2025--2026学年湖北省荆州市沙市五中高一下学期5月月考数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年湖北省荆州市沙市五中高一下学期5月月考数学试题-含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，是的直观图，其中，则是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 锐角三角形
3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
4. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
6. 设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，若，，，则满足条件的三角形有（ ）个
A. B. 1C. 2D. 不确定
8. 一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ）
A. 1mB. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知复数，则（ ）
A.
B.
C. 为纯虚数
D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10. 已知直线，平面，则下列说法错误的是（ ）
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
11. 在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，Q是棱上动点，N为线段的中点，下列命题正确的是（ ）
A. 与异面
B. C、M、N、Q四点共面
C. 过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面是梯形
D. 三棱锥的体积是定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若向量满足，的夹角为60°，则=______；
13. 设向量,若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 __________．
14. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，且满足条件，，，，，，则球O的表面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程胡演算步骤.
15. 在，角所对的边分别为，已知，．
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
16. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．

（1）求证：平面．
（2）求三棱柱的表面积；
17. 在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明：
（1）（2）平面EFG∥平面PBC．
18. 已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，
（1）若，求角的大小；
（2）在（1）的条件下，，求的取值范围．
19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
（3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.
1. 复数（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据复数的除法运算法则进行计算即可
解答过程：
2. 如图，是的直观图，其中，则是（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 锐角三角形
答案：B
解析：
思路：根据斜二测画法的规则,由直观图中线段与坐标轴的平行关系及长度关系,还原出原三角形的形状.
解答过程：由直观图可知，轴， 轴.
根据斜二测画法的规则， 原图形中轴， 轴.
因为在平面直角坐标系中轴轴，所以，即，所以是直角三角形.
又根据斜二测画法的长度规则，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半，
所以，.
因为已知，
所以，所以不是等腰三角形.
3. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
答案：D
解析：
解答过程：∵ 目标函数为，可变形为，此式是将中的替换为得到.
∴ 要得到的图象，只需将的图象上所有点向左平移个单位长度.
4. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用角终边上一点坐标求出,再利用诱导公式可得到结果.
解答过程：已知角终边上一点,则,
根据三角函数定义得,所以.
5. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据三角函数的性质依次判断各项对应函数的最小正周期、区间单调性，即可得.
解答过程：解：对于A，，最小正周期，不符合题意；
对于B，，最小正周期为，在区间上单调递增，不符合题意；
对于C，，函数的图象如下：
故不是周期函数，不符合题意；
对于D，，函数图象如下：
最小正周期为，在区间上单调递减，符合题意．
6. 设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据题意得到在方向上的投影向量为，再计算求解即可.
解答过程：所以在方向上的投影向量.
故选：D.
7. 在中，若，，，则满足条件的三角形有（ ）个
A. B. 1C. 2D. 不确定
答案：C
解析：
思路：直接利用来判断三角形解得情况.
解答过程：在中，，，，则，
所以，有两解.
故选：C.
方法提示：本题考查的知识要点：三角形解的情况的应用，属于基础题．
8. 一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（ ）
A. 1mB. C. D.
答案：B
解析：
思路：将圆锥展开后的扇形画出，结合母线及最短距离，即可确定圆心角大小；进而求得弧长，即为底面圆的周长，由周长公式即可求得底面圆的半径.
解答过程：将圆锥侧面展开得半径为2m的一扇形，蚂蚁从爬行一周后回到（记作），作，如下图所示：
由最短路径为，即，
由圆的性质可得，即扇形所对的圆心角为，
则圆锥底面圆的周长为，
则底面圆的半径为，
故选：B.
方法提示：本题考查了了圆锥侧面展开图、扇形弧长公式的简单应用，属于基础题.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知复数，则（ ）
A.
B.
C. 为纯虚数
D. 在复平面内对应的点位于第四象限
答案：ABD
解析：
思路：根据复数的乘法求出复数，再根据复数的相关知识逐项判断即可.
解答过程：，
，A正确；
，B正确；
不是纯虚数，C错误；
在复平面内对应的点位于第四象限，D正确.
故选：ABD.
10. 已知直线，平面，则下列说法错误的是（ ）
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
答案：ABC
解析：
思路：根据线面之间的基本关系判断A，根据面面平行的判定定理判断BCD.
