2025--2026学年河南省开封市部分校高一下学期期末考试数学试题-含解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为300，则北卷录取人数为（ ）
A. 140B. 105C. 70D. 30
2. 若z=i6+2+1i，则z+z= （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量a→=1,2，b→=m,1，且a→−b→⊥a→，则实数（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，若，则（ ）
A. B. 60° C. 120° D.
5. 已知样本数据，，x3，，x5的平均数为，方差为，则x12，x22，x32，x42，x52的平均数为（ ）
A. 17 B. 18 C. D. 21
6. 如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）

A. B. 3C. D. 32
8. 已知正四棱锥的外接球O的表面积为，点P在底面ABCD的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为（ ）
A. B. 或
C. 或D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（ ）
A. 20000名学生的数学成绩是总体B. 200名学生是样本
C. 每名学生是个体D. 样本容量是200
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在中，，则的面积为
B. 已知向量，则
C. 在中，若，则是等腰三角形
D. 已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是
11. 如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 异面直线与所成的角的取值范围是
D. 二面角的正弦值为33
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 光明中学举办演讲比赛，其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第60百分位数和第70百分位数的和为______．
13. 如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=4 ，，则直线与直线所成角的正切值为______．
14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为的面积，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知复数z=m+2+m2+2m−3i （）．
（1）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围；
（2）若为正实数，z−4i 是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值．
16. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，四边形ABCD是梯形，，，PD⊥BC ，E是棱PC上的一点，且．
（1）求证：平面BDE ；
（2）若是锐角三角形，且，求证：．
17. 对某高校学生参加“走进敬老院送温暖”的活动次数进行统计，随机抽取N名学生，得到这N名学生参加此活动的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图.
（1）求出表中N，p及图中a的值：
（2）若该校有学生3000人，试估计该校学生参加此活动的次数在区间内的人数；
（3）估计该校学生参加此活动次数的众数､中位数及平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，所有结果保留一位小数）
18. 如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，，分别是BB1和的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）若，平面与平面的锐二面角的余弦值为，求该三棱柱的体积．
19. 在中，设、、所对的边分别为、、，已知，且三角形外接圆半径为．
（1）求的大小；
（2）若的面积为，求的值；
（3）设的外接圆圆心为，且满足，求的值．
数学
满分：150分，考试时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按的比例录取，若某年会试录取人数为300，则北卷录取人数为（ ）
A. 140B. 105C. 70D. 30
答案：B
解析：
思路：先计算北卷录取人数占总录取人数的比例，再结合总录取人数求解北卷录取人数即可.
解答过程：由题意，会试南卷、北卷、中卷的录取比例为，
因此北卷录取人数占总录取人数的比例为，
已知该年会试录取总人数为300，故北卷录取人数为.
2. 若z=i6+2+1i，则z+z= （ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：原式z=i6+2+1i=i23+2+ii2=−1+2+i−1=1−i ，
∵z=1−i ，∴z=1+i ，则z+z=1−i+1+i=2 .
3. 已知向量a→=1,2，b→=m,1，且a→−b→⊥a→，则实数（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据平面向量垂直的充要条件是向量数量积为0，先求向量a→−b→坐标，再列方程求解.
解答过程：已知a→=(1,2) ，b→=(m,1) ，故a→−b→=(1−m,2−1)=(1−m,1) ，
根据两非零向量垂直的充要条件可得：(a→−b→)⋅a→=0 ，
则(1−m)×1+1×2=0 ， 整理得3−m=0 ，解得m=3 .
4. 在中，若，则（ ）
A. B. 60° C. 120° D.
答案：A
解析：
解答过程：由正弦定理，，
不妨设，，，
则由余弦定理，，
因为，所以．
5. 已知样本数据，，x3，，x5的平均数为，方差为，则x12，x22，x32，x42，x52的平均数为（ ）
A. 17 B. 18 C. D. 21
答案：B
解析：
解答过程：∵ 样本数据x1,x2,x3,x4,x5的平均数为，∴ i=15xi=20 .
又∵ 该样本的方差为，根据方差公式可得15i=15(xi−4)2=2 ，
将平方项展开得15i=15(xi2−8xi+16)=15i=15xi2−8i=15xi+5×16=2 ，
将i=15xi=20 代入上式：15i=15xi2−8×20+80=2 ，
化简计算得i=15xi2=90 ，
∴ 数据x12,x22,x32,x42,x52的平均数为15i=15xi2=905=18 .
6. 如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：过点作于点D，故，因为，所以，，同理过点作于点E，可得，所以，所以原平面图形OABC如图所示，其中OA=6 ，，，，故原平面图形的周长为，故选：A．

