河南省周口市沈丘县2025-2026学年八年级下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份河南省周口市沈丘县2025-2026学年八年级下学期期末考试 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 若分式的值为0，则x的值是（ ）
A. 2B. 1C. D. 0
2. 最新研究发现，宇宙中普遍存在的“太空冰”，其内部暗藏纳米级结晶，通过计算机模拟与实验验证，首次捕捉到这些神秘冰体内部存在约宽的微晶体．数据0.000000003用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，将“数”“形”“结”“合”四个字写在正方形网格纸中，若建立平面直角坐标系，使“数”“合”的坐标分别是、，则“形”所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. 下列各图中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
5. 2025年3月12日是第47个植树节，某校八年级学生积极参与社区种树活动，随机抽取了该年级10名学生的种树数量（单位：棵）如下：3，5，4，5，6，5，3，7，5，2．这组数据的众数是（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 3
6. 如图，在菱形中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E．若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，点P是边上一点，点E、F分别是、的中点，若的面积为8，则的面积为（ ）
A. 4B. 2C. 1D. 无法确定
8. 如图，一次函数和的图象交于点A，则二元一次方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
9. 中国传统建筑的窗棂常以菱形为基本图案，寓意为“四方平安”．如图所示，某古窗的窗棂由菱形和菱形组成，和在一条直线上．若，，则菱形与菱形的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
10. 小明和妈妈同时出门沿同一条路线散步，走路较快的小明到公共阅报栏看了一会儿报，待妈妈到达后一起散步回家．他们离家的距离s（单位：m）和散步时间t（单位：）之间的函数关系图象如图所示．根据图中的信息，下列说法中，错误的是（ ）
A. 公共阅报栏距离小明家
B. 妈妈散步的速度始终不变
C. 出门时，小明的速度比妈妈快
D. 小明看报的时长为
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 小明购买了单价为15元的钢笔x支，则所需费用y（单位：元）与x之间的函数关系式为__________．
12. 不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________．
13. 如图，的对角线、相交于点O，点E、F分别是、的中点．若，则的长为_______．
14. 在某校组织的“书香满校园”读书活动中，随机抽取了八年级5名同学本学期阅读课外书籍的数量（单位：本），数据如下：5，8，8，9，10．这组数据的离差平方和是____________．
15. 在矩形中，．点P从点A出发以的速度沿射线方向运动，同时点Q从点C出发以的速度沿射线方向运动．点Q到达点D时，两点同时停止运动．连接、．当运动时间为____s时，．
三、解答题（共8个小题，满分75分）
16. 计算与化简：
（1）计算：；
（2）化简：．
17. 某校举办首届“数学文化节”，开展数学素养竞赛活动．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，现随机抽取了八年级两组学生的答题成绩（满分100分，每组10人），数据整理如下．
分析数据：
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空： ， ．
（2）根据以上数据，你认为哪个组的学生数学素养竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）若该校八年级共有200名学生参加了数学素养竞赛，且成绩为满分的学生可获得“数学之星”的称号，请你估计该校八年级获得“数学之星”称号的学生有多少人？
18. 如图，四边形是矩形，点E是的延长线上一点．过点A作的垂线交于点F．
（1）若，请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若，，求矩形的面积．
19. 如图，四边形是平行四边形，对角线交于点O，现给出三个关系：①；②；③．
（1）请从上述三个关系中选择两个，将序号填在横线上：当满足 时，四边形是正方形；
（2）请证明（1）中的命题．
20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连结、．四边形的面积为8．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当时，x的取值范围．
21. 某校计划采购、两款蕴含非物质文化遗产的书签作为校文化艺术节的纪念品．已知这两款书签的单价相差元，用元购买款书签的数量与用元购买款书签的数量恰好相等．
（1）求款书签和款书签的单价分别是多少元？
（2）若购买这两款书签共300个，且款书签的数量不少于款书签数量的一半．请设计购买方案，使总费用最少．
