2025--2026学年湖北省沙市中学高一下学期5月月考数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年湖北省沙市中学高一下学期5月月考数学试题-含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 复数的共轭复数=（ ）
A. B. C. D.
2. 已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
3. 在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
4. 在中，若，则为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形
5. 一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 半径为2的球O的球面上有四点，其中为球O直径，是等边三角形，若，则四面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（18分）
9. 设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则的最大值为
10. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为B. 圆锥的体积为
C. 圆锥的外接球的表面积为D. 圆锥的内切球的体积为
11. “费马点” 指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点， 在 中，当最大内角小于 时，费马点 满足，当最大内角不小于 时，最大内角的顶点为费马点. 已知在 中，角所对的边分别为，且 ，，，点 为 的费马点，则（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
三、填空题（15分）
12. 在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点逆时针旋转到点，则点的横坐标为______．
13. 在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______．
14. 已知对恒成立，则的最小值为______.
四、解答题（共77分）
15. 如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足.
（1）当时，求的值；
（2）当时，若为线段上的动点，求的最小值.
16. 已知函数，．
（1）求在的单调递减区间；
（2）当时，求的最大值和最小值；
（3）若，，求的值．
17. 如图，是函数（，，）图象的一部分
（1）求函数的解析式；
（2）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围；
（3）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.
18. 设Ox，Oy是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，．
（1）若．
（ⅰ）求．
（ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若对恒成立，求的最大值．
19. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中点，且，，
（1）求；
（2）求；
（3）设，分别为边，上的动点，线段交于，且四边形的面积为面积的，求的取值范围.
数学
一、选择题（40分）
1. 复数的共轭复数=（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先将复数化简为标准形式，再根据共轭复数定义求出结果即可.
解答过程：因为 ，
所以，
2. 已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：与非零向量方向相反的单位向量为，进而可求得结果.
解答过程：，，，则，
因此，与向量方向相反的单位向量是.
故选：D.
方法提示：本题考查单位向量的求解，利用结论：与非零向量方向相反的单位向量为是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
3. 在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
答案：C
解析：
思路：根据向量平移法则可得点经三次平移后，坐标为，列出方程组求解即可.
解答过程：因为点沿平移后，坐标为，
点沿平移后，坐标为；
点沿平移后坐标为，
因为三次平移后坐标为，故，解得.
4. 在中，若，则为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰或直角三角形D. 等腰直角三角形
答案：C
解析：
思路：由正弦定理及倍角公式得到，结合，解得或，得到答案.
解答过程：由正弦定理得，
即，故，
因为，且属于三角形内角，所以，所以或，
解得或，
所以为等腰或直角三角形.
故选：C
5. 一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为，球心为O，一个顶点为A，可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积.
解答过程：作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图，
则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，
设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为，
则球心是的中点，
由正六棱柱底面边长为，侧棱长为，
所以Rt△AO1O 中，，
可得，
因此，该球的体积为V=43π⋅33=43π .
6. 已知满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由余弦定理结合平面向量数量积化简得，再利用基本不等式求解．
解答过程：已知满足，
设、、对应的边分别为，，，
则，
即，
则，
当且仅当时取等号，
即的最小值为．
故选：D．
7. 半径为2的球O的球面上有四点，其中为球O直径，是等边三角形，若，则四面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：设的中点为，，延长交球于，由题意可得，由得，再利用三棱锥体积公式计算即可求解.
解答过程：如图，设的中点为，，延长交球于，

由题意可知，，，，
如图，记外接圆圆心为，则为的中点，

则，，，，
而，
，
因为，解得，所以，得到，，
故四面体体积为.
故选：D

8. 已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由正弦定理边化角得到，再结合正弦定理得到，进而可求解.
解答过程：因为三角形中，
所以由，可得，
即，
所以，
即，
又在锐角三角形中，，
则或，即或（舍去）.
因为.
由正弦定理可得，
则
因为是锐角三角形，所以，
所以，所以，
则.
二、多选题（18分）
9. 设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则的最大值为
答案：ABD
解析：
思路：利用共轭复数及复数模的意义求解判断A；利用复数乘法及模的意义求解判断B；利用向量共线的坐标表示判断C；确定点的轨迹并求出最大值判断D.
