山东省济宁市任城区（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末质量检测 数学试题（含解析）

这是一份山东省济宁市任城区（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末质量检测 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（ ）cm
A. 15B. C. D.
2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）.
A. B.
C. D.
3. 如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，该画面中蒙娜丽莎的脸部被围在矩形内，其中，四边形是正方形．若点恰好是线段的黄金分割点（其中），则下列两个结论：①，②（ ）
A. ①正确②错误B. ①错误②正确
C. ①②都错误D. ①②都正确
6. 如图，能使成立的条件是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，道口栏杆短臂长，长臂长，当长臂外端升高时，短臂外端下降的距离是（ ）
A. 0B. 0C. 0D. 0
8. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（ ）s后，与相似．
A. B. 或C. 或D. 或
10. 如图，中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡内）
11. 当时，二次根式的值是________
12. 如图，，，则的长为_____．
13. 已知一元二次方程的根为，若，则的值为______．
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________．
15. 如图，四边形是一张平行四边形纸片，为对角线，沿直线翻折得到，交于点，连接分别交，于点，．已知，，则线段________．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16. 解方程和求值：
（1）；
（2）已知，求代数式的值．
17. 图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形．
（1）在图1中画出格点，使得，相似比为；
（2）在图2中画出格点，使得，面积比为．
18. 如图，四边形的两条对角线相交于点．
（1）求证：．
（2）若，的面积为4，求的面积．
19. 如图，在菱形中，对角线交于点是上的点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
20. 如图，一块长米、宽米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，求石板小径的宽度为多少米．
21. 如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点，若，求证：．
22. 公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个．
（1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率．
（2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元?
23. 化归思想（亦称转化思想）是将待解决的未知问题，通过构造等价或有效的转化路径，归结为已掌握的结论或方法，它能帮助我们将复杂情境清晰化、陌生问题熟悉化，从而简化求解过程，运用这一思想不仅能增添学习数学的乐趣，更能让我们亲历知识“再创造”过程．越越在学习了《相似三角形》一章后提出了以下问题，请你帮助解决：
[探究发现]
（1）如图1，在中，D，E，F分别是上的点，，交于点G，若G为中点，求证：．
[拓展应用]
（2）如图2，由四个全等的直角三角形（，，，）和小正方形拼成大正方形，连接交于点N，延长交于点M．若，求大正方形的边长．
数学
一、选择题（本大题满分30分，每小题3分．每小题只有一个符合题意的选项，请你将正确选项的代号涂在答题卡内）
1. 若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（ ）cm
A. 15B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查比例线段的概念，即对于四条线段 , , , ，若 ，则它们是成比例线段．根据比例线段的定义，有 ，代入已知值求解 d．
解答过程：∵ 线段 , , , 是成比例线段，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故选： A．
2. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）.
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了一元二次方程的定义，
根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可．
解答过程：解：∵ 一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③整式方程，
选项A：含未知数x和y，不符合①；
选项B：方程 中未知数次数为1，不符合②；
选项C：化简 ，得 ，即 ，满足①②③；
选项D：方程 为分式方程，不符合③，
故选：C．
3. 如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查了矩形的性质，垂直的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，由等边对等角可得，利用三角形外角性质可得，结合，即可求出.
解答过程：解： 四边形是矩形，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据最简二次根式的两个判定条件：1．被开方数不含分母；2．被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可．
解答过程：解：，故A不是最简二次根式，不符合题意；
的被开方数是小数，可化为分数，含分母，故B不是最简二次根式，不符合题意；
的被开方数含分母，故C不是最简二次根式，不符合题意；
的被开方数不含分母，且分解后没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，
故选项D是最简二次根式，符合题意．
5. 如图，该画面中蒙娜丽莎的脸部被围在矩形内，其中，四边形是正方形．若点恰好是线段的黄金分割点（其中），则下列两个结论：①，②（ ）
A. ①正确②错误B. ①错误②正确
C. ①②都错误D. ①②都正确
答案：A
解析：
思路：本题考查了黄金分割、矩形的性质以及正方形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义得，即可得出结论．
解答过程：解：∵点E恰好是线段的黄金分割点（其中），
∴，故①正确，②错误，
故选：A．
6. 如图，能使成立的条件是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查相似三角形的判定．根据相似三角形的判定求解即可．
解答过程：解：由题意得，，
若添加，利用两边及其夹角法可判断，
故选项C符合题意；
、、均不能判定，故不符合题意．
故选：C．
7. 如图，道口栏杆短臂长，长臂长，当长臂外端升高时，短臂外端下降的距离是（ ）
A. 0B. 0C. 0D. 0
答案：B
解析：
思路：本题考查相似三角形的应用，栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题即可．解题的关键是掌握相似三角形的对应边成比例．
解答过程：解：如图，
由题意知：，，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
即短臂外端下降的距离是．
故选：B．
8. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可.
解答过程：解：设矩形的宽为，则矩形的宽为，
∴
故选：A.
9. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（ ）s后，与相似．
A. B. 或C. 或D. 或
答案：C
解析：
思路：本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可．
解答过程：解：设经过秒后与相似，
∵，
若，
则需，
，
解得；
，
则需，
，
解得，
经过秒或秒，与相似．
故答案为：或．
10. 如图，中，，，，将绕着边中点旋转得到，、分别交于点、，若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查了旋转的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、关键是灵活应用知识点解题．
由旋转可得，则，然后利用可证得到比例关系，则可求．
解答过程：解：令的交点是，
∵，
∴，
∵将绕着边中点旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，
∴．
故选：C．
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡内）
11. 当时，二次根式的值是________
答案：3
解析：
思路：把代入计算即可．
解答过程：解：把代入得：．
故答案为：3．
方法提示：本题主要考查了二次根式化简，解题的关键是掌握二次根式化简的方法和步骤．
12. 如图，，，则的长为_____．
答案：
解析：
思路：本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
解答过程：解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
13. 已知一元二次方程的根为，若，则的值为______．
答案：
解析：
思路：灵活运用根与系数的关系并结合分式运算，将已知条件转化为关于参数的方程是解题的关键．根据一元二次方程 的根与系数的关系，可得，，再对通分变形后代入求解，进而求出的值．
解答过程：解：对于一元二次方程（），由根与系数的关系可得：，，
对通分，得：，
已知，代入得：，
化简，约去（），得，
解得．
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标为________．
答案：或
解析：
思路：根据题意可得位似比为或，用点A的横纵坐标乘以对应的位似比即可求出点的坐标．
解答过程：解：∵，以原点为位似中心，将缩小为原来的，得到，
∴位似比为或，
当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即，
当位似比为时，则点的对应点的坐标为，即，
综上所述，点的对应点的坐标为或．
15. 如图，四边形是一张平行四边形纸片，为对角线，沿直线翻折得到，交于点，连接分别交，于点，．已知，，则线段________．
答案：5
解析：
思路：由翻折得：，，由勾股定理得．
解答过程：解：由翻折得：，，，
平行四边形，
，
，，
．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16. 解方程和求值：
（1）；
（2）已知，求代数式的值．
答案：（1），
（2）解析：
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，；
（2）解：∵，
∴，
∴．
17. 图1，图2是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，为格点三角形（三角形的顶点均在格点上）．请按下列要求画出图形．
（1）在图1中画出格点，使得，相似比为；
（2）在图2中画出格点，使得，面积比为．
答案：（1）作图见解析
（2）作图见解析
解析：
思路：（1）本题考查了相似三角形的性质．
（1）根据相似三角形对应边成比例的性质，将原三角形各边扩大到原来的2倍来画出相似三角形；
（2）先根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出相似比，再据此画出相似三角形．
（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求，
18. 如图，四边形的两条对角线相交于点．
（1）求证：．
（2）若，的面积为4，求的面积．
答案：（1）见解析 （2）15
解析：
思路：本题考查了相似三角形的判定和性质．
（1）利用两边对应成比例，且夹角相等证明两个三角形相似；
（2）利用相似三角形的性质求解即可．
（1）证明：，
，
，
；
（2）解：且，
，
，
．
19. 如图，在菱形中，对角线交于点是上的点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
思路：本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）菱形的邻边相等，对角线平分一组对角，据此可得，再证明，即可证明；
（2）由菱形的性质得到，，证明是等边三角形，得到，则可得到，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，且O为中点，
∴，
∴．
20. 如图，一块长米、宽米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，求石板小径的宽度为多少米．
答案：石板小径的宽度为1米
解析：
思路：设石板小径的宽度为米，根据题意非阴影部分的面积可以看成是一个长为米，宽为米的长方形的面积，据此建立方程求解即可．
解答过程：解：设石板小径的宽度为米，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：石板小径的宽度为1米．
21. 如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点，若，求证：．
答案：（1）见解析 （2）见解析
解析：
思路：本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定．
（1）根据垂线的定义得到，可证，根据平行四边形的性质得到，证明四边形是平行四边形，再根据可证四边形是矩形；
（2）根据矩形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，即，根据得到，进而可证．
（1）证明：，交的延长线于点，
，
，
四边形是平行四边形，点在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）证明：四边形是矩形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
即，
∵
．
22. 公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个．
（1）求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率．
（2）此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元?
答案：（1）
（2）55元
解析：
思路：（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，根据10月份售出200个，12月份售出242个，列出方程进行求解即可；
（2）设该品牌头盔的销售价定为y元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可.
（1）解：设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得：
解这个方程得：，（不符合题意，舍去）
答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的销售价定为y元．
解这个方程得，，．
因为要尽可能的让顾客得到实惠，
所以．
答：该品牌头盔的销售价应定为55元．
23. 化归思想（亦称转化思想）是将待解决的未知问题，通过构造等价或有效的转化路径，归结为已掌握的结论或方法，它能帮助我们将复杂情境清晰化、陌生问题熟悉化，从而简化求解过程，运用这一思想不仅能增添学习数学的乐趣，更能让我们亲历知识“再创造”过程．越越在学习了《相似三角形》一章后提出了以下问题，请你帮助解决：
[探究发现]
（1）如图1，在中，D，E，F分别是上的点，，交于点G，若G为中点，求证：．
[拓展应用]
（2）如图2，由四个全等的直角三角形（，，，）和小正方形拼成大正方形，连接交于点N，延长交于点M．若，求大正方形的边长．
答案：（1）见解析；（2）
解析：
思路：此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
（1）证明，得到，再根据G为中点即可证明结论成立；
（2）证明，得到，设，则，证明，得到，求出，得到，由勾股定理求出即可．
解答过程：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵G为中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵四个直角三角形，，，全等，
∴，
由题意可知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
即大正方形的边长为．