河北省承德市部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷（含解析）

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1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 样本数据3，5，2，7，9，11的中位数是（ ）
A. 4.5B. 6C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【详解】样本数据3，5，2，7，9，11从小到大排列为2，3，5，7，9，11，
则中位数为．
2. 为调研消费者对不同动漫角色的购买偏好，根据统计数据得到角色A购买者有600位，角色B购买者有650位，角色C购买者有750位．现采用按比例分层随机抽样的方法抽取160人进行调研，则应抽取的角色A购买者的人数是（ ）
A. 60B. 52C. 48D. 72
【答案】C
【解析】
【详解】设应抽取的角色A购买者的人数为，则，所以，
所以应抽取的角色A购买者的人数为48．
3. 若平面平面β，平面平面β，则α，β，γ将空间分成（ ）
A. 4个部分B. 5个部分C. 6个部分D. 7个部分
【答案】C
【解析】
【详解】如图所示，将空间分成6个部分，C正确.

4. 若为从集合中任意选取的一个元素，则是纯虚数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】应用纯虚数定义计算结合古典概型求解.
【详解】根据题意可得，仅当时，为纯虚数，
所以是纯虚数的概率为．
5. 如图，，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据题意可得，所以．
6. 在中，，，，点在边上，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由，，得，，
由，得，
所以．
7. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为梯形，已知，，，，则将四边形绕着旋转一周得到的旋转体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由斜二测画法规则，得四边形为直角梯形，，，
因此将四边形绕着旋转一周得到的旋转体为上、下底面半径分别为，高为6的圆台，
所以所求体积为．
8. 将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为、、、、、）先后抛掷两次，记第一次和第二次向上的点数分别为、，设向量，，则的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由得，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由，得．
由题意可知将该枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，共有种情况，
其中满足的的情况为、、、、、
、、、、、、，共有种等可能情况，
所以所求概率为．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（ ）
A. 的虚部为1B.
C. D. 的共轭复数为
【答案】ABD
【解析】
【详解】，的虚部为1，A正确；
，B正确；
，C错误；
的共轭复数为，D正确．
10. 林下调研区划分出8块独立的菌菇监测样地，编号为1，2，3，4，5，6，7，8．调研人员先后两次有放回地选取样地开展观测，则下列与“两次选中的样地编号之和为9”是互斥事件的是（ ）
A. 两次选中的样地编号相等
B. 两次选中的样地编号之积为偶数
C. 两次选中的样地编号之和为8
D. 第一次选中的样地编号大于第二次选中的样地编号
【答案】AC
【解析】
【分析】互斥事件的定义为：不可能同时发生的两个事件互为互斥事件，即两个事件的样本点集合满足.首先明确事件：“两次选中的样地编号之和为9”，其所有样本点为，再逐一判断各选项事件与的交集是否为空.
【详解】A：事件为“两次选中的样地编号相等”，样本点为，其编号和为是偶数，
而9是奇数，两事件不可能同时发生，是互斥事件，A正确；
B：事件为“两次选中的样地编号之积为偶数”，中的样本点如满足积为8是偶数，
两事件存在公共样本点，不是互斥事件，B错误；
C：事件为“两次选中的样地编号之和为8”，两次编号和不可能同时为8和9，
两事件没有公共样本点，是互斥事件，C正确；
D：事件为“第一次选中的样地编号大于第二次选中的样地编号”，中的样本点如满足第一次编号大于第二次，两事件存在公共样本点，不是互斥事件，D错误.
11. （多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（ ）
A. 平面平面B. 的最小值为
C. 几何体共有8个面D. 几何体外接球的半径为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项A，根据翻折前后，位于同一平面内的位置关系不变，可知，，利用面面垂直的判定判断；对于选项B，将平面与平面展开至同一平面，问题转化为求的长；对于选项C，观察图形可判断；对于选项D，将原图形补成长方体，长方体的体对角线长即为外接球的直径.
【详解】几何体共有7个面，C错误；
因为四边形为矩形，所以，，翻折后，，因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，A正确；
因为，，，
所以，所以，则，同理可证，
可将几何体补全为长为、宽为3、高为4的长方体，
其外接球即为长方体的外接球，外接球的半径为，D正确；
连接，，将平面与平面展开至同一平面，
如图3所示，当F，K，P在同一直线上时，取得最小值.
因为，，，
所以平面，则，
在图3中过作，与的延长线交于点，
则，，
所以，B正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若平面向量与的夹角为，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据数量积的定义求出，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】
，
所以.
13. 若数据1，2，10，11的平均数为，方差为，数据4，5，7，8的平均数为，方差为，则________，________．（请从“”“=”中选择合适的填入）
【答案】 ①. = ②. >
【解析】
【详解】，
所以，
，
所以.
14. 如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，为母线的中点，是底面圆圆周上的点，为等边三角形，则直线与平面所成角的余弦值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】利用圆锥底面垂直轴截面的性质，过点作线段的垂线，得到到平面的垂线段，确定线面角；设定底面半径为，依次求出相关线段长度，在直角三角形内计算线面角的余弦值.
【详解】如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．
因为垂直于底面，所以，因为，，面，
所以平面，所以直线与平面所成的角为（或其补角）．
设，则，，所以，，所以，，所以．
方法归纳：
1.找线面角核心：寻找直线上一点到平面的垂线，垂足与斜足连线构成射影；
2.旋转体题型常把参数具体赋值，简化长度运算；
3.底面与轴截面垂直时，易证明底面上垂直交线的直线垂直轴截面.
易错归纳：
1.混淆线面角定义，错把斜线与垂线夹角当成线面角；
2.垂线段找错，导致后续计算出错.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某平台共2000家线上店铺，现从中随机抽取100家店铺开展走访调研，对其日平均利润（单位：元）进行了统计，所得频率分布直方图如图所示，其中．
（1）求，，的值（用小数表示）；
（2）试估计这100家店铺日平均利润的第75百分位数；
（3）若将日平均利润超过590元的商家称为“金牌商家”，估计该平台“金牌商家”的家数．
【答案】（1）
，，
（2）

