2025--2026学年河南沈丘县第一高级中学等校高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年河南沈丘县第一高级中学等校高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了 已知函数的极值点为0，则， 在数列中，，则等内容，欢迎下载使用。
1. 若定义域为的函数的导函数为，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数的极值点为0，则（ ）
A. 0B. C. D.
3. 在数列中，，则（ ）
A. 2024B. 2025C. 2026D. 2027
4. 从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（ ）
A. 32B. 33C. 34D. 36
5. 已知过原点的直线与函数的图象相切，则的斜率为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
6. 某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为，曲线均是焦点到准线的距离为的抛物线的一部分，则该碗的高度为（ ）
A. B. C. D.
7. 某人工智能实验室有6名研究员，将他们分配到3个不同的人工智能科研项目，若每名研究员只能加入1个项目，且每个项目至少需要1名研究员，则不同的分配方案数为（ ）
A. 540B. 600C. 480D. 720
8. 已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（ ）
A. 9B. 7C. -3D. -1
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲､乙两个箱子中各装有5个球，其中甲箱中有4个红球､1个白球，乙箱中有3个红球､2个白球.第一次从甲箱中随机摸出1个球，放入乙箱，第二次从乙箱中随机摸出1个球，放入甲箱，则（ ）
A. 第一次摸出红球的概率为
B. 第一次摸出白球的概率为
C. 在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为
D. 在第一次摸出白球的条件下，第二次摸出红球的概率为
10. 已知首项为3的数列的前项和为，且，则（ ）
A. 是等比数列
B.
C. 是等比数列
D. 的前项和小于1
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 存在，使得只有1个零点
C. 存在，使得恰有3个零点
D. 存在，使得恰有5个零点
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知公差为1的等差数列的前项和为，且，则__________.
13. 已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________.
14. 如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有________种．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2.
（1）若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率；
（2）若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列.
16. 已知函数 .
（1）讨论的单调性；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围.
17. 已知.
（1）证明.
（2）求的值.
（3）证明：能被147整除.
18. 已知椭圆的左､右焦点分别为是上位于第一象限的点，，点在上，分别为的左､右顶点.
（1）求的方程.
（2）设为坐标原点，直线与交于两点，将坐标平面沿轴翻折成一个直二面角，如图所示.
（i）当时，在翻折前，线段的中点为，求翻折后时二面角的余弦值；
（ii）若，翻折后，，求的面积.
19. 若数列满足，则称为“-拟等差数列”；若数列满足，则称为“-拟等比数列”．
（1）若数列既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且，求的通项公式．
（2）已知，，，数列是“-拟等比数列”，的前项和为．
（i）证明：存在，使得是“-拟等差数列”．
（ii）证明：．
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 若定义域为的函数的导函数为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程.
2. 已知函数的极值点为0，则（ ）
A. 0B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用极值点的导数为0求解参数，注意检验.
解答过程：，
因为，所以．
当时，由得，由得，
由得，
所以的极小值点为0，故．
3. 在数列中，，则（ ）
A. 2024B. 2025C. 2026D. 2027
答案：B
解析：
解答过程：法一：由，得.由，得.由，得.
依此类推，.
法二：当时，，又，得.
当时，由，
得，所以，
当时，有，
所以是以为首项，2为公差的等差数列，，
所以.
4. 从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（ ）
A. 32B. 33C. 34D. 36
答案：B
解析：
解答过程：从三棱台的9条棱中选2条的选法种数为，在三棱台中，共有3对棱平行，所以所求的选法种数为.
5. 已知过原点的直线与函数的图象相切，则的斜率为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
答案：C
解析：
解答过程：由题意设直线为，由，得，
设切点的横坐标为，则，
消去得，整理得，所以，
解得，所以的斜率为.
6. 某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为，曲线均是焦点到准线的距离为的抛物线的一部分，则该碗的高度为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：如图，以该抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，则该抛物线的方程为.
设，易得，
则，所以该碗的高度为.
