2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一下学期6月阶段检测数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一下学期6月阶段检测数学试题-含解析，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，是水平放置的的直观图，，，则原平面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
5. 的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
6. 某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 直三棱柱中，，，为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，若向量满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 三角形的内角，，的对边分别为，，，且，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，，则三角形为锐角三角形
C. 若，，则
D. 若，且三角形有两解，则
10. 如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 与所成角的余弦值为
D.
11. 已知正方体棱长为，为边中点，为空间内一动点，下列说法中正确的有（ ）
A. 当在线段上运动时，三棱锥体积为定值
B. 当在线段上运动时，存在点使直线与的夹角为
C. 当在底面内运动时，若，则轨迹长度为
D. 当在三角形内运动，且时，则轨迹长度为
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12. 已知向量、满足，若为单位向量，则_________．
13. 若一个正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则这个三棱台的体积为___________；
14. 已知四面体外接球半径为，，，，则该四面体体积最大值为_________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面为等边三角形，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）设为中点，，求直线与所成角的余弦值．
17. 如图，在平面四边形中，，为等边三角形．
（1）若，，求；
（2）若，求四边形面积的取值范围．
18. 在边长为4的菱形中，，与相交于点．将沿折起，使得点到达点的位置，得到如图所示的三棱锥，为线段上一点．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为，直线与平面所成角的正弦值为，．
①求的值；
②求平面与平面夹角的余弦值．
19. 如图，直角梯形中，，，，，，点为线段（不含端点）上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体．
（1）若，求的长；
（2）求异面直线与所成角余弦值的最小值；
（3）若，点在内部（含边界）运动，满足四棱锥与三棱锥的体积相等，求点轨迹长度．
数学
满分150分．考试时间为120分钟；
第Ⅰ卷（选择题，共58分）
一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由，则.
2. 如图，是水平放置的的直观图，，，则原平面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用直观图与原图之间的面积关系求解即可.
解答过程：由直观图可得，
则.
3. 已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此快速得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积；
解答过程：已知平面，平面，
因此,
又因为，可得两两互相垂直，
将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体，
四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度，
设外接球的半径为，所以，
进而求得球的表面积.
4. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
答案：D
解析：
思路：根据线线，线面的位置关系，定义以及判定定理，性质定理，即可求解.
解答过程：对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，则或，或与相交，故B错误；
对于C，若，，，则与相交、平行或异面，故C错误；
对于D，不失一般性作下图，在空间中取一点，过点作，，则，
过相交直线 作平面 ，
设 ，，
因为 ，，所以 ，又 ，
且 都在平面 γ内，所以 ， 因为 ，
根据平行线的线面垂直性质，得 ， 又 ，
根据面面垂直的判定定理可得，因此D正确.
5. 的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
答案：A
解析：
思路：根据正弦定理及二倍角公式对化简，求得，再利用三角形内角和为，求得，最后利用正弦定理得到的值.
解答过程：根据正弦定理，由得，
因为，所以，
又，所以，所以.
在中，，
所以.
在中，由正弦定理得，
所以.
6. 某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：过作下底面的垂线，垂足为，过作，垂足为，就是二面角的平面角，解三角形求其余弦值.
解答过程：已知轴截面等腰梯形中，上底，下底，腰长为，
因此圆台的高（即等腰梯形的高）
为下底圆的直径，故下底圆半径，
因为在下底圆周上，是直径，所以，
，在中，，
过作下底面的垂线，垂足为（在轴截面上，故在直径上），
得，且下底面，
过作，垂足为，连接，
则就是二面角的平面角，
因为的面积，
其中（为下底圆心），是到的距离，
又，
所以​，解得，
在中，，
因此二面角的余弦值.
7. 直三棱柱中，，，为线段上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：将沿旋转至与在一个平面，则当共线时，取得最小值，再利用余弦定理解即可.
解答过程：如图，将沿旋转至与在一个平面，
当共线时，取得最小值，
在中，，则，
在中，，
在中，，
由余弦定理得，
所以，
即的最小值为.
8. 已知，若向量满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：易得，则可设，设，根据求出的关系，进而求出的范围，再根据数量积的坐标公式即可得解.