（3）
【解析】
【分析】 （1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，结合已知比例关系列方程求解；
（2）根据第百分位数的定义，确定其所在区间，利用面积比例计算具体数值；
（3）计算样本中日平均利润超过元的频率，利用样本估计总体的思想计算家数.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知，组距为。 根据频率分布直方图的性质，所有小矩形的面积之和等于，
即， 整理得.
又已知， 所以，.
将代入方程得， 解得，即.
所以，。 故，，.
【小问2详解】
设第百分位数为. 由（1）可知，各组的频率依次为：
：； ：；
：； ：.
前三组的频率之和为， 前四组的频率之和为，
所以第百分位数位于第四组内.
由， 得， 解得，即.
故估计这家店铺日平均利润的第百分位数为。
【小问3详解】
日平均利润超过元的频率为：

.
该平台共有家线上店铺， 所以估计该平台“金牌商家”的家数为.
故估计该平台“金牌商家”的家数为.
16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，，，，分别是，的中点．
（1）证明：平面．
（2）求异面直线与所成角的正切值．
【答案】（1）证明：取的中点，连接，．
因为底面是平行四边形，所以，．
因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以，．
所以，．
因为是的中点，所以，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面. ，平面，所以平面．
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点为，连接，通过证明结合题设可完成证明；
（2）由（1）可得（或其补角）为异面直线与所成的角．然后由题目数据可得答案.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
由（1）得，所以（或其补角）为异面直线与所成的角．
因为平面，所以．
因为是的中点，所以，则．
设，则，，
所以异面直线与所成角的正切值为．
17. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序．规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其他情况均不获得会员．已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立．
（1）若，且甲按题1题2题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率；
（2）若，要使甲获得会员的概率最大，应如何安排答题顺序？
【答案】（1）
（2）应将题1放在中间，题2、题3放在首尾，即答题顺序为题2→题1→题3或题3→题1→题2，此时获得会员的概率最大.
【解析】
【分析】(1)获得30天会员需三道题全部答对，直接利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算；
(2) 先推导任意答题顺序下获得会员的概率表达式，发现概率大小由中间题的答对概率决定，将答对概率最高的题放在中间即可得到最大概率.
【小问1详解】
甲按题1→题2→题3的顺序答题，获得30天会员的条件是连续答对3道题，即3道题全部答对.
由于各题答对与否相互独立，因此所求概率为： .
【小问2详解】
设任意答题顺序为（为3道题的一个排列），获得会员的条件为至少存在连续2道题答对，
即事件“答对且答对”与“答对且答对”至少一个发生.
由各题答题结果相互独立得
而3道题的答对概率分别为，，，
类型①：中间放答对概率最低的题3， ，
类型②：中间放题2，，
类型③：中间放概率最高的题1，，
而，因此应将题1放在中间，题2、题3放在首尾，
即答题顺序为题2→题1→题3或题3→题1→题2，此时获得会员的概率最大.
18. 在锐角中，内角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，且边上的中线，求的面积；
（3）求的最小值，并指出此时的形状．
【答案】（1）；
（2）；
（3）最小值为，此时为等边三角形．
【解析】
【分析】（1）先根据正弦定理，将边化角，再结合三角恒等变换，即可求解；
（2）利用三角形的中线性质，结合三角形余弦定理，列出关于的方程组，再根据三角形的面积公式即可求解；
（3）先化简原式，再结合三角函数的运算，求得最值，进而可判断三角形的形状.
【小问1详解】
因为，根据正弦定理可得，，
代入原式，可得，
又因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，即，所以，
又，所以，
所以，解得．
【小问2详解】
因为为的中点，所以，则，
因为，，所以，
整理得①，
又根据余弦定理，，且，
所以，即②，
由①②得③，
又因为，且，，
所以④，联立③④，解得，
所以的面积为．
【小问3详解】
由题意，，
又为的内角，所以，所以，
所以，
因为，所以
，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，所以，
所以，所以，
所以，即的最小值为，
此时，即，解得，
又，所以，所以为等边三角形．
19. 如图，在三棱台中，平面平面，，，．
（1）证明：平面．
（2）若平行四边形的顶点，，，分别在棱，，，上，证明：．
（3）线段上是否存在点，使得二面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：因为，，所以，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
（2）证明：因为四边形为平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
因为平面，平面平面，所以．
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）通过平面平面结合面面垂直性质可完成证明；
（2）由可得平面，然后由线面平行性质可完成证明；
（3）分别取，的中点，，连接，，，由题设可得，，，四点共面，然后假设存在符合题意的点，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，由题设可证明即二面角的平面角，然后由题目数据可得答案.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
分别取，的中点，，连接，，．
因为，所以四边形为等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得．
因为平面平面，平面，所以平面．
根据棱台的性质可得，所以，，，四点共面．
假设存在符合题意的点，过点作，垂足为，
过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接．
因为，，所以，所以平面，
所以，所以即二面角的平面角．
由题意可得，，，，．
设，由，得，．
由.得．
若二面角为，则，解得，
则，
所以线段上存在点，且．