河南沈丘县第一高级中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份河南沈丘县第一高级中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题，共33页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若定义域为的函数的导函数为，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数的极值点为0，则（ ）
A. 0B. C. D.
3.在数列中，，则（ ）
A. 2024B. 2025C. 2026D. 2027
4.从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（）
A. 32B. 33C. 34D. 36
5.已知过原点的直线与函数的图象相切，则的斜率为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
6.某彩凤穿花纹碗如图1所示，其轴截面（不含碗的底座）如图2所示，已知该碗的底座高为，曲线均是焦点到准线的距离为的抛物线的一部分，则该碗的高度为（ ）
A. B. C. D.
7.某人工智能实验室有6名研究员，将他们分配到3个不同的人工智能科研项目，若每名研究员只能加入1个项目，且每个项目至少需要1名研究员，则不同的分配方案数为（）
A. 540B. 600C. 480D. 720
8.已知平面内的两个动点连线的中点在圆上，是直线上的一个动点，且，则的最小值为（ ）
A. 9B. 7C. -3D. -1
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.甲､乙两个箱子中各装有5个球，其中甲箱中有4个红球､1个白球，乙箱中有3个红球､2个白球.第一次从甲箱中随机摸出1个球，放入乙箱，第二次从乙箱中随机摸出1个球，放入甲箱，则（）
A. 第一次摸出红球的概率为
B. 第一次摸出白球的概率为
C. 在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率为
D. 在第一次摸出白球的条件下，第二次摸出红球的概率为
10.已知首项为3的数列的前项和为，且，则（ ）
A. 是等比数列B.
C. 是等比数列D. 的前项和小于1
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇函数B. 存在，使得只有1个零点
C. 存在，使得恰有3个零点D. 存在，使得恰有5个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知公差为1的等差数列的前项和为，且，则 .
13.已知是双曲线的右焦点，关于原点对称的两点均在上，且，则的离心率为 .
14.如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有 种．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
4月6日，河南郑州街头出现人形机器人“店员”，为顾客提供智能售卖服务.已知每次独立执行高难度动作时，A机器人成功的概率为0.9，失败的概率为，机器人成功的概率为0.8，失败的概率为0.2.
(1)若从两个机器人中等可能地选用一个机器人独立执行一次高难度动作，求该机器人成功的概率；
(2)若机器人各自独立执行一次高难度动作，记机器人成功的次数为，求的分布列.
16.(本小题15分)
已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在，使得成立，求的取值范围.
17.(本小题15分)
已知.
(1)证明：.
(2)求的值.
(3)证明：能被147整除.
18.(本小题17分)
已知椭圆的左､右焦点分别为是上位于第一象限的点，，点在上，分别为的左､右顶点.
(1)求的方程.
(2)设为坐标原点，直线与交于两点，将坐标平面沿轴翻折成一个直二面角，如图所示.
（i）当时，在翻折前，线段的中点为，求翻折后时二面角的余弦值；
（ii）若，翻折后，，求的面积.
19.(本小题17分)
若数列满足，则称为“-拟等差数列”；若数列满足，则称为“-拟等比数列”．
(1)若数列既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且，求的通项公式．
(2)已知，，，数列是“-拟等比数列”，的前项和为．
（i）证明：存在，使得是“-拟等差数列”．
（ii）证明：．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】3
13.【答案】
14.【答案】13020
15.【答案】解：（1）设事件为选用机器人A，事件为选用机器人B，
用事件表示机器人成功，则
由全概率公式得.
（2）由题意得的取值可能为.
，
，
，
的分布列为

16.【答案】解：（1）.
当时，，则在上单调递增.
当时，令，得或，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，令，得或，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，在上单调递增，
则，不符合题意.
当时，，解得.
故的取值范围为.

17.【答案】解：（1）证明：令，得，
令，得，
所以.
（2）因为为的展开式各项系数之和，
所以，
所以.
（3）由，
得，
即，
令，得，
因为能被147整除，所以能被147整除.

18.【答案】解：（1）由题意得，即，
因为点在上，所以，
故的方程为.
（2）（i）依题意得，由，
得，
所以，
解得或（舍去），
将代入，解得或，
，翻折后，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设平面的法向量为，
则，令，
所以平面的一个法向量为.
易得平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，由图可知为锐角，
，所以二面角的余弦值为.
（ii）由，得，得.
翻折后，，
则，
，解得.
.

19.【答案】解：（1）因为是“2-拟等差数列”，所以，则是等差数列，设的公差为.
又是“4-拟等比数列”，所以，
即，即.
当时，由，得；
当时，由，得.
（2）（i）由“-拟等比数列”的定义，取，得，
即，得，所以.
由可得，
即，即.
所以是常数列，，即，即是“-拟等差数列”.
（ii）由，得，
可知是等比数列，首项为，公比为，故.
当为奇数时，；
当为偶数时，.
所以当为奇数时，；
当为偶数时，.
设，则.
当时，，则在区间上单调递减；
当时，，则在区间上单调递增.
所以，即，当且仅当时，等号成立.
取，其中，则有，即，即，
则.
当为奇数时，.
当为偶数时，.
综上，.
0
1
2
0.02
0.26
0.72