解答过程：对于A，，则，A正确；
对于B，，，
而，因此，B正确；
对于C，，由，得，C错误；
对于D，由，即，
得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
表示点与点的距离，该距离最大值为，D正确.
10. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为B. 圆锥的体积为
C. 圆锥的外接球的表面积为D. 圆锥的内切球的体积为
答案：AC
解析：
思路：对于选项，求出圆锥的母线长和高，即可求出侧面积和体积；对于选项，求出外接球半径，即可得出外接球体积；对于选项，求出内切球半径，即可得出内切球表面积．
解答过程：设圆锥的底面半径，母线长为，
则侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，解得，
圆锥的高，
选项A：圆锥侧面积，故A正确；
选项B：圆锥体积，故B错误；
选项C：设外接球的半径为，球心在圆锥的高上，
由勾股定理得，，即，解得，
圆锥的外接球的表面积，故C正确；
选项D：设内切球半径为，圆锥轴截面为边长为2的等边三角形，
则，解得，
内切球的体积为，故D错误．
11. “费马点” 指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点， 在 中，当最大内角小于 时，费马点 满足，当最大内角不小于 时，最大内角的顶点为费马点. 已知在 中，角所对的边分别为，且 ，，，点 为 的费马点，则（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
答案：ACD
解析：
思路：由三角恒等化简结合正弦定理转化边角关系，由余弦定理化简可判断A；解得到所有边角的大小，再证明与相似，利用相似比出答案，可判断C选项；由C结论设，则，，解出数值，利用向量数量积计算可得答案判断B选项；作，则在上的投影向量为，通过计算即可判断D选项.
解答过程：因为，
由正弦定理得，
所以，因为，所以，
代入，解得，所以A正确；
在中，根据余弦定理，解得，
所以，所以，，
由于最大内角，所以费马点 满足，
如图所示，，，
，，，
，化简得，所以C正确；
设，则，,
中，由余弦定理得，
所以x2+4x2−2×x×4x⋅cs120∘=(3)2，解得（舍去负根）
则，，，
所以PA⋅PB=PA⋅PB⋅cs∠APB=477×77×(−12)=−27，所以B错误；
过点作，垂足为，在上的投影向量为，
，
所以AE=PA⋅cs∠PAC=107，即，
所以在上的投影向量为，D正确.
三、填空题（15分）
12. 在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点逆时针旋转到点，则点的横坐标为______．
答案：
解析：
思路：先由点坐标得到对应角的正余弦值，再结合旋转后角的余弦即为点横坐标，利用三角恒等变换公式计算即可.
解答过程：设以轴正半轴为始边，射线为终边的角为.
∵ 点，∴ 由三角函数的定义得，.
∵ 点绕原点逆时针旋转得到点，∴ 点对应的终边角为，
∴ 点的横坐标为.又，
∵ ，，
∴ 代入得：.
方法提示：方法归纳：解决点绕原点旋转的坐标问题，可通过三角函数的定义将点坐标转化为对应角的正余弦值，结合旋转后角的正余弦值即可得到旋转后的点坐标.
13. 在 中，角所对的边分别为，，，若的面积为，则______．
答案：
解析：
思路：由余弦定理先求得，根据求得，进而求得，再根据正弦定理得出，设，由三角形面积公式列出方程即可求解．
解答过程：由a2+b2−c2=2ab 和余弦定理，可得csC=a2+b2−c22ab=2ab2ab=22，
因，则，
又由csC=2csB 可得csB=csC2=12，
因，则
，
由正弦定理得，，设，
则，解得（负值舍去），
所以．
14. 已知对恒成立，则的最小值为______.
答案：6
解析：
思路：首先分析函数在区间的零点和正负区间，再根据不等式分析函数的零点，利用韦达定理表示 关系，再结合基本不等式，即可求解.
解答过程：当，，则，
当，，
当，，，
当，，
当，，，
若对恒成立，
则，并且函数的两个零点分别是1和7，
则，则，，，
所以，
当，，即时，等号成立，
所以的最小值为6.
故答案为：6
四、解答题（共77分）
15. 如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足.