解答过程：选项A中，可能在内，也可能与平行，故A错误；
选项B中，与也可能相交，故B错误；
选项C中，与也可能相交，故C错误；
选项D中，依据面面平行的判定定理可知，故D正确．
故选：ABC．
11. 在棱长为1的正方体中，M为底面的中心，Q是棱上动点，N为线段的中点，下列命题正确的是（ ）
A. 与异面
B. C、M、N、Q四点共面
C. 过A、Q、M三点的平面截正方体所得截面是梯形
D. 三棱锥的体积是定值
答案：ABD
解析：
解答过程：对于A选项，平面，平面，
而与异面，A正确；
对于B选项，M为底面的中心，
与确定平面，平面，
、M、N、Q四点共面于平面，B正确；
对于C选项，当Q与重合时，该截面为，C错误；
对于D选项，（定值），D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若向量满足，的夹角为60°，则=______；
答案：
解析：
解答过程：
13. 设向量,若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 __________．
答案：
解析：
思路：由与的夹角为锐角，则，列出不等式解出，要去掉使与同向（与的夹角为0）的的取值．
解答过程：∵与的夹角为锐角，∴，即，解得，
当与共线时，可得，解得，
所以当时，与同向，
∴实数的取值范围是．
14. 已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，且满足条件，，，，，，则球O的表面积为______.
答案：
解析：
思路：由，，，结合长方体模型得出球O的半径，进而得出球O的表面积.
解答过程：由题意可知，，，，可得，所以，即，同理可得，，，以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体.
由于点P，A，B，C都在球O的球面上，显然长方体内接于球O，其对角线PF长就是球O的直径，所以，，
所以球O的表面积.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程胡演算步骤.
15. 在，角所对的边分别为，已知，．
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
答案：（1）；（2）；（3）
解析：
思路：（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
解答过程：（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
16. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．

（1）求证：平面．
（2）求三棱柱的表面积；
答案：（1）
连接交于点，连接，
因为四边形为矩形，所以为的中点．
因为为的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）解析：
思路：（1）利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）分别求三棱柱每个面的面积相加即可.
（1）略
（2）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，
所以侧面，，均为矩形．
因为，所以底面，均为直角三角形．
因为，，所以．
所以三棱柱的表面积为
．
17. 在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明：
（1）（2）平面EFG∥平面PBC．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）连接，利用线面平行的判定得到平面，再利用线面平行的性质推理得证.
（2）利用线面平行的判定、面面平行的判定推理得证.
（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形，
可得是的中点，
而是的中点，则，
又平面，平面，则平面，
而平面平面，平面，所以
（2）由G，F分别是PA，AC的中点，得，
又平面，平面，则平面．
由（1）知，又平面，平面，则平面，
又因为，，平面，
所以平面平面.
18. 已知函数，向量，，在锐角中内角的对边分别为，
（1）若，求角的大小；
（2）在（1）的条件下，，求的取值范围．
答案：（1）； （2）.
解析：
思路：（1）根据数量积可得，结合为锐角，即可得到结论；
（2）利用正弦定理把化为角，再进一步利用三角公式化为，再结合的范围即可得到结论.
解答过程：（1）由题意，，
即，又，
所以， ，即.
（2）由正弦定理得，即，，
∴，
即，
在锐角三角形中，由，即，得，
∴ ，∴ ，
∴，
故的取值范围为．
方法提示：本题考查了数量积，三角函数求值，三角变换等基础知识，属于基础题.
19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
（2）设，试求函数的相伴特征向量，并求出与同向的单位向量；
（3）已知为函数的相伴特征向量，若在中，，若点为该的外心，求的最大值．
答案：（1）
（2），
（3）解析：
思路：（1）由相伴函数的定义结合辅助角公式得函数的表达式，进一步解三角函数方程即可；
（2）利用两角和差的余弦公式展开合并以及单位向量的定义即可依次得解；
（3）由题意依次得，外接圆的半径，再结合向量的数量积运算即可得解.
（1）根据题意知，向量的相伴函数为，
当时，，
又，则，所以，故.
（2）因为，
整理得到，故函数的相伴特征向量，
则与同向的单位向量为.
（3）由题意得，，
在中，，，因此，
设外接圆半径为，根据正弦定理，，故，
所以 ，
，
，
代入可得，
所以当时，取得最大值．
方法提示：关键点点睛：第三问的关键在于，外接圆的半径，再结合向量数量积的运算律即可顺利得解.