7. 某人工智能实验室有6名研究员，将他们分配到3个不同的人工智能科研项目，若每名研究员只能加入1个项目，且每个项目至少需要1名研究员，则不同的分配方案数为（ ）
A. 540B. 600C. 480D. 720
答案：A
解析：
解答过程：将6个人分成3个组，每组至少1个人，则分组方案有或者或者三类，
所以不同的分配方案数为.
8. 已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（ ）
A. 9B. 7C. -3D. -1
答案：D
解析：
解答过程：取的中点，则.
圆心到的距离为，此时取得最小值，且最小值为3，
取得最小值，且最小值为.故的最小值为.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲､乙两个箱子中各装有5个球，其中甲箱中有4个红球､1个白球，乙箱中有3个红球､2个白球.第一次从甲箱中随机摸出1个球，放入乙箱，第二次从乙箱中随机摸出1个球，放入甲箱，则（ ）
A. 第一次摸出红球的概率为
B. 第一次摸出白球的概率为
C. 在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为
D. 在第一次摸出白球的条件下，第二次摸出红球的概率为
答案：ABD
解析：
解答过程：用事件分别表示第一次摸出红球､白球，用事件分别表示第二次摸出红球､白球.
，A正确，B正确.
，错误，D正确.
10. 已知首项为3的数列的前项和为，且，则（ ）
A. 是等比数列
B.
C. 是等比数列
D. 的前项和小于1
答案：ABD
解析：
解答过程：由，得，
因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
由，得，所以，故B正确；
当时，，
又不符合上式，
则，
所以不是等比数列，故C错误；
设的前项和为，
因为，
所以，故D正确.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 存在，使得只有1个零点
C. 存在，使得恰有3个零点
D. 存在，使得恰有5个零点
答案：BC
解析：
解答过程：因为，
所以不是奇函数，A错误.
令，得.
设函数，易得的定义域为.
因为，所以为奇函数..
当，且时，，得，
得在上单调递减，所以在上只有1个零点，B正确.
令，得.
设函数.
如图，当时，由，可得，所以，
所以（舍去）或，
所以，所以与互为反函数
所以与互为反函数，，
此时与的图象在原点处的切线均为直线.
当时，因为与互为反函数，
所以与不互为反函数，
又，此时在上有1个零点，
所以在上有3个零点，C正确.不可能有5个零点，D错误.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知公差为1的等差数列的前项和为，且，则__________.
答案：3
解析：
解答过程：由，得.
13. 已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为__________.
答案：
解析：
思路：设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义将转化为，进而得到的关系，即可求出的离心率.
解答过程：
如图所示，设双曲线的左焦点为，连接.
因为两点关于原点对称，所以，
所以由双曲线的定义可得，即，
所以的离心率为.
14. 如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有________种．
答案：13020
解析：
思路：对最中间的4个方格进行分类讨论，分为中间4个方格中有2个方格涂红色、中间4个方格中只有1个方格涂红色、中间4个方格都不涂红色三种，每一种逐个根据分步乘法计数原理求解即可．
解答过程：设方格从左至右分别命名为，
因为两端都涂红色，且相邻方格不同颜色，所以中间4个方格也可以涂红色，
①当中间4个方格中有2个方格涂红色时，
涂红色的位置有方格3、5或方格4、6或方格3、6共3种选择，
剩下的4个方格，还有两个单独和两个相邻的，而其左右两边皆为红色方格，
对于两个单独的方格而言，除红色外其他颜色都可选取，共种，
对于相邻的两个方格，其中第一块方格可选除红色外的5种颜色，
第二块方格选取剩余4种颜色，共种，
所以该类涂法一共有种；
②当中间4个方格中只有1个方格涂红色时，涂红色的位置有4种选择，
未涂域划分为两部分，其中对于每一部分，
其中第一块方格都可以涂除红色外的5种颜色，
剩余的都只能涂除红色以及上一块相邻颜色之外的4种颜色，
故剩下的共有种选择，所以该类涂法一共有种；
③当中间4个方格都不涂红色时，
中间一大块区域每个方格均只能涂上除红色以及上一块相邻颜色之外的4种颜色，
共有种；
综上，不同的涂色方法共有种．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2.
