2025--2026学年河南省周口市沈丘县第一高级中学高二下学期期末测评数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年河南省周口市沈丘县第一高级中学高二下学期期末测评数学试题-含解析，文件包含417火山喷发教学课件科学冀人版五年级上册新教材pptx、417火山喷发教学设计科学冀人版五年级上册新教材docx、417火山喷发分层作业科学冀人版五年级上册新教材docx、火山喷发知识闯关html等4份课件配套教学资源，其中PPT共25页， 欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知空间向量，，若m⊥n，则，满足的关系式为（ ）
A. B. C. D.
3. “”是“数列为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
4. 已知抛物线C：（）的焦点为，直线：y=x 与抛物线在第一象限的交点为．若，则抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 用数字0，2，5，7组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，则7052是（ ）
A. 第15个数B. 第12个数C. 第13个数D. 第14个数
6. 已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若在区间2,5上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个
A. 3B. 4C. 6D. 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若数据x1，x2，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为9
B. 若随机变量，则，
C. 若随机变量，则
D. 已知，，，则
10. 已知圆O：，则下列说法正确的有（ ）
A. 圆在点处的切线方程为
B. 直线与圆相切
C. 直线截圆所得的弦长为
D. 圆C：x−32+y−42=8 与圆外离
11. 已知函数存在极小值点，则（ ）
A. B. 函数有唯一的极小值点
C. D. 函数有且只有3条斜率为4的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在等比数列中，，，则a4= ________．
13. 已知双曲线x2a2−y2b2=1 （，）的右焦点为，直线与双曲线的渐近线相交于点，点在第二象限.直线与抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为________.
14. 如图，一个正方形被分割成四个相同的小正方形，现用蓝、绿两种颜色对小正方形的边进行染色，若要使每个小正方形都有2条蓝色边和2条绿色边，则不同的染色方法数为_____．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
16. 如图，在三棱柱中，平面ABB1A1⊥ 平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点．
（1）证明：平面ABB1A1；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 某电影上映前6天的单日票房统计如下表：
（1）根据数据建立单日票房关于上映天数的经验回归方程，并预测第7天的票房收入（计算结果均保留一位小数）．
（2）在某天放映结束后，随机抽取8名观众，发现其中有6人每月都会看一场电影，剩余2人每季都会看一场电影．现从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中每月都会看一场电影的人数，求的分布列及数学期望．
参考数据：，参考公式：b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx．
18. 已知椭圆：（a>b>0 ）的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为.
（ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：k1k2为定值；
（ⅱ）求的面积的最大值及此时直线的方程.
19. 在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为12，记事件“”的概率为pk，的前n 项中0的个数为随机变量Xn．
（1）求，的值；
（2）求的分布列；
（3）记是Xn的数学期望，证明：．
附：对任意随机变量，有．
数学
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程.
解答过程：由题意可知，直线的斜率为，
又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为.
故选：C.
2. 已知空间向量，，若m⊥n，则，满足的关系式为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由题意得，即.
3. “”是“数列为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
答案：B
解析：
解答过程：必要性验证：若数列为等差数列，根据等差中项的性质：对任意，若，则，
令，可得，故必要性成立；
充分性验证：若仅满足，无法推出数列为等差数列，
例如构造数列：，此时，，满足，但该数列相邻项差值不恒定，不是等差数列，故充分性不成立，
因此该条件是数列为等差数列的必要不充分条件.
4. 已知抛物线C：（）的焦点为，直线：y=x 与抛物线在第一象限的交点为．若，则抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：联立，得或（舍），则，
则，得，
则抛物线的方程为.
5. 用数字0，2，5，7组成没有重复数字的四位数，将这些四位数从小到大排列，则7052是（ ）
A. 第15个数B. 第12个数C. 第13个数D. 第14个数
答案：D
解析：
思路：先计算千位小于7的无重复四位数总数，再计算千位为7时小于7052的数的个数，求和后加1即为答案.