22. 某校学习小组根据学习反比例函数的经验对的图象和性质进行了探究．过程如下：
（1）与的几组对应值如表，其中______，自变量的取值范围为______．
（2）根据上表数据，在平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象；
（3）观察图象，写出函数的两条性质：
①_________________；
②_________________．
（4）结合函数图象回答：
①关于的方程的解是______；
②关于的不等式的解集是________．
23. 在四边形中，点是边的中点，点是边上一点（不与点重合），将沿折叠，得到，延长交射线于点．
（1）如图①，当四边形为正方形时，线段、、之间的数量关系是 ；
（2）如图②，当四边形是矩形时，请补全图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）当四边形（为锐角）为菱形，且，时，请直接写出的长．
数学
本试卷共6页，满分120分，考试时间100分钟．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 若分式的值为0，则x的值是（ ）
A. 2B. 1C. D. 0
答案：B
解析：
思路：本题考查分式值为0的条件，分式值为0需满足分子为0，且分母不为0，根据该条件计算即可得到结果．
解答过程：解：∵分式的值为0，
∴需同时满足分子为0，分母不为0，
可得，
解得，
由得，
∴．
2. 最新研究发现，宇宙中普遍存在的“太空冰”，其内部暗藏纳米级结晶，通过计算机模拟与实验验证，首次捕捉到这些神秘冰体内部存在约宽的微晶体．数据0.000000003用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：绝对值小于1的正数用科学记数法表示为，其中，n是原数中第一个非零数字前所有零的个数．
解答过程：∵0.000000003中，第一个非零数字3前共有9个零，且，
．
3. 如图，将“数”“形”“结”“合”四个字写在正方形网格纸中，若建立平面直角坐标系，使“数”“合”的坐标分别是、，则“形”所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：D
解析：
解答过程：解：坐标系如图所示：则“形”所在的象限为第四象限．
4. 下列各图中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：解：对于函数，给定一个自变量的值，都有唯一的值与其对应，
A，C，D能表示y是x的函数，都不符合题意，B不能表示y是x的函数，符合题意．
5. 2025年3月12日是第47个植树节，某校八年级学生积极参与社区种树活动，随机抽取了该年级10名学生的种树数量（单位：棵）如下：3，5，4，5，6，5，3，7，5，2．这组数据的众数是（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 3
答案：C
解析：
思路：本题考查众数的定义，解题思路是根据众数的概念，统计每个数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可得到结果．
解答过程：解：∵ 给出的10个数据为，，，，，，，，，，
统计得：出现次，出现次，出现次，出现次，出现次，出现次，
∴ 是这组数据中出现次数最多的数，
∴ 这组数据的众数是．
6. 如图，在菱形中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E．若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：解：在菱形中，，
∴，
根据作图可得，
，
．
7. 如图，在中，点P是边上一点，点E、F分别是、的中点，若的面积为8，则的面积为（ ）
A. 4B. 2C. 1D. 无法确定
答案：C
解析：
思路：连接，可得，再根据三角形中线将三角形的面积平分，即可解答．
解答过程：解：如图，连接，
四边形为平行四边形，
，
点E是的中点，
，
点F是的中点，
．
8. 如图，一次函数和的图象交于点A，则二元一次方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先由函数图象上点的坐标特征求出交点坐标，再由一次函数图象的交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解求解即可．
解答过程：解：将代入和，可得
解得，
∴
∴
∴直线和直线的交点为，
即方程组的解为，
即方程组的解为．
9. 中国传统建筑的窗棂常以菱形为基本图案，寓意为“四方平安”．如图所示，某古窗的窗棂由菱形和菱形组成，和在一条直线上．若，，则菱形与菱形的面积之比为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据菱形的性质可知对角线互相平分，结合已知线段比例关系求出两个菱形对应对角线的比值，最后利用菱形面积公式计算面积之比．
解答过程：解：∵ 四边形和四边形均为菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理 ，
∴．
10. 小明和妈妈同时出门沿同一条路线散步，走路较快的小明到公共阅报栏看了一会儿报，待妈妈到达后一起散步回家．他们离家的距离s（单位：m）和散步时间t（单位：）之间的函数关系图象如图所示．根据图中的信息，下列说法中，错误的是（ ）
A. 公共阅报栏距离小明家
B. 妈妈散步的速度始终不变
C. 出门时，小明的速度比妈妈快
D. 小明看报的时长为
答案：C
解析：