（1）若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率；
（2）若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列.
答案：（1）0.85
（2）解析：
思路：（1）根据全概率公式求解即可.
（2）分析可能取值为，再求出其相应概率，写出分布列即可.
（1）设事件为选用机器人A，事件为选用机器人B，
用事件表示机器人成功，则
由全概率公式得.
（2）由题意得的取值可能为.
，
，
，
的分布列为
16. 已知函数 .
（1）讨论的单调性；
（2）若存在，使得成立，求的取值范围.
答案：（1）当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）.
解析：
思路：（1）求出函数的导数，讨论的取值范围，讨论函数的单调性.
（2）根据（1）问的结果，求出函数的最小值，进而求出的取值范围.
（1）.
当时，，则在上单调递增.
当时，令，得或，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，令，得或，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，在上单调递增，
则，不符合题意.
当时，，解得.
故的取值范围为.
17. 已知.
（1）证明.
（2）求的值.
（3）证明：能被147整除.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）通过令，和即可求证；
（2）由可看作的展开式各项系数之和，通过赋值即可求解；
（3）通过复合函数求导得到，再通过赋值，进而可求证.
（1）证明：令，得，
令，得，
所以.
（2）因为为的展开式各项系数之和，
所以，
所以.
（3）由，
得，
即，
令，得，
因为能被147整除，所以能被147整除.
18. 已知椭圆的左､右焦点分别为是上位于第一象限的点，，点在上，分别为的左､右顶点.
（1）求的方程.
（2）设为坐标原点，直线与交于两点，将坐标平面沿轴翻折成一个直二面角，如图所示.
（i）当时，在翻折前，线段的中点为，求翻折后时二面角的余弦值；
（ii）若，翻折后，，求的面积.
答案：（1）
（2）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）由题意可求得，进而可得的方程.
（2）（i）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系可得，求解可得，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求得二面角的余弦值；（ii）联立方程组可得，求得，，进而计算可求得的面积.
（1）由题意得，即，
因为点在上，所以，
故的方程为.
（2）（i）依题意得，由，
得，
所以，
解得或（舍去），
将代入，解得或，
，翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设平面的法向量为，
则，令，
所以平面的一个法向量为.
易得平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
，所以二面角的余弦值为.
（ii）由，得，得.
翻折后，，
则，
，解得.
.
19. 若数列满足，则称为“-拟等差数列”；若数列满足，则称为“-拟等比数列”．
（1）若数列既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且，求的通项公式．
（2）已知，，，数列是“-拟等比数列”，的前项和为．
（i）证明：存在，使得是“-拟等差数列”．
（ii）证明：．
答案：（1）或；
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
解析：
思路：（1）设公差为，根据数列新定义得到方程，解出值，最后验证即可；
（2）（i）根据数列新定义得到方程，再构造常数列即可证明；
（ii）首先分析得，再对分奇偶数讨论，再利用的单调性，最后取值放缩即可.
（1）因为是“2-拟等差数列”，所以，则是等差数列，设的公差为.
又是“4-拟等比数列”，所以，
即，即.
当时，由，得；
当时，由，得.
（2）（i）由“-拟等比数列”的定义，取，得，
即，得，所以.
由可得，
即，即.
所以是常数列，，即，即是“-拟等差数列”.
（ii）由，得，
可知是等比数列，首项为，公比为，故.
当为奇数时，；
当为偶数时，.
所以当为奇数时，；
当为偶数时，.
设，则.
当时，，则在区间上单调递减；
当时，，则在区间上单调递增.
所以，即，当且仅当时，等号成立.
取，其中，则有，即，即，
则.
当为奇数时，.
当为偶数时，.
综上，.
0
1
2
0.02
0.26
0.72
0
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2
0.02
0.26
0.72