解答过程：当四位数千位为2时，剩余三位从0、5、7中全排列，排列数为个；
当四位数千位为5时，剩余三位从0、2、7中全排列，排列数为个.
当四位数千位为7时，小于的数字只有一个，故7052是第14个数字.
6. 已知定义在上的函数满足，则下列各式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：构造函数，求导，分析函数的单调性，进而即可得到答案．
解答过程：令，，
则，
又，
则，即在上单调递增，
所以，即，即．
7. 已知函数，若在区间2,5上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：通过求导，将条件转化为导数在区间2,5上有解，从而分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可得到的取值范围．
解答过程：由，则，
又在区间2,5上存在单调递增区间，
则存在，使得，即，即成立，
令，，则，
所以在2,5上单调递减，且，
所以要使在2,5上有解，只需，
故的取值范围是．
8. 已知椭圆，双曲线，其中（），点F1、F2为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于13，则使得为直角三角形的点有（ ）个
A. 3B. 4C. 6D. 8
答案：C
解析：
思路：先根据双曲线的渐近线夹角的余弦值求出，得到， 分别按照，，讨论求解.
解答过程：双曲线的渐近线方程为，
设渐近线的倾斜角为，则，
，，，，
两条渐近线的夹角为，，
，
，，，，
椭圆，，
点F1、F2为椭圆的两个焦点，，
当时，以为直径的圆的方程为，
双曲线，将代入，
得到，解得，
联立，将代入，
得到，解得，
将代入，解得，
则有个点满足；
当时，
过F1的直线为x=−b ，将x=−b 代入双曲线，
得到，解得，故有个点满足；
当时，
过F2的直线为x=b ，将x=b 代入双曲线，
得到，解得，故有个点满足；
综上可知，使得为直角三角形的点有6 个，故选项C正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为9
B. 若随机变量，则，
C. 若随机变量，则
D. 已知，，，则
答案：BCD
解析：
解答过程：A选项，新数据的方差为，故A错误；
B选项，因为，所以，故B正确；
C选项，因为，所以，故C正确；
D选项，由题意得，
，故D正确.
10. 已知圆O：，则下列说法正确的有（ ）
A. 圆在点处的切线方程为
B. 直线与圆相切
C. 直线截圆所得的弦长为
D. 圆C：x−32+y−42=8 与圆外离
答案：AD
解析：
思路：对于A，利用切线过且和OA 垂直可得切线方程；对于B，比较直线到圆心距离与圆半径大小可判断选项正误；对于C，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误.
解答过程：对于A，易得在圆O上，且在A点处切线与OA 垂直.kOA=45−0−35−0=−43，则切线斜率为，切线方程为：，故A正确；
对于B，圆心到直线y=x−1 的距离为，该距离小于圆O半径1，故直线y=x−1 与圆O相交，故B错误；
对于C，直线到圆心距离为12，则直线x=−12截圆O所得的弦长为：2×1−122=3，故C错误；
对于D，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故D正确.
11. 已知函数存在极小值点x0，则（ ）
A. B. 函数有唯一的极小值点x0
C. D. 函数有且只有3条斜率为4的切线
答案：BCD
解析：
思路：对于AB选项，对求导，结合，分析单调性即可求解；对于C选项，根据，代入中讨论即可判断；对于D选项，对的导数进行求导分析，判断解的个数，即可判断.
解答过程：对于选项AB，，
当时，，
而当时，设，则，当x0 ，单调递增，
所以x0为唯一的极小值点，
由可知，A选项错误，B选项正确.
对于选项C，，因此，
所以，，
因为，所以，
因此，故，C 选项正确.
对于选项D，当时，令，
设，，所以
令，所以，
在上单调递减；在上单调递增，，
且时，，时，，
所以在和上各有一个零点t1、，
此时，的两根为、，
当时，令，在上单调递增，
而当，时，，当时，，
所以，存在唯一的使得，
所以函数有且只有 3 条斜率为 4 的切线，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在等比数列中，，，则a4= ________．
答案：
解析：
思路：根据等比数列的性质求解.
