2027年德州市高考数学考前最后一卷预测卷（含答案解析）

这是一份2027年德州市高考数学考前最后一卷预测卷（含答案解析），共16页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，在中，，，，则在方向上的投影是等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点(m,8)在幂函数的图象上，设，则（ ）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b
2．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）
A．16B．12C．8D．6
3．在平行四边形中，若则( )
A．B．C．D．
4．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A．B．C．D．
7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ）
A．96里B．72里C．48里D．24里
8．在中，，，，则在方向上的投影是（ ）
A．4B．3C．-4D．-3
9．已知是定义是上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3B．5C．7D．9
10．过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
11．中国古典乐器一般按“八音”分类．这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（pá）、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（ ）
A．30B．C．D．62
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______．
14．已知函数，若方程的解为，（），则_______；_______．
15．若一个正四面体的棱长为1，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为_________.
16．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测：
甲说：第1个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
乙说：第2个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
丙说：第4个盒子里放的是，第2个盒子里放的是
丁说：第4个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
小明说：“四位朋友你们都只说对了一半”
可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中，曲线：.
（1）求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程；
（2）若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，求这三个点的极坐标.
18．（12分）在数列中，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在，使得成立，求实数的最小值
19．（12分）在四棱锥的底面是菱形， 底面，， 分别是的中点， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（III）在边上是否存在点，使与所成角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.
20．（12分）在极坐标系中，已知曲线，．
（1）求曲线、的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
（2）若曲线、交于、两点，求两交点间的距离．
21．（12分）设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数．
（1）求p的值；
（2）求证：数列{an}为等比数列；
（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．
22．（10分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.
表中，.
（1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
（3）若单位时间内煤气输出量与旋转的弧度数成正比，那么，利用第（2）问求得的回归方程知为多少时，烧开一壶水最省煤气？
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为，
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
先利用幂函数的定义求出m的值，得到幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，再利用幂函数f（x）的单调性，即可得到a，b，c的大小关系.
【详解】
由幂函数的定义可知，m﹣1＝1，∴m＝2，
∴点（2，8）在幂函数f（x）＝xn上，
∴2n＝8，∴n＝3，
∴幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，
∵，1＜lnπ＜3，n＝3，
∴，
∴a＜b＜c，
故选：B.
本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.
2、B
【解析】
根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.
【详解】
由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2
所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，
所以该正三棱柱的侧面积为
故选：B
本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.
3、C
【解析】
由，,利用平面向量的数量积运算,先求得利用平行四边形的性质可得结果.
【详解】
如图所示,
平行四边形中, ,
，
，
,
因为,
所以
,
，
所以，故选C.
本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.
4、A
【解析】
联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.
【详解】
联立方程，解方程可得或，
不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0，
因为，，
由平面向量垂直的坐标表示可得，，
因为，所以a2-c2=ac，
两边同时除以可得，，
解得e=或（舍去），
所以该椭圆的离心率为.
故选：A
本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
5、C
【解析】
根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．
【详解】
由“”，得，
得或或，
即或或，
由，得，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选C．
本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．
6、A
【解析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.
【详解】
水费开支占总开支的百分比为.
故选：A
本题考查折线图与柱形图，属于基础题.
7、B
【解析】
人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，计算，代入得到答案.
【详解】
由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，
则，解得，从而可得，故.
故选：.
本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
8、D
【解析】
分析：根据平面向量的数量积可得，再结合图形求出与方向上的投影即可.
详解：如图所示：
，
，
，
又，，
在方向上的投影是：，
故选D.
点睛：本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题.
9、D
【解析】
根据是定义是上的奇函数，满足，可得函数的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得 ，利用周期性可得函数在区间上的零点个数．
【详解】
∵是定义是上的奇函数，满足， ，可得，
函数的周期为3，
∵当时， ，
令，则，解得或1，
又∵函数是定义域为的奇函数，
∴在区间上，有．
由，取，得 ，得，
∴．
又∵函数是周期为3的周期函数，
∴方程=0在区间上的解有 共9个，
故选D．
本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．
10、C
【解析】
设抛物线的解析式，得焦点为，对称轴为轴，准线为，这样可设点坐标为，代入抛物线方程可求得，而到直线的距离为，从而可求得三角形面积．
【详解】
设抛物线的解析式，
则焦点为，对称轴为轴，准线为，
∵ 直线经过抛物线的焦点，，是与的交点，
又轴，∴可设点坐标为，
代入，解得，
又∵点在准线上，设过点的的垂线与交于点，，
∴.
故应选C.
本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出点坐标，从而求得参数的值．本题难度一般．
11、B
【解析】
分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.
【详解】
从“八音”中任取不同的“两音”共有种取法；
“两音”中含有打击乐器的取法共有种取法；
所求概率.
故选：.
本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.
12、B
【解析】
根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，
因此.
故选：B
本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
设圆柱的轴截面的边长为x，可求得，代入圆柱的表面积公式，即得解
【详解】
设圆柱的轴截面的边长为x，
则由，得，
∴．
故答案为：
本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.
14、
【解析】
求出在 上的对称轴，依据对称性可得的值;由可得，依据可求出的值.
【详解】
解：令，解得
因为，所以 关于 对称.则.
由，则
由可知，，又因为 ，
所以，则，即
故答案为: ;.
本题考查了三角函数的对称轴，考查了诱导公式，考查了同角三角函数的基本关系.本题的易错点在于没有正确判断的取值范围，导致求出.在求的对称轴时，常用整体代入法，即令 进行求解.
