榴，恰有1个石榴，恰有2个石榴，取法数分别为；
所以恰有1个不是石榴的概率为，3个全不是石榴的概率为，恰有2个石榴的概率为，至少2个不是石榴的概率为，
故选：AC．
10. 已知，分别为随机事件A，B的对立事件，，，则（ ）
A. B.
C. 若A，B独立，则D. 若A，B互斥，则
答案：ACD
解析：
思路：根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念，以及对应的概率计算公式可以得到答案.
解答过程：因为，A正确，B错误；
由独立事件定义，若A，B独立，则，，C正确；
若A，B互斥，则，，，D正确．
故选：ACD
11. 对于函数，下列说法正确的有（ ）
A. 在上单调递减，在上单调递增
B.
C. 设有3个不同的零点，则
D. 设，若对，使成立，则
答案：BCD
解析：
思路：求出函数的定义域，求导并求出函数单调区间，判断选项A，B；结合函数图象分析讨论，判断选项C，D．
解答过程：函数的定义域为，
求导得，
令，解得，即，
当时，，故，单调递减；
当时，，，故，单调递减；
当时，，，故，单调递增；
选项A：不在函数定义域内，故在上单调递减表述错误；
选项B：由函数的单调性可知上单调递减，在单调递增，
，且，，故B正确；
选项C：方程有3个不同的零点，
等价于有3个不同的实根；
当时，，，此时单调递减，单调递增；
且时，，时，；
当时，且单调递减，，时，
时取极小值；
当时，且单调递增，，时；
要使与有3个交点，直线必须处于与之间，且不能低于
极小值，
需满足，解得，故C正确；
选项D：由题意知，的值域是在上值域的子集，
在上恒成立，故在上单调递增，
，即的值域为；
由单调性可知，在处取得极小值，，且时，
，
的值域为，
要使，则需满足，故D正确．
三、填空题
12. 若（，为有理数），则______．
答案：
解析：
思路：根据幂的运算法则计算可得；
解答过程：解：
因为（，为有理数）
所以
故答案为：
13. 从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个．
（1）选出球的最大号码为6的概率为________．
（2）已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．
答案： ①. ②.
解析：
思路：（1）从10个球中取4球，用组合数写出总事件的个数和符合条件的事件的个数，求比值即可；（2）令事件选出的4个球中含4号球，选出的4个球中最大号码为，求出，即可得答案.
解答过程：（1）从10个大小相同的球中任取4个有种方法，
若所取4个球的最大号码是6，则必有一个球号码是6，
另外3个球需从1、2、3、4、5号球中取3个，有种方法，
故所取4个球的最大号码是6的概率为：
（2）令事件选出的4个球中含4号球，选出的4个球中最大号码为．
依题意知，，
．
故答案为：，
14. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为_________．
答案：（，）
解析：
思路：由题可得，可构造函数则，再求函数的最大值即可.
解答过程：关于的不等式在上恒成立，则，
设，∴
∵，
∴在上单调递增，
∴即，
设，
∴，令，得，
当时，函数单调递增，
当时，函数单调递减，
∴，
∴.
故答案为：（，）.
四、解答题
15. 已知的展开式共有11项.
（1）求展开式中各项二项式系数的和；
（2）求展开式中的系数.
答案：（1）1024；
（2）.
解析：
思路：(1)通过二项式展开式的项数，可得的值，二项式系数的和为.(2) 结合二项式的展开式的通项公式求出展开式中的系数.
（1）由的展开式共有11项可得，，
故二项式的展开式中各项二项式系数的和为
；
（2）二项式的展开式的通项公式为
，
令，解得：.
所以二项式展开式中的系数为.
16. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
答案：（1）的减区间为，增区间为；（2）.
解析：
思路：（1）将代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；
（2）若有两个零点，即有两个解，将其转化为有两个解，令，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.
解答过程：（1）当时，，，
令，解得，令，解得，
所以的减区间为，增区间为；
（2）若有两个零点，即有两个解，
从方程可知，不成立，即有两个解，
令，则有，
令，解得，令，解得或，
所以函数在和上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
而时，，当时，，
所以当有两个解时，有，
所以满足条件的的取值范围是：.
方法提示：本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果.
17. 已知．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
答案：（1）8 （2）－2
（3）－64
解析：
（1）令，则，则原式转化为，
则，所以；
（2）令，得，
令，得，所以＝－2；
（3）由（2）得：①，
令，得：②，
①＋②得：，即＝8，
①－②得：，即＝－8，
所以.
18. 某医院一科室共有包括甲、乙、丙在内的7名医生，其中男医生4人，女医生3人，现从中任选3名医生参加义诊．
（1）求医生甲、乙、丙3人中至少有1人被选中的概率；
（2）设选中的女医生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）已知甲为男医生，设“男医生甲被选中”为事件A，“至多有m名女医生被选中”（）为事件B（当时，事件B即为“没有女医生被选中”），若，求的最小值．
答案：（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）2
解析：
思路：（1）利用对立事件概率计算公式求得正确答案.
（2）利用超几何分布的分布列求法求得分布列并计算出数学期望.
（3）对进行分类讨论，结合条件概率计算公式求得正确答案.
（1）医生甲、乙、丙3人均未被选中的概率为，
所以医生甲、乙、丙3人至少有1人被选中的概率为；
（2）X的可能取值为0，1，2，3，从7人中任选3人，共有＝35种选法，
，，
，，
则X的分布列为：
所以；
（3）当时，，，
；
当时，，，
；
当时，，，
，
当时，，，
，故m的最小值为2．
19. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有两个不同零点，，证明：且.
答案：（1）
（2）当时，在上单调递减；在上单调递增；
当时，故在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减.
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）先求出导函数，进而得出切线斜率，最后应用点斜式得出切线方程；
（2）分类讨论导函数正负得出函数单调性即可；
（3）先应用极值点，再构造函数，，应用导函数正负得出函数单调性即可证明.
（1）由题意得.
当时，，，
则曲线在点处的切线方程为：，即.
（2）①，则，令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
②当时，由得，或.
（i），即时，
当时，，
当时，，
故在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
（ii），即时，同理可得在上单调递减；
（iii），即时，同理可得在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
综上可得，当时，在上单调递减；在上单调递增；
当时，故在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）知，时，的极小值为，
当时，的极小值为，
当时，在单调递减，故时，至多有一个零点.
当时，在单调递减，在单调递增.
要使有两个零点，则，即，得.
令，，
则
，
所以在时单调递增，，.
不妨设，则，，，.
由在单调递减得，，即.
X
0
1
2
3
P