解答过程：因为等比数列中，，，
所以，即，
所以，
所以.
13. 已知双曲线x2a2−y2b2=1 （，）的右焦点为，直线与双曲线的渐近线相交于点，点在第二象限.直线与抛物线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为________.
答案：13
解析：
思路：先根据已知条件求出点坐标，再根据求出点坐标，代入抛物线方程化简即可求出双曲线离心率.
解答过程：解：由题意知双曲线渐近线方程为，
因为直线与双曲线的渐近线相交于点，且点在第二象限，则点的横坐标为，
代入渐近线，得，即，
因为，则，设Qx,y，则，
又，所以，解得，，所以，
将代入得，化简得，
因为，所以，则，解得，
又，所以，即双曲线的离心率为13.
14. 如图，一个正方形被分割成四个相同的小正方形，现用蓝、绿两种颜色对小正方形的边进行染色，若要使每个小正方形都有2条蓝色边和2条绿色边，则不同的染色方法数为_____．

答案：82
解析：
思路：分类讨论，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理求值.
解答过程：如图：

当边①②同色时，正方形A另外两边有1种方法染色，
当边①②不同色时，正方形A另外两边有2种方法染色，同理其他区域也一样，
则（1）①②③④四边同色，此时共有C21=2 种；
（2）当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有C43A21×1×1×2×2=32 种，
（3）当①②③④每两个同色时，
若①③同色，②④同色，此时①②③④有A22种涂色方案，因为①②不同色，
所以正方形形A另外两边有2种方法染色，同理②③不同色，③④不同色，①④不同色，
所以正方形B、C、D的另外两边都有有2种方法染色，则有A22×2×2×2×2=32 种；
若①②同色，③④同色，则有A22×1×2×2×1=8 种；
若①④同色，②③同色，则有A22×2×1×1×2=8 种；
此时共有32+8+8=48 种；
综上，共有2+32+48=82 种．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求实数的取值范围．
答案：（1）当时，函数在单调递增；当k>1 时，函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）解析：
思路：（1）求导，分，k>1 两种情况讨论求解即可；
（2）令，求导，分，k>1 两种情况，根据函数单调性与求解即可.
（1）．
当时，恒成立，故函数在单调递增；
当k>1 时，令得．
故当时，f'(x)1 时，函数在上单调递减，
在上单调递增；
（2）令，，，
，，．
令，，
而在恒成立，即在单调递增，
故当，即时，，在单调递增，
在恒成立；
当，即k>1 时，当时，，
所以，存在，使得时，，时，，
所以在单调递减，在上单调递增，
故由可知，时，与在恒成立矛盾；
综上，实数的取值范围是．
16. 如图，在三棱柱中，平面ABB1A1⊥ 平面，，，，为棱上靠近点的三等分点，为的中点．
（1）证明：平面ABB1A1；
（2）求三棱锥的体积；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）结合勾股定理，由面面垂直的性质定理可证.
（2）先切换顶点，再通过线面垂直求出棱锥的高，最后体积公式可得结果.
（3）建立空间直角坐标系，求出平面法向量，法向量与直线向量夹角的余弦值绝对值为所成角的正弦值.
（1）由条件得，所以，
因为平面ABB1A1∩ 平面ABC=AB ，平面ABB1A1⊥ 平面，平面，
所以平面ABB1A1.
（2）由平面ABB1A1，AA1⊂ 平面ABB1A1，
所以，又因为，AB∩AC=A ，AB,AC⊂ 平面，
所以平面，因为，所以平面，
，垂足为，AH⊂ 平面，所以，
BB1∩BC=B ，平面，所以AH⊥ 平面，
，
，
所以.
（3）由（1）（2）可知，AA1,AB,AC 两两垂直，
以为原点，分别以AB、、为轴建立空间直角坐标系，
，，，，
，
设平面的法向量，则：，
令y=1 ，则，所以，
设直线MN与平面的所成角为，直线MN与平面的法向量所成的角为，
则 .
