湖北省荆州市沙市中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷（含解析）含答案

这是一份湖北省荆州市沙市中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷（含解析）含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在等差数列中，，则（ ）
A．108B．62C．56D．54
2．已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（ ）
A．B．120C．D．240
3．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．3C．1D．
4．某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ）
参考数据：若，则，，.
A．6636B．8186C．8400D．9759
5．已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（ ）
A．B．C．D．
6．用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为（ ）
A．280B．420C．720D．1680
7．已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．4C．6D．
8．如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ）
A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人
B．随机变量
C．随机变量的数学期望为
D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则
10．已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（ ）
A．的离心率为2B．的渐近线方程为
C．D．若，则
11．如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有（ ）
A．的取值范围是
B．函数有两个极值点
C．当时先减后增且恒为负
D．
三、填空题
12．在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为______
13．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______．
14．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若，则________．
四、解答题
15．已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
16．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．
(1)证明：；
(2)若点是中点，求点到平面的距离．
17．泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数．
(1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值；
(2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中.
某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算．
（i）若，求产品中恰有2件次品的概率；
（ii）求使得最大时的值．
（参考数据：；若，则有，，）
18．如图，椭圆的左、右顶点分别为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于两点．
（ⅰ）证明直线过定点，并求出该定点坐标：
（ⅱ）求面积的最大值．
19．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，求的最大值；
(3)若函数有零点，证明：．
参考答案
1．D
【详解】在等差数列中，，解得，
所以.
2．D
【详解】由题意，时，所以二项式为，
其中的展开式通项为，，
所以，则，此时，
，则不是整数，故该项不存在，
综上，展开式中含项的系数为.
3．B
【详解】设公比为，
当时，不符合题意；
当时，
又，
所以，解得.
故选：B
4．C
【详解】由已知，
所以，
故数学分数介于75到115之间的人数为.
5．C
【详解】表示第3次正好取出第2个正品，前两次为1正品1次品，可能情况为：
正、次、正：概率为；
次、正、正：概率为；
．
6．A
【详解】要求3个2相邻，因为3个2是相同数字，
将3个2捆绑为1个整体，捆绑内部无需排列，
捆绑后共 个元素，
由重复元素的排列公式得，
因此符合要求的十位数个数为280.
7．B
【详解】圆，圆心，半径是圆的两条切线，
，由圆的知识可知四点共圆，且，
.
又当的值最小，即时，取得最小值.
的最小值为.
8．B
【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导，
可得，将点代入，得，解得，
故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为．
9．AC
【详解】根据分层抽样的方法，可得：
从甲社团抽取的人数为；
从乙社团抽取的人数为；
从丙社团抽取的人数为；故A正确；
由于抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，
用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则的可能取值有，
则，
此时服从超几何分布，故B错误，
则随机变量的数学期望为，
故C正确；
若事件“抽取的3人都感兴趣”，则，故D错误；
故选：AC.
10．ABD
【详解】双曲线：的渐近线方程为，即.
圆：的圆心为，半径为.
由题意得，圆心到渐近线的距离，即，所以.
对于A：，故A正确.
对于B：，所以渐近线方程为，故B正确.
对于C：，，因为，所以点的横坐标为，
代入双曲线方程，解得.
取，则，，
所以，故C错误.
对于D：若，则，，，，.
直线方程为，即.
圆心到直线的距离，
由垂径定理可得，，故D正确.
11．ACD
【详解】由题意，与交于两点，即方程有两个正根，等价于有两个解.
令，则，令，.
又，，的取值范围，A选项正确.
∵f(x)=kx−lnx(x>0)，，令，得，故只有一个极值点，B选项错误.
由f'(x)=k−1x=0，得.
当，，单调递减；时，，单调递增.
是交点，，且，故时，先减后增，且，C正确.
在递增，在递减，∴0