7. 如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）

A. B. 3C. D. 32
答案：C
解析：
思路：由已知可得，由三点共线有m=23，再用分别表示出AP、，最后应用向量数量积的运算律求即可.
解答过程：因为，所以，
所以，
因为C，P，D三点共线，所以，即m=23，
所以，又，
所以
.
故选：C
8. 已知正四棱锥的外接球O的表面积为，点P在底面ABCD的射影为，当取最大值时，正四棱锥的体积为（ ）
A. B. 或
C. 或D.
答案：B
解析：
思路：先由正四棱锥外接球表面积，求出外接球半径；结合正四棱锥性质，可知外接球球心O'在顶点到底面的投影O'所在直线上.设，利用勾股定理推导底面边长，再通过均值不等式求出的最大值及取等条件、；最后分球心在棱锥内部（高）和外部（高）两种情况，计算出正四棱锥的对应体积和.
解答过程：设正四棱锥外接球的半径为，则有，所以.
因为为点P在平面ABCD上的投影，则有平面.
因为是正四棱锥，则点O一定在直线上.
如图1所示，连接OA，因为，所以.
设，则，所以.
则.
当且仅当，即时等号成立，即，．
当点O在正四棱锥的内部时，即点O在线段上时，正四棱锥的高为.
则正四棱锥的体积.
当点O在正四棱锥的外部时，如图2所示，即点O在线段的延长线上时，正四棱锥的高为.
则正四棱锥的体积．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 为了解某地20000名学生的高三模拟考试数学成绩，从中抽取了200名学生的数学成绩进行调查分析，下列说法正确的有（ ）
A. 20000名学生的数学成绩是总体B. 200名学生是样本
C. 每名学生是个体D. 样本容量是200
答案：AD
解析：
思路：根据统计中总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断各选项.
解答过程：总体是指所要考察的对象的全体，本题考察对象为学生的高三模拟考试数学成绩，
因此20000名学生的数学成绩是总体，A选项正确，
又因为样本是从总体中抽取的一部分用于考察的个体，
因此本题的样本为抽取的200名学生的数学成绩，而非200名学生本身，B选项错误，
个体是总体中的每一个考察对象，因此本题的个体为每名学生的数学成绩，而非每名学生本身，C选项错误，
样本容量是样本中所包含的个体的数目，无单位，本题抽取了200名学生的数学成绩，
因此样本容量为200，D选项正确.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A. 在中，，则的面积为
B. 已知向量，则
C. 在中，若，则是等腰三角形
D. 已知向量与的夹角为钝角，则的取值范围是
答案：AC
解析：
思路：由三角形面积公式直接求解可判断A；根据向量坐标运算求解可判断B；记的中点为D，根据向量加法运算结合已知可得中线垂直于，然后可判断C；考虑与反向时不满足条件即可判断D.
解答过程：，故A正确；
，故B错误；
记的中点为D，由于，
因此中线垂直于，所以是等腰三角形，故C正确；
与的夹角为钝角，
且，故D错误.
故选：AC.
11. 如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 异面直线与所成的角的取值范围是
D. 二面角的正弦值为33
答案：ABD
解析：
思路：建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，利用线线角的向量求法判断C，利用二面角的向量求法判断D即可.
解答过程：如图，以为原点，为轴，为轴，
为轴，建立空间直角坐标系，且设正方体边长为2，
故,,，，C(0,2,0) ，
所以，，
对于A，B(2,2,0) ，，故，
，因为，共线，
所以，故，
故，而，
所以，故A正确，
对于B，而，化简得，
故，，
而，，
设面的法向量为n=(x,y,z) ，可得，
所以，令，解得，
故，则，
可得平面，故B正确，
对于C，，，
设异面直线与所成的角为，θ∈0,π2，
所以，
当时，，
而时，令，
因为，可得，
故，得到，故C错误，
对于D，已知面的法向量为，
设面的法向量，所以，
故，令b=0 ，解得，
故，设二面角为，
，故，而，
而，解得，故D正确.
故选：ABD
方法提示：关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后表示出关键点的坐标，由线线角的向量求法表示出线线角．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 光明中学举办演讲比赛，其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第60百分位数和第70百分位数的和为______．
答案：182
解析：
思路：根据百分位数的求法求得正确答案.
解答过程：8×0.6=4.8 ，所以第60百分位数是.
8×0.7=5.6 ，所以第70百分位数是92 .
所以第60百分位数和第70百分位数的和为90+92=182 .
13. 如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=4 ，，则直线与直线所成角的正切值为______．
答案：##
解析：
思路：根据给定条件，作出直线与直线所成的角，再借助余弦定理求出余弦值即可求解.
解答过程：在正三棱柱ABC−A1B1C1中，连接交于O点，取A1C1的中点F，连接OF，
显然是的中点，则，是与所成的角或其补角，
在中，，，，
，，
所以直线与直线所成角的正切值为.
故答案为：
14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若为的面积，则的最大值为______．
答案：##
解析：
思路：应用正弦定理边角关系、和角正弦公式可得，根据三角形性质有，再应用余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求目标式的最大值，注意取最大值的条件.
解答过程：由题设及正弦定理边角关系，，
即，而，故，
又sinA≠0 ，则，故，
而，，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 已知复数z=m+2+m2+2m−3i （）．
（1）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围；
（2）若为正实数，z−4i 是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求的值．
答案：（1）
（2）19 解析：
思路：（1）根据对应点所在象限列不等式，由此求得的取值范围.
（2）先求得，然后根据虚根成对以及根与系数关系求得，进而求得.
（1）若复数在复平面内对应的点在第四象限，
则m+2>0m2+2m−3