河北省承德市部分重点高中2025-2026学年高二下学期7月期末考试试卷 数学（含解析）

这是一份河北省承德市部分重点高中2025-2026学年高二下学期7月期末考试试卷 数学（含解析），共3页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知复数，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
4．2026年5月13日，某高校科研团队发布“九章四号”量子计算原型机，其生成的光子样本分为两类：4个高斯分布样本和3个均匀分布样本．从中抽取2个样本，则抽取的样本中，两类样本都有的抽法有（ ）
A．7种B．12种C．21种D．42种
5．某同学收集了某地区近5年的年降雨量（单位：mm）与年蒸发量（单位：mm）的数据，计算得样本中心点为．若与的经验回归方程为，则的值为（ ）
A．40B．C．60D．
6．二项式的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．60D．160
7．2026年5月25日，国外某科技公司发布数学智能体，一次性破解9道悬而未决的Erd ös数学难题．已知该智能体解答某难度数学题的正确率为，随机变量表示它解答道该难度数学题的正确数．若,，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
8．定义：若存在实数，使得函数和满足且同时成立，则称和互为“亲密函数”，称为它们的“亲密点”．已知，，若存在实数使得和有且仅有一个亲密点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，，且，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值是B．的最小值是10
C．的取值范围是D．
10．实验室测试发现，某款手机的应用启动时间（单位：ms）与系统资源占用率（单位：%，）近似满足函数关系．下列关于函数的说法，正确的有（ ）
A．函数在区间上有2个极值点
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象与直线有3个不同的交点
D．直线与函数的图象相切
11．现有6名选手参加赛前培训，则下列说法正确的有（ ）
A．将6名选手平均分成3个小组，有15种不同的分法
B．将6名选手平均分成3个小组同时参加三项不同的培训，有90种不同的分法
C．将6名选手分成3个小组，一组1人、一组2人、一组3人，有60种不同的分法
D．将6名选手分成3个小组同时参加三项不同的培训，一组1人、一组2人、一组3人，且选手甲不单独成组，有240种不同的分法
三、填空题
12．变量与满足非线性关系，通过对数据做取自然对数处理后，得到经验回归方程（其中），则当时，的预测值为______．
13．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______．
14．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则区间上满足的所有整数的和为______．
四、解答题
15．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，．
(1)求实数，的值；
(2)求函数的解析式；
(3)若，求实数的取值范围．
16．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求函数在区间上的最大值．
17．为了研究某新型护眼灯对预防青少年近视的效果，某教育机构在某校随机抽取了200名学生进行为期一年的跟踪调查，得到如下列联表：
(1)根据小概率值的独立性检验，分析使用该新型护眼灯是否会预防近视加深；
(2)从使用护眼灯的100名学生中，按近视情况采用比例分配的分层随机抽样抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行视力复查，求抽取的3人中至少有1人近视加深的概率．
附：，．
18．某商场举行抽奖活动，规则如下：顾客从装有3个红球和2个白球的盒子中不放回地依次抽取2个球，若抽到的2个球都是红球，则获得一等奖，奖金100元；若抽到的2个球是1个红球和1个白球，则获得二等奖，奖金50元；若抽到的2个球都是白球，则不获奖．
(1)求顾客抽奖1次获得一等奖的概率；
(2)若有3名顾客各抽奖1次，设这3名顾客获得的奖金总额为元，求的分布列和数学期望；
(3)商场为了控制成本，决定调整奖金规则：将一等奖奖金调整为元，二等奖奖金调整为元，且要求调整后顾客抽奖1次获得的奖金期望不超过20元，同时一等奖奖金不低于二等奖奖金的2倍，求的最大值．
19．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，恒成立；
(3)证明：．
参考答案
1．B
【详解】因为的解集为，
因此集合，
所以．
因为的解集为
因此集合，
所以．
2．A
【详解】因为，所以，故充分性成立；
当，时，不等式成立，但，故必要性不成立．
综上，“”是“”的充分不必要条件．
3．B
【详解】因为，
所以．
4．B
【详解】从4个高斯分布样本中抽取1个样本，有4种抽法；从3个均匀分布样本中抽取1个样本，有3种抽法，
由分步乘法计数原理，得符合题意的抽法有种.
5．A
【详解】经验回归直线必过样本中心点，
即，解得．
6．C
【详解】二项式的展开式的通项为：
，．
令，解得，所以的系数为．
7．B
【详解】由题意，得，则，，
所以，解得．所以．
8．B
【详解】由题意得，亲密点需同时满足和．
因为，，，所以，．
由题意，得，所以，所以．
代入，得，即，所以．
对于每个，存在唯一的使得和恰好有一个亲密点，
因此实数的取值范围是．
9．ACD
【详解】因为，，且，所以由基本不等式，得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确；
因为，，所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是8，故B错误；
因为，，所以，
所以，即的取值范围是，故C正确；
，令，则．函数在上单调递减，
所以在上的最小值为．
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确．
10．ABD
【详解】因为，，所以．
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在和处取得极值．
对于A，由以上分析，得函数在区间上有2个极值点，故A正确；
对于B，由以上分析，得函数在区间上单调递增，故B正确；
对于C，函数的图象与直线的交点个数即方程的实数根的个数．
方程可化为，方程只有2个不同的实数根和，
所以函数的图象与直线只有2个交点，故C错误；
对于D，因为，，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
所以直线与函数的图象相切，故D正确．
11．ABC
【详解】对于选项 A：将6名选手平均分成3个小组，不同的分法有种，故选项A正确；
对于选项B：先为第一项培训选人，从6人中选2人，有种选法；再为第二项培训选人，从剩下的4人中选2人，有种选法；最后为第三项培训选人，从剩下的2人中选2人，有种选法．由分步乘法计数原理，得不同的分法有种，故选项B正确；
对于选项C：将6名选手分成人数分别为1，2，3的3组，不同的分法有种，故选项C正确；
对于选项D：因为选手甲不单独成组，所以选手甲在2人组或3人组.
