黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高一下学期3月阶段性检测考试 数学试题

这是一份黑龙江哈尔滨市第六中学校2025-2026学年高一下学期3月阶段性检测考试 数学试题，共9页。试卷主要包含了多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知平面向量 a=1,0,b=−1,k,c=2,1 ，若 a+2b//c ，则 k= ( )
A. 1 B. -1
C. −14 D. 14
2. 已知向量 a=4,3 ，则与向量 a 同向的单位向量的坐标为( )
A. 35,−45 B. 45,35 C. −45,−35 D. −35,45
3. 已知平面向量 a,b 满足 a=4,b=2,a⋅a−b=20 ，则向量 a 与 b 的夹角为( )
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
4. 如图，在矩形 ABCD 中， AB=2BC=4 ， E 为边 AB 上的任意一点(包含端点)， O 为 AC 的中点，则 OB⋅DE 的取值范围是( )

A. 2,10 B. −2,8 C. 2,8 D. 4,20
5. 已知向量 a=1,2,b=x,y ，若 b 在 a 上的投影向量是 15a ，则 x2+y2 的最小值为( )
A. 29 B. 12 C. 14 D. 15
6. 如图,在平行四边形 ABCD 中, CE=DE,EB 和 AC 相交于点 G ,且 F 为 AG 上一点 (不包括端点)，若 BF=λBE+μBA ，则 1λ+1μ 的最小值为( )

A. 52 B. 52+6 C. 52+62 D. 12+6
7. 如图,已知 D,E 分别是 △ABC 边 AB,AC 上的点,且满足 AB=32AD,AC=4AE,BE 与 CD 交于 O ,连接 AO 并延长交 BC 于 F 点. 若 AO=λOF ,则实数 λ 的值为 ( )

A. 73 B. 43 C. 52 D. 2
8. 设向量 a 与 b 的夹角为 θ ,定义 a⊕b=asinθ−bcsθ ,已知 a=2,b=a+b=1 ,则 a⊕b= ( )
A. 22 B. 2
C. 32 D. 3
二、多选题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分.)
9. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典, 其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图 1 所示的是八卦模型图,其平面图形 (图 2) 中的正八边形 ABCDEFGH ,其中 O 为正八边形的中心, 则下列说法正确的是 ( )

图1

图2
A. AB=EF B. OA−ED=DO
C. OB+OD=2OC D. AH 和 CE 能构成一组基底
10. 设 O 为 △ABC 所在平面内的一点,则下列说法正确的是( )
A. 若 OA+OB+OC=0 ,则点 O 为 △ABC 的重心
B. 若 OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA ,则点 O 为 △ABC 的垂心
C. 若 OB−OC=OB+OC−2OA ,则 △ABC 的形状为等腰直角三角形
D. 若 AO=15AB+25AC ,则 △ABC 和 △AOB 的面积之比为 5:2
11. 如图，在梯形 ABCD 中， AB//DC ， AB=2BC=2CD=2DA ， M 为线段 BC 的中点， AM 与 BD 交于点 N,P 为线段 CD 上的一个动点,则( )

A. AM=34AB+12AD B. 向量 AD 与 CN 共线
C. S△BCN:S△ACN:S△ABN=1:2:2 D. 若 AP=λAB+μAD ,则 λ+μ 最大值 32
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. )
12. 已知向量 a=1,−2,b 满足 a⊥a−2b ，则 b 在 a 上的投影向量的坐标为_____.
13. 已知向量 a=−2,1,b=1,k ，且 a 与 b 的夹角为钝角，求实数 k 的取值范围_____.
14. 如图所示,在边长为 3 的等边三角形 ABC 中, AD=23AC ,且点 P 在以 AD 的中点 O 为圆心, OA 为半径的半圆上,则 BP⋅BC 最大值为_____,若 BP=xBA+yBC ,则 x+y 的最大值为_____；

四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分, 解答时要求写出必要的文字说明证明过 程演算步骤.)
15. 已知向量 a=2,1,b=x,3,c=y,2 ，且 a//b,a⊥c ，
(1)求 b 与 c ；
(2)若 m=2a−b ， n=a+c ，求向量 m ， n 的夹角的大小.
16. 已知 a=4,b=2 ，且 a 与 b 的夹角为 120∘ ，求:
(1) 2a−b ；
(2) a 与 a+b 的夹角；
(3)若向量 2a+λb 与 λa−3b 垂直，求实数 λ 的值.
17. 如图,在平行四边形 ABCD 中, AB=4,AD=2,∠BAD=60∘,E,F 分别为 AB,BC 上的点, 且 AE=2EB,CF=2FB .