（1）当时，求的值；
（2）当时，若为线段上的动点，求的最小值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据数量积公式，可得，则为等边三角形，取BC中点O，连接AO，求出AO的长，根据向量线性运算法则，即可求得答案.
（2）设，根据线性运算法则，可得，的表达式，根据数量积公式及运算律，整理化简，结合二次函数的性质，即可得答案.
（1）因为，所以，
解得，因为，所以，则为等边三角形，
取BC中点O，连接AO，则，
所以.
（2）当时， ，
设，则，
又，
所以
，
所以当时，有最小值.
16. 已知函数，．
（1）求在的单调递减区间；
（2）当时，求的最大值和最小值；
（3）若，，求的值．
答案：（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）解析：
思路：（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解；
（2）根据三角函数的性质即可求解最值；
（3）由已知得出，结合α∈−π8,3π8及同角三角函数的平方关系得出，由两角和的正弦公式即可求解．
（1）fx=sin2x+sinxcsx−12=1−cs2x2+12sin2x−12=12sin2x−12cs2x ，
由，解得，
又，所以的单调递减区间为．
（2）因为，所以，则，
所以，
所以的最大值为，最小值为．
（3）由，所以，所以，
又α∈−π8,3π8，所以，
所以，
所以
．
17. 如图，是函数（，，）图象的一部分
（1）求函数的解析式；
（2）函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围；
（3）若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据图中的最值和周期求出和，再利用特殊点求得，即可得解；
（2）令，则问题可以转换为在有且仅有两个实根求解即可；
（3）由题意，令，则问题转化为方程在上有解，分离参数，构造函数，利用单调性求值域即可求解.
（1）由图可得，
函数的最小正周期为，则，
所以，因为，
则，因为，所以，解得，
所以.
（2）令，则
因为函数在区间上有且仅有两个零点
所以方程在有且仅有两个实根.
令，得或
所以方程的正根从小到大排列分别是
所以，解得
（3）由，
可得，
即，
即，
即，其中，
因为，则，令，
则有，则关于t的方程在上有解，
由可得，
令，则，
因为，在上均为减函数，
所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大，
则，所以，解得，
故实数a的取值范围是.
18. 设Ox，Oy是平面内夹角成的两条数轴，，两分别为x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在此坐标系中的坐标，记．已知，．
（1）若．
（ⅰ）求．
（ⅱ）是否存在Oy上一点C，使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若对恒成立，求的最大值．
答案：（1）（i）；（ii）不存在，理由见解析
（2）解析：
思路：（1）（i）根据坐标转化为基底表示，再利用数量积公式，即可求解；（ii）首先设，得到，再结合坐标和基底，利用垂直关系的向量运算，得到方程，方程无解，即可得到结论；
（2）首先利用数量积公式，将不等式转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，根据求的范围，再代入向量夹角公式，即可求解.
（1）（i）
，
（ii）轴上不存在一点，理由如下：
假设轴上存在一点，使得是以为斜边的直角三角形.
依题意得：，
，
，
，，
即，
即，
化简得：，
，∴方程无解，
即轴上不存在一点，使得是以为斜边的直角三角形；
（2），
恒成立，
，
即，
解得，
，
，
，
，
在上单调递增，理由如下：
任取，且，
则，
因为，且，
所以，，
故，即，
故在上单调递增，
当时，取得最大值，最大值为.
19. 如图，设中角，，所对的边分别为，，，为边上的中点，且，，
（1）求；
（2）求；
（3）设，分别为边，上的动点，线段交于，且四边形的面积为面积的，求的取值范围.
答案：（1）4 （2）
（3）解析：
思路：（1）根据和差角公式以及正弦定理即可求解，
（2）根据向量的线性运算，结合模长公式即可求解，
（3）根据共线，利用向量的线性表示，结合三点共线得，根据面积之比得，即可根据数量积的运算律，得，利用不等式的性质求解即可.
（1）由，得,
即，
由于，所以，
则，即.
由正弦定理，得.
（2）由于为边上的中点，所以，
则，
所以.
（3）设，，，
所以，.
由于，所以.
由于、、三点共线，可得，所以.
由于
；
由题意知，而，
所以.
由于.
所以
.
由于，而，所以，
则，所以，
所以.