解答过程：因为，
所以，所以，
则可设，设，
由，
得，
即，化简整理得，
所以，所以，
所以，
即的最大值为.
二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 三角形的内角，，的对边分别为，，，且，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，，则三角形为锐角三角形
C. 若，，则
D. 若，且三角形有两解，则
答案：AC
解析：
思路：选项 A 通过射影定理得：，直接判定正确；选项 B 结合余弦定理计算最大边所对角的余弦值，可知该角为钝角，三角形为钝角三角形，故 B 错误；选项 C 运用正弦定理求出，再根据大边对大角舍去不合理解，得到，C 正确；选项 D 依据三角形两解的条件推出b的取值范围为开区间，原选项区间有误，D 错误.
解答过程：对于A项，在中，由射影定理得：，
将其代入条件，可得：
因为，所以，故选项 A 正确；
对于B项，已知，该三角形最大边为c，则最大的角为角C，
由余弦定理：
所以角C为钝角，为钝角三角形，故选项 B 错误；
对于C项，已知 ，
由正弦定理​得：。
又，根据大边对大角，得 ，所以，故选项 C 正确；
对于D项，已知，，当三角形有两解时，满足条件：，
解得：，故，故选项 D 错误.
10. 如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 与所成角的余弦值为
D.
答案：ABD
解析：
思路：对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可.
解答过程：对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点，
因，
，
则
，
则，即，故A正确；
对于B，由A知，，
则
，即得，故B正确；
对于C，由A知，，，
则
，
则，
即与所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，由A项知，，，
则
，故D正确.
11. 已知正方体棱长为，为边中点，为空间内一动点，下列说法中正确的有（ ）
A. 当在线段上运动时，三棱锥体积为定值
B. 当在线段上运动时，存在点使直线与的夹角为
C. 当在底面内运动时，若，则轨迹长度为
D. 当在三角形内运动，且时，则轨迹长度为
答案：ABD
解析：
解答过程：对于A，因为平行于平面，所以到平面的距离为定值，
又因为，所以为定值，A选项正确；
对于B，当在线段上运动时，
当点与点重合，直线与的夹角为，
当点与点重合，平面，平面，则，
直线与的夹角等于，
当点在线段上从运动到时，直线与的夹角从变化到，
所以存在点使直线与成角为，B选项正确；
对于C，当在底面内运动时，，在底面内的投影为，
所以，
为中点，连接与相交于点，则有，
，所以，
则点轨迹为线段，长度为，C选项错误；
对于D，三棱锥是棱长为的正四面体，为的中心，连接，
则平面，，
由，解得，
当在三角形内运动，且时，则，
轨迹是半径为的圆，位于内的部分，
又因为等边的边长为，其内切圆的半径，
如图所示，过点O作，可得点M为的中点，且，
可得，所以，则，
所以动点P的轨迹为的3倍，其长度为，所以D正确.
第II卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．
12. 已知向量、满足，若为单位向量，则_________．
答案：##
解析：
思路：由条件平方求出.
解答过程：由已知，故
由两边平方得，
所以.
13. 若一个正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为2，则这个三棱台的体积为___________；
答案：##
解析：
思路：求出正三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解.
解答过程：设上下底面的外心分别为，过作底面的垂线交于点，
上、下底面三角形的高分别为，，
所以，，
所以，又，
所以正三棱台的高为，
上底面积为，下底面积为，
所以正三棱台的体积为.
故答案为：.
14. 已知四面体外接球半径为，，，，则该四面体体积最大值为_________．
答案：
解析：
思路：先计算△的面积与外接圆半径；利用外接球半径求球心到平面的距离；求到平面的最大距离，得到四面体体积的最大值.
解答过程：因为 ，，由余弦定理得
，
所以，
所以，
设△ABC 的外接圆半径，则，
设四面体的外接球球心为，△的外接圆圆心为，则平面，
由外接球半径，得
因为,所以，所以，
当四点共面时，到平面ABC的距离取得最大值，
过作平面ABC交于点,过作交于点，
则点到平面ABC的距离的最大值是，设,
则，
由，得即
由，所以，
所以，即，所以，解得，此时，
所以点到平面ABC的距离的最大值是，
所以四面体体积的最大值为
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长．
答案：（1）

（2）解析：
思路：（1）根据商的关系和两角差的正弦公式化简可得，结合内角和关系求；
（2）结合三角形面积公式和余弦定理列方程求，由此可得结论.