(1)若 DE=xAB+yAD ,求 x,y 的值;
(2)求 AC⋅DE 的值；
(3)求 cs∠BEF .
18. 已知向量 a=sinx,csx,b=csx,3csx ,函数 fx=a⋅b−32 .
(1)求函数 fx 的单调递增区间；
(2)若 fx02=−13 ，且 x0∈−π2,π2 ，求 sinx0 的值；
(3)将 fx 的图象向左平移 π12 个单位长度得到函数 gx 的图象. 当 x∈−π3,π6 时，求函数 gx 的值域.
19. 已知 O 为坐标原点,对于函数 fx=asinx+bcsx ,称向量 OM=a,b 为函数 fx 的伴随向量,同时称函数 fx 为向量 OM 的伴随函数.
(1)设函数 gx=−sin3π2−x+3sinπ+x ，试求 gx 的伴随向量 OM ；
(2)记向量 ON=1,2 的伴随函数为 fx ，求当 fx=455 . 且 x∈0,π2 时 sinx 的值；
(3)设 ℎx=2cs12x ，已知 A−2,3,B2,6 ，问在 y=ℎx 的图象上是否存在一点 P ，使得
AP⊥BP . 若存在,求出 P 点坐标; 若不存在,说明理由.
1. C
因为 a=1,0,b=−1,k ,
所以 a+2b=1,0+2−1,k=−1,2k ,
因为 a+2b//c,c=2,1 ,
所以 −1×1−2k×2=0 ,解得 k=−14
故选: C.
2. B
因为 a=4,3 ,所以 a=32+42=5 ,
所以与向量 a 同向的单位向量的坐标为: aa=a5=45,35 ,
故选: B
3. C
因为 a=4,b=2,a⋅a−b=20 ,
所以 a⋅a−b=a2−a⋅b=42−a⋅b=20 ,所以 a⋅b=42−20=−4 ,
所以 cs⟨a,b⟩=a⋅bab=−44×2=−12 ,而 ⟨a,b⟩∈0,π ,所以 ⟨a,b⟩=2π3 ,
即向量 a 与 b 的夹角为 2π3 .
故选: C.
4. A
法一: 设 AE=λABλ∈0,1 ,
因为 O 为 AC 的中点,所以 BO=12BA+BC=12−AB+AD ,
所以 OB=12AB−AD . 又 DE=AE−AD=λAB−AD ,
所以 OB⋅DE=12AB−AD⋅λAB−AD=12λAB2+AD2=8λ+2 ,
因为 λ∈0,1 ,所以 8λ+2∈2,10 ,
所以 OB⋅DE∈2,10 ;
法二: 以 A 为坐标原点, AB,AD 的方向分别为 x,y 轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系,
则 O2,1,D0,2,B4,0 ,设 Em,00≤m≤4 ,
所以 OB=2,−1,DE=m,−2 ,所以 OB⋅DE=2m+2 .
因为 0≤m≤4 ,所以 2m+2∈2,10 ,
即 OB⋅DE∈2,10 .

故选: A.
5. D
: 向量 a=1,2,b=x,y,∴a⋅b=x+2y,a=12+22=5 ,
∴b 在 a 上的投影向量是 a⋅baaa=x+2y5a=15a,∴x+2y=1 ,
∴x2+y2=1−2y2+y2=5y2−4y+1=5y−252+15 ,
∴ 当 y=25,x=15 时, x2+y2 取最小值 15 .
故选: D.
6. B
由题意,设 BG=xBE,x∈0,1 ,
则 BG=xBC+CE=xBC+x2CD=xBC+x2BA ,
因为 A,G,C 三点共线,
所以 x+x2=1 ,即 x=23 ,
所以 BG=23BE ,
所以 BF=λBE+μBA=3λ2BG+μBA ,
又 F,A,G 三点共线,
所以 3λ2+μ=1 ,
所以 1λ+1μ=3λ2+μ1λ+1μ=52+3λ2×1μ+μ×1λ≥52+23λ2μ×μλ=52+6 ,
当且仅当 3λ2μ=μλ ,即 λ=6−263,μ=6−2 时等号成立,
故的最小值为 52+6 .
故选: B.
7. A
由 D,O,C 共线,则 DO=kDC=kBC−BD=kAC−23AB,k∈R ,
所以 AO=AD+DO=23AB+DO=23AB+kAC−23AB=231−kAB+kAC ①,
由 B,O,E 共线,则 BO=μBE=μBC+CE=μAC−AB+34CA=μ14AC−AB,μ∈R , 所以 AO=AB+BO=AB+μ14AC−AB=1−μAB+μ4AC2 ,
由①②知: 231−k=1−μk=μ4 ，则 k=110μ=25 ，故 AO=35AB+110AC ，
由 AO=λOF ,则 AF=λ+1λAO=λ+1λ35AB+110AC=3λ+35λAB+λ+110λAC ,
由 B,F,C 共线,则 3λ+35λ+λ+110λ=1 ,可得 λ=73 .
故选: A
8. A
∵a=2,b=a+b=1,∴a+b2=a2+2a⋅b+b2=1 ,
即 2+2a⋅b+1=1 ,则 a⋅b=−1 ,
故 a⋅b=abcsθ=−1 ,得 csθ=−22 ,
∵θ∈0,π, ∴sinθ=1−−222=22 ,
∴a⊕b=asinθ−bcsθ=22a+22b
=12a2+a⋅b+12b2=12×2−1+12=22 .
故选: A.
9. BCD
对于 A 选项, AB=−EF, A 选项错误.
对于 B 选项, OA−ED=EO−ED=DO, B 选项正确.
对于 C 选项，由于八边形 ABCDEFGH 为正八边形,故 ∠DOB=π2 ，且 OB=OD ，
故 OB+OD=2OC ,所以选项 C 正确.
对于 D 选项，由于 AH 和 CE 不共线，故 AH 和 CE 能构成一组基底，所以 D 正确. 故选: BCD.
10. ABD
对于 A ,如图,取边 AB 中点 D ,连接 AB 边上的中线 CD ,则 OA+OB=2OD , 又 OA+OB+OC=0,∴OC=−2OD ,即 OC=2OD ,
所以点 O 为 △ABC 的重心,故 A 正确;