思路：先分析图象的物理意义，纵轴最大距离对应阅报栏离家的距离，可直接判断A选项相关信息．分析妈妈的运动图像：0到是去程，15到是返程，因为匀速运动的图象为直线，所以可通过计算两段的速度判断是否相等，验证B选项．计算小明出门后到的速度，以及妈妈0到去程的速度，两者作差可验证C选项．小明到达阅报栏，妈妈到达阅报栏，两者的时间差即为小明看报的时长，可验证D选项．
解答过程：解：选项A：由图象可知，小明到达公共阅报栏时，离家距离为，因此描述正确．
选项B：妈妈的图象为两段线段：
走到阅报栏用时，
回家走也用时，
速度始终为，速度不变，描述正确．
选项C：小明出发速度为，
妈妈速度为，
速度差为，描述错误．
选项D：小明到达阅报栏，
妈妈到达阅报栏，
小明看报时长为，描述正确．
综上，错误的是选项C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 小明购买了单价为15元的钢笔x支，则所需费用y（单位：元）与x之间的函数关系式为__________．
答案：
解析：
解答过程：解：所需费用y（单位：元）与x之间的函数关系式为．
12. 不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_________．
答案：
解析：
思路：利用分式的基本性质让分子分母同扩大10倍即可．
解答过程：解：．
13. 如图，的对角线、相交于点O，点E、F分别是、的中点．若，则的长为_______．
答案：2
解析：
思路：先根据平行四边形的性质得，再由已知得是的中位线，则．
解答过程：解：∵的对角线、相交于点O，，
∴，
∵点E、F分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴．
14. 在某校组织的“书香满校园”读书活动中，随机抽取了八年级5名同学本学期阅读课外书籍的数量（单位：本），数据如下：5，8，8，9，10．这组数据的离差平方和是____________．
答案：14
解析：
思路：先计算这组数据的算术平均数，再根据离差平方和的定义，计算每个数据与平均数差的平方的和，即可得到结果．
解答过程：解：首先计算这组数据的平均数 ，
根据离差平方和的定义计算得： ．
15. 在矩形中，．点P从点A出发以的速度沿射线方向运动，同时点Q从点C出发以的速度沿射线方向运动．点Q到达点D时，两点同时停止运动．连接、．当运动时间为____s时，．
答案：或8
解析：
思路：设运动时间为t，则，，证明得，分两种情况讨论：当点P在线段上时；当点P在线段的延长线上时；根据列方程求解．
解答过程：解：设运动时间为t，则，，
在矩形中，，
在和中，
，
∴，
∴，
分以下两种情况：
当点P在线段上时，，
∴，
解得；
当点P在线段的延长线上时，，
∴，
解得．
综上所述，当运动时间为或时，．
三、解答题（共8个小题，满分75分）
16. 计算与化简：
（1）计算：；
（2）化简：．
答案：（1）
（2）解析：
（1）解：
；
（2）解：
．
17. 某校举办首届“数学文化节”，开展数学素养竞赛活动．为了解学生数学素养竞赛的答题情况，现随机抽取了八年级两组学生的答题成绩（满分100分，每组10人），数据整理如下．
分析数据：
根据以上信息回答下列问题：
（1）填空： ， ．
（2）根据以上数据，你认为哪个组的学生数学素养竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）若该校八年级共有200名学生参加了数学素养竞赛，且成绩为满分的学生可获得“数学之星”的称号，请你估计该校八年级获得“数学之星”称号的学生有多少人？
答案：（1）86，85
（2）第二组学生的数学素养竞赛成绩更好，
理由：因为第二组的平均数高于第一组的平均数，且第二组的中位数高于第一组的中位数，所以第二组学生的数学素养竞赛的成绩更好（答案不唯一）．
（3）30人
解析：
思路：（1）根据中位数和加权平均数的定义即可解答；
（2）根据平均数和中位数，作出判断即可；
（3）根据样本估计总体即可解答．
（1）解：第二组成绩的平均数为，即；
∵7分人数：人；8分人数：人；9分人数：人；10分人数：人；
∴第二组成绩从小到大排列的第五位为分，第六位为分，则中位数；
（2）略
（3）解：随机抽取的八年级20名学生中，获得“数学之星”称号的学生有：（人）．
，
答：该校八年级获得“数学之星”称号的学生约有30人．
18. 如图，四边形是矩形，点E是的延长线上一点．过点A作的垂线交于点F．
（1）若，请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若，，求矩形的面积．
答案：（1）四边形是菱形．理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，．
∵，
∴，即．
∴，．
∴四边形是平行四边形．
又∵．
∴四边形是菱形．
（2）解析：
思路：（1）先证明四边形为平行四边形，再通过证明此为菱形；
（2）由题意可得，设，则，由（1）得四边形是菱形，．在中，由勾股定理，得，据此列方程及求出，本题目可解．
（1）解：略；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理，得
，
设，则，
由（1）得四边形是菱形，．
在中，由勾股定理，得，
，
解得，
，
∴矩形的面积为．
19. 如图，四边形是平行四边形，对角线交于点O，现给出三个关系：①；②；③．
（1）请从上述三个关系中选择两个，将序号填在横线上：当满足 时，四边形是正方形；
（2）请证明（1）中的命题．
答案：（1）①② （2）证明：四边形是平行四边形，
互相平分，
，
，
，
平行四边形是矩形，
又；
，
四边形是正方形.
解析：
思路：（1）根据邻边相等的矩形为正方形，选择①②即可；
（2）先证明四边形是矩形，再根据邻边相等的矩形为正方形，即可得证.