先安排1人组，有种选法，再安排2人组和3人组，有种选法，不同的分法有种；
将3组人分配到三项不同的培训，有种不同的分配方法．故符合题意的不同分法有种，故选项D错误．
12．
【详解】据题意，将取自然对数得，
与给定的经验回归方程对比，得，，所以．
因此原回归方程为．
当时，．
13．
【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立．
当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件．
当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点，
所以，且判别式，解得．
综上，实数的取值范围是．
14．7
【详解】因为函数是奇函数且满足，所以，
故，因此函数的周期为4．
当时，，所以，，
所以，．
所以
对于区间上的整数，逐一计算，并判断是否满足．
当时，，不满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，满足；
当时，，不满足；
当时，，满足；
当时，，满足．
综上，满足条件的整数为，0，1，3，4，其和为7．
15．(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，解得，．
（2）由（1）可知，当时，．
当时，，所以．
因为是定义在上的奇函数，
所以当时，．
所以
（3）因为当时，，
反比例函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增．
因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增．
由题意，得不等式即，
所以．
解得，即实数的取值范围是．
16．(1)当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减．
(2)当时，最大值为；当时，最大值为2
【详解】（1）因为，所以，
令，解得或，
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，，所以当或时，，
当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，，所以当或时，，
当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，所以函数在上单调递减，
所以函数在区间上的最大值为；
当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为和中的较大者，
因为，，
解，得，解，得，
所以当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为；
综上，当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为2．
17．(1)使用该新型护眼灯会预防近视加深
(2)
【详解】（1）零假设为：使用该新型护眼灯与预防近视加深无关联．
由列联表中的数据，计算得．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即使用该新型护眼灯会预防近视加深，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）使用护眼灯的100名学生中，近视加深的有12人，近视未加深的有88人．
按比例分配的分层随机抽样抽取10人，抽取比例为，
故抽取的近视加深的人数为，根据实际四舍五入取整数1，近视未加深的人数为9．
从这10人中随机抽取3人，记这3人中近视加深的人数为，则的可能取值为0和1．
因为，
事件：抽取的3人中至少有1人近视加深即事件，所以所求概率为．
18．(1)
(2)的分布列如下表．
(3)
【详解】（1）盒子中共有5个球，3红2白，不放回地依次抽取2个球．
由活动规则知，抽奖1次，获得一等奖即抽到2个红球，其概率．
（2）由（1）知，抽奖1次获得一等奖的概率为．
由活动规则知，抽奖1次，获得二等奖即抽到1个红球1个白球，其概率．
不获奖即抽到2个白球，其概率．
则每名顾客抽奖1次获得的奖金金额元的分布列如下表．
所以的数学期望．
由题意知，3名顾客抽奖相互独立．设3名顾客获得的奖金分别为，，，
则由题意得，总奖金，
则的可能取值为0，50，100，150，200，250，300．
当，即3名顾客获得的奖金均为0元，所以．
当，即3名顾客中，1人获得的奖金为50元，其余2人获得的奖金均为0元，
所以.
当，即3名顾客中，1人获得的奖金为100元，其余2人获得的奖金均为0元或2人获得的奖金为50元，其余1人获得的奖金为0元，
所以．
当，即3名顾客中，1人获得的奖金为100元，1人获得的奖金为50元，1人获得的奖金为0元或3人获得的奖金均为50元，
所以．
当，即3名顾客中，1人获得的奖金为100元，其余2人获得的奖金均为50元或2人获得的奖金均为100元，其余1人获得的奖金为0元，
所以．
当，即3名顾客中，2人获得的奖金均为100元，其余1人获得的奖金为50元，所以.
当，即3名顾客获得的奖金均为100元，
所以．
所以的分布列如下表．
所以的数学期望（或）．
（3）由题意及（2），得调整后，顾客抽奖1次获得的奖金期望为．
由题意，得，，，，
化简，得，，，．所以的最大值为．
当时，令，则．解，得．
取，则，，满足，均为正数，故的最大值为．
19．(1)
(2)证明：要证，即证．令，，
依题意，只需证当时，恒成立．
方法一：因为，，解，得，
所以当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减．
所以函数在处取得极大值，也是最大值．
只需证函数的最大值．
，
因为，所以．因为，所以．
所以恒成立，所以当时，恒成立．
方法二：设，，则．
因为函数在上单调递减，且，
所以当时，，函数在上单调递减．
所以当时，，即，当且仅当时，等号成立．
因为当时，，所以．
所以当时，恒成立．
(3)证明：由（2）知，对任意，．
取，得．
分别取，个不等式两边分别求和，得
．
化简，得．
即．
【详解】（1）因为，，所以，，所以．
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）略
（3）略护眼灯
预防效果
合计
近视加深
近视未加深
使用
12
88
100
未使用
28
72
100
合计
40
160
200
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
0
50
100
150
200
250
300
0
50
100
0
50
100
150
200
250
300