（1）由已知，
交叉相乘得，，
所以，
整理得，
又，，
所以或（舍去）或（舍去），
所以，解得；
（2）由已知，得①，
由余弦定理，得
②，
由①②可得，
所以的周长.
16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面为等边三角形，，为中点．
（1）求证：平面；
（2）设为中点，，求直线与所成角的余弦值．
答案：（1）证明：取中点，连接，，
，，，
，
为平行四边形
，
又平面，平面
平面
（2）解析：
思路：（1）先应用平行四边形得出，再应用线面平行判定定理证明；
（2）先根据线面垂直判定定理得出平面，再得出面面垂直，应用面面垂直性质定理得出，最后计算边长得出线线角的余弦.
（1）略
（2）取中点，连接，，则或其补角为直线与所成角，
，
又，，平面，
平面，
又平面，
∴平面平面，平面平面，
又，平面，
平面，平面，
且，
，
，，
，
所以直线与所成角的余弦值为．.
17. 如图，在平面四边形中，，为等边三角形．
（1）若，，求；
（2）若，求四边形面积的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用余弦定理和正弦定理计算得到结果；
（2）设，在中，利用余弦定理计算，再结合三角形面积公式计算
，，，利用角的范围和三角函数范围计算面积；
（1）因为为等边三角形，，所以．
在中，，
又因为，即，解得；
（2）设
在中，，
，
，
，
，
．
18. 在边长为4的菱形中，，与相交于点．将沿折起，使得点到达点的位置，得到如图所示的三棱锥，为线段上一点．
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为，直线与平面所成角的正弦值为，．
①求的值；
②求平面与平面夹角的余弦值．
答案：（1）在菱形中，，为中点，
由题可知，所以，
因为，，平面，
所以平面
又平面，所以平面平面．
（2）①；②
解析：
思路：（1）根据条件证明平面即可；
（2）①以为原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，表示出点的坐标，根据直线与平面所成角的正弦值求出的值，进而得出结论；
②求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
（1）略
（2）①以为原点，，所在直线分别为，轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系
二面角的大小为，即
因为，，所以，，
则，，，，
所以，，
设，则，所以．
设平面的法向量为，则，
取，得，，则．
设直线与平面所成角为，
则，
整理得，解得或，
当时，，则；
当时，，则．
因为，所以
②由①,设平面的法向量为，
由，即，取，则，
所以.
设平面的法向量为，,
，即，取，则，
所以
设平面与平面所成角为，则.
19. 如图，直角梯形中，，，，，，点为线段（不含端点）上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体．
（1）若，求的长；
（2）求异面直线与所成角余弦值的最小值；
（3）若，点在内部（含边界）运动，满足四棱锥与三棱锥的体积相等，求点轨迹长度．
答案：（1）
（2）．
（3）解析：
思路：（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直平面，再应用线面垂直判定定理得出平面，最后应用相似计算求解；
（2）先根据异面直线夹角定义得出即为异面直线与所成的角，再设，应用两角差正切公式结合基本不等式计算最值即可；
（3）先得出点轨迹为两平面的交线轨迹为线段，再应用棱锥体积公式结合余弦定理计算求解.
（1）连接，平面平面，交线为，
由，有平面，又平面，所以，
当，平面，所以平面，
又平面，所以，
直角梯形中，，
所以，此时与相似，故，
设，由，解得或（舍），所以．
（2）过作的平行线交于点，连接，由，且，
得四边形是平行四边形，故，所以即为异面直线与所成的角，
设，
，
当且仅当取等，
所以锐角正切值的最大值为1，此时余弦值有最小值，
所以异面直线与所成角余弦值的最小值为．
（3），，，，
由题可知，点到平面和平面的距离为常数，所以点的轨迹为线段，
设轨迹与交于，与交于，
，
因为，所以，
又，所以
同理，，，，
，所以