17. 某电影上映前6天的单日票房统计如下表：
（1）根据数据建立单日票房关于上映天数的经验回归方程，并预测第7天的票房收入（计算结果均保留一位小数）．
（2）在某天放映结束后，随机抽取8名观众，发现其中有6人每月都会看一场电影，剩余2人每季都会看一场电影．现从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中每月都会看一场电影的人数，求的分布列及数学期望．
参考数据：，参考公式：b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2，a=y−bx．
答案：（1）经验回归方程为y=0.1x+1.0 ，预测第7天票房约为1.7亿元；
（2）X的分布列为：
数学期望（或2.25）.
解析：
思路：（1）先计算的样本均值，代入回归系数公式求得b,a得到回归方程，再代入即可预测票房；
（2）确定服从超几何分布，计算各取值对应的概率即得分布列，再计算数学期望即可.
（1）依题意，样本均值：，
.
则，
，
因此b=i=16xi−xyi−yi=16xi−x2=217.5≈0.1 ，a=y−bx=1.3−0.1×3.5≈1.0 ，
故经验回归方程为y=0.1x+1.0 .
当时，y=0.1×7+1.0=1.7 ，即预测第7天票房约为1.7亿元.
（2）由题意，的所有可能取值为1，2，3，易得服从超几何分布.
则，， .
则的分布列为：
数学期望： .
18. 已知椭圆：（a>b>0 ）的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为.
（ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：k1k2为定值；
（ⅱ）求的面积的最大值及此时直线的方程.
答案：（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）的面积的最大值为1，直线的方程为或或或.
解析：
思路：（1）根据a 、b 、c 之间的关系与离心率即可求解
（2）（i）利用坐标表示出、，根据韦达定理，将表示为、t 之间的关系式，结合距离即可证明；
（ii） 利用弦长公式，表示出三角形面积，讨论范围即可；
（1）由题意知，，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）（i）当斜率不为时，设直线的方程为，A(x1,y1) ，，
联立得，，
，
点到的距离，所以，
，
根据韦达定理代入得，，
当斜率为时，不妨设横坐标大于0，则此时、两点坐标为，或，，
所以，
综上，为定值.
（ii）当斜率为时，，
当斜率不为时，，
所以，
因此，
则，
当且仅当，即时取等，所以的最大值为，
当m=2 时，，当时，，
所以直线的方程为或或或.
19. 在数列中，已知，对任意的，的值取或的概率均为，记事件“”的概率为pk，的前项中0的个数为随机变量Xn．
（1）求，的值；
（2）求的分布列；
（3）记是Xn的数学期望，证明：．
附：对任意随机变量，有．
答案：（1）
（2）分布列如下：
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）根据为偶数时计算对应概率即可；
（2）确定的可能取值，再分别计算每个取值对应的所有路径的概率和，进而求解分布列；
（3）利用期望的线性性质表示，结合的递推关系，通过数学归纳法证明，进而完成证明.
（1）pk表示的概率，从到ak共走步，要使，
需步中和−1 的步数相等，即为偶数.
k=3 ，共走步，需1步、1步−1 ： ，
，共走步，需2步、2步−1 ： .
（2）是前5项中0的个数，偶数项ak不可能为0，
仅可能为0，故的可能取值为1,2,3 ；
，
，
，
所以的分布列为：
（3）设变量，，则，
由期望可加性得：，
对任意，，化简得：，
即，
整理得：①，
归纳证明：
若k=1 ，则，成立；
假设时成立，
则时：
，归纳成立；
将代入式①，
得：，原等式得证.
上映第天
1
2
3
4
5
6
单日票房（单位：亿元）
0.9
1.2
1.3
1.5
1.3
1.6
上映第天
1
2
3
4
5
6
单日票房（单位：亿元）
0.9
1.2
1.3
1.5
1.3
1.6
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3