15、
【解析】
将四面体补成一个正方体，通过正方体的对角线与球的半径的关系，得到球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.
【详解】
如图所示，将正四面体补形成一个正方体，
则正四面体的外接球与正方体的外接球表示同一个球，
因为正四面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，
设球的半径为，因为球的直径是正方体的对角线，
即，解得，
所以球的表面积为.
本题主要考查了有关求得组合体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长，得到球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及运算与求解能力，属于基础题.
16、A或D
【解析】
分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可．
【详解】
解：假设甲说：第1个盒子里面放的是是对的，
则乙说：第3个盒子里面放的是是对的，
丙说：第2个盒子里面放的是是对的，
丁说：第4个盒子里面放的是是对的，
由此可知第4个盒子里面放的是；
假设甲说：第3个盒子里面放的是是对的，
则丙说：第4个盒子里面放的是是对的，
乙说：第2个盒子里面放的是是对的，
丁说：第3个盒子里面放的是是对的，
由此可知第4个盒子里面放的是．
故第4个盒子里面放的电影票为或．
故答案为：或
本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），;（2），，.
【解析】
(1)把曲线 的参数方程与曲线 的极坐标方程分别转化为直角坐标方程；(2)利用图象求出三个点的极径与极角.
【详解】
解：（1）由消去参数得，
即曲线的普通方程为，
又由得
即为，即曲线的平面直角坐标方程为
（2）∵圆心到曲线：的距离，
如图所示，所以直线与圆的切点以及直线与圆的两个交点，即为所求．
∵，则，直线的倾斜角为，
即点的极角为，所以点的极角为，点的极角为，
所以三个点的极坐标为，，.
本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.
18、（1）；（2）
【解析】
（1）由得，两式相减可得是从第二项开始的等比数列，由此即可求出答案；
（2），分类讨论，当时，，作商法可得数列为递增数列，由此可得答案，
【详解】
解：（1）因为，，
两式相减得：，即，
是从第二项开始的等比数列，
∵
∴，则，
；
（2），
当时，；
当时，
设递增，
，
所以实数的最小值．
本题主要考查地推数列的应用，属于中档题．
19、（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）； （Ⅲ）见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面，据此证明题中的结论即可；
(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量与平面的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
(Ⅲ)假设满足题意的点存在，设，由直线与的方向向量得到关于的方程，解方程即可确定点F的位置.
【详解】
(Ⅰ)由菱形的性质可得：，结合三角形中位线的性质可知：，故，
底面，底面，故，
且，故平面，
平面，
(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知，，，
以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，
设平面的一个法向量为,
则：，
据此可得平面的一个法向量为，
而，
设直线与平面所成角为，
则.
(Ⅲ)由题意可得：，假设满足题意的点存在，
设，，
据此可得：，即：,
从而点F的坐标为，
据此可得：,，
结合题意有：，解得：.
故点F为中点时满足题意.
本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20、（1）表示一条直线，是圆心为，半径为的圆；（2）.
【解析】
（1）直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线的方程化为直角坐标方程，进而可判断出曲线的形状，在曲线的方程两边同时乘以得，由可将曲线的方程化为直角坐标方程，由此可判断出曲线的形状；
（2）由直线过圆的圆心，可得出为圆的一条直径，进而可得出.
【详解】
（1），则曲线的普通方程为，
曲线表示一条直线；
由，得，则曲线的直角坐标方程为，即．
所以，曲线是圆心为，半径为的圆；
（2）由（1）知，点在直线上，直线过圆的圆心．
因此，是圆的直径，．
本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了直线截圆所得弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.
21、（1）p＝2；（2）见解析（3）见解析
【解析】
（1）取n＝1时，由得p＝0或2，计算排除p＝0的情况得到答案.
（2），则，相减得到3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn，再化简得到，得到证明.
（3）分别证明充分性和必要性，假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，计算化简得2x﹣2y﹣2＝1，设k＝x﹣（y﹣2），计算得到k＝1，得到答案.
【详解】
（1）n＝1时，由得p＝0或2，若p＝0时，，
当n＝2时，，解得a2＝0或，
而an＞0，所以p＝0不符合题意，故p＝2；
（2）当p＝2时，①，则②，
②﹣①并化简得3an+1＝4﹣Sn+1﹣Sn③，则3an+2＝4﹣Sn+2﹣Sn+1④，
④﹣③得（n∈N*），
又因为，所以数列{an}是等比数列，且；
（3）充分性：若x＝1，y＝2，由知an，2xan+1，2yan+2依次为，，，
满足，即an，2xan+1，2yan+2成等差数列；
必要性：假设an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数，又，
所以，化简得2x﹣2y﹣2＝1，
显然x＞y﹣2，设k＝x﹣（y﹣2），
因为x、y均为整数，所以当k≥2时，2x﹣2y﹣2＞1或2x﹣2y﹣2＜1，
故当k＝1，且当x＝1，且y﹣2＝0时上式成立，即证．
本题考查了根据数列求参数，证明等比数列，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.
22、（1）选取更合适；（2）；（3）时，煤气用量最小.
【解析】
（1）根据散点图的特点，可得更适合；
（2）先建立关于的回归方程，再得出关于的回归方程；
（3）写出函数关系，利用基本不等式得出最小值及其成立的条件.
【详解】
（1）选取更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型；
（2）
由公式可得：，
，
所以所求回归直线方程为：；
（3）根据题意，设，
则煤气用量，
当且仅当时，等号成立，
即时，煤气用量最小.
此题考查根据题意求回归方程，利用线性回归方程的求法得解，结合基本不等式求最值.