对于 B ,由 OA⋅OB=OB⋅OC ,可得 OB⋅OA−OC=OB⋅CA=0 ,即 OB⊥CA ,
同理,可得 OC⊥AB,OA⊥BC ,即点 O 为 △ABC 的 3 条高的交点,所以点 O 为 △ABC 的垂心, 故 B 正确;
对于 C ,由 OB−OC=OB+OC−2OA ,则 CB=AB+AC ,
∴AB−AC=AB+AC ,即 AB−AC2=AB+AC2 ,化简得 AB⋅AC=0 ,
即 AB∠AC ，所以 △ABC 为直角三角形，故 C 错误；
对于 D ,因为 AO=15AB+25AC ,所以 △ABC 与 △AOB 边 AB 上的高之比为 5 : 2,
所以 △ABC 与 △AOB 的面积之比为 5:2,故 D 正确.
故选: ABD.
11. ACD
因为在梯形 ABCD 中, AB//DC,AB=2BC=2CD=2DA ,
所以 DC=12AB ,
则 AC=AD+DC=AD+12AB .
对于选项 A: 因为 M 为线段 BC 的中点,
所以 BM=MC ,即 AM−AB=AC−AM ,
所以 AM=12AB+AC=12AB+AD+12AB=34AB+12AD ,故选项 A 正确;
对于选项 B : 因为 A、N、M 三点共线,
所以存在唯一的 m∈R ,使得 AN=mAM=34mAB+12mAD .
又因为 B、N、D 三点共线,
所以存在唯一的 n∈R ,使得 BN=nBD=nAD−AB=−nAB+nAD ,
又因为 BN=AN−AB=34mAB+12mAD−AB=34m−1AB+12mAD ,
所以 34m−1=−n12m=n ,解得 m=45n=25 ,故 AN=35AB+25AD ,
所以 CN=AN−AC=35AB+25AD−AD+12AB=110AB−35AD ,
则向量 AD 与 CN 不共线,故选项 B 错误;
对于选项 C: 因为 M 为线段 BC 的中点,
所以 S△ACM=S△ABM=12S△ABC .
由选项 B 可得: AN=45AM ，
所以 S△ACN=45S△ACM=25S△ACB;S△ABN=45S△ABM=25S△ACB;S△BCN=15S△ACB ,
所以 S△BCN:S△ACN:S△ABN=1:2:2 ,故选项 C 正确;
对于选项 D: 因为 P 为线段 CD 上的一个动点,
所以设 DP=tDC=t2AB,t∈0,1 .
又因为 AP=AD+DP=AD+t2AB,AP=λAB+μAD ,
所以 λ+μ=1+t2∈1,32 ,则 λ+μ 最大值 32 ,故选项 D 正确.
故选: ACD.
12. 12,−1
已知 a=1,−2 ,则 a=12+−22=5 .
因为 a⊥a−2b ,根据向量垂直的性质可知 a⋅a−2b=0 ,即 a2−2a⋅b=0 .
将 a=5 代入上式可得 52−2a⋅b=0 ,即 5−2a⋅b=0 ,解得 a⋅b=52 .
根据投影向量的计算公式,向量 b 在向量 a 上的投影向量为 a⋅ba2a .
将 a⋅b=52,a=5,a=1,−2 代入可得:
52521,−2=5251,−2=121,−2=12,−1.
故答案为: 12,−1 .
13. −∞,−12∪−12,2
向量 a=−2,1,b=1,k ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则 a⋅b