（1）略
（2）略
20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连结、．四边形的面积为8．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当时，x的取值范围．
答案：（1）
（2）或
解析：
思路：（1）可证明四边形是平行四边形，则，，则题目可解；
（2）观察图像得不等式的解集；
（1）解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都关于原点中心对称，
∴点A与点B关于原点中心对称．
∴．
∵轴于点C，轴于点D，
又∵，
∴．
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴反比例函数的解析式为
（2）解：由图象可知或．
21. 某校计划采购、两款蕴含非物质文化遗产的书签作为校文化艺术节的纪念品．已知这两款书签的单价相差元，用元购买款书签的数量与用元购买款书签的数量恰好相等．
（1）求款书签和款书签的单价分别是多少元？
（2）若购买这两款书签共300个，且款书签的数量不少于款书签数量的一半．请设计购买方案，使总费用最少．
答案：（1）款书签的单价为元，款书签的单价为元．
（2）当购买款书签200个，款书签100个时，总费用最少．
解析：
思路：（1）设款书签的单价为元，则款书签的单价为元，根据题意列出方程求解即可．
（2）设购买款书签个，则购买款书签个，总费用为元，根据题意求出关于总费用的函数表达式求解即可．
（1）解：设款书签的单价为元，则款书签的单价为元，根据题意，列方程得：
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义，
∴，
答：款书签的单价为元，款书签的单价为元．
（2）解：设购买款书签个，则购买款书签个，总费用为元，
由题意得，，
解得，，
根据题意得：，
整理得：，
∵，
∴随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为，
答：购买款书签个，则购买款书签个时，总费用最少．
22. 某校学习小组根据学习反比例函数的经验对的图象和性质进行了探究．过程如下：
（1）与的几组对应值如表，其中______，自变量的取值范围为______．
（2）根据上表数据，在平面直角坐标系中描点，并画出函数的图象；
（3）观察图象，写出函数的两条性质：
①_________________；
②_________________．
（4）结合函数图象回答：
①关于的方程的解是______；
②关于的不等式的解集是________．
答案：（1）2，
（2）根据表格中给出的坐标，在坐标系中描出所有点，
将侧的点顺次连接为光滑曲线，侧的点顺次连接为光滑曲线，
函数的图象如下图所示：
（3）①函数图象关于y轴对称；②函数值，图象始终在x轴上方；（其他正确性质也可：如时，随增大而减小；时，随增大而增大等）．
（4）①或；②且
解析：
思路：（1）将代入函数解析式计算即可；因为分式分母不能为0，所以自变量的取值范围是．
（2）画函数图象时，先根据表格中的对应值在坐标系中准确描出所有点，再用平滑曲线顺次连接和的点，注意图象不与坐标轴相交．
（3）总结函数性质可以从对称性、增减性、函数值的取值范围、图象所在象限等角度观察已画出的图象归纳得出．
（4）求方程的解，可找直线与函数图象交点的横坐标，或者解含绝对值的分式方程；求不等式的解，先转化为，再找函数图象在直线上方时对应的的取值范围，注意分正负半轴讨论，或者解含绝对值的不等式．
（1）解：把代入，
得，
∴；
∵，
∴自变量的取值范围是．
（2）略
（3）略
（4）解：①方程变形得，
∴解得或；
②不等式，
∴，
∴，
解得，
又，
∴解集为且．
23. 在四边形中，点是边的中点，点是边上一点（不与点重合），将沿折叠，得到，延长交射线于点．
（1）如图①，当四边形为正方形时，线段、、之间的数量关系是 ；
（2）如图②，当四边形是矩形时，请补全图形，并判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）当四边形（为锐角）为菱形，且，时，请直接写出的长．
答案：（1）
（2）补全图形如下，
如图1，点在线段上，由（1）中的结论仍然成立，理由如下：
连结OG，
∵四边形是矩形，点是边的中点，
∴，，
∵折叠，
∴，，，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图2，点在射线上，同理，，，，且，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）2或4
解析：
思路：（1）连接，根据正方形、折叠的性质得到，，证明得到，由线段和差计算即可求解；
（2）根据题意，分类讨论：点在线段上，点在射线上，证明，即可求解；
（3）当点在线段上时，可证四边形是平行四边形，得到；当点在射线上时，连接，，可证；由此即可求解．
（1）解：，
如图所示，连接，
∵四边形为正方形，点是中点，
∴，，，
∵将沿折叠，得到，延长交射线于点，
∴，，，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）略
（3）解：如图所示，当点在线段上时，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
如图所示，当点在射线上时，连接，，
∵四边形是菱形，，为锐角，点是中点，
∴，，，
∵折叠，
∴，，，
∵，即，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，则，
∴，
∴，且，
∴；
综上所述，的长为2或4．
平均数
中位数
众数
第一组成绩
84
80
80
第二组成绩
a
b
80
⋯
1
2
3
4
⋯
⋯
1
4
4
2
1
⋯
平均数
中位数
众数
第一组成绩
84
80
80
第二组成绩
a
b
80
⋯
1
2
3
4
⋯
⋯
1
4
4
2
1
⋯