河南省开封市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省开封市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列各数中，是纯虚数的是（ ）
A．0B．C．D．
2．设直线分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b（ ）
A．平行B．相交
C．是异面直线D．可能相交，也可能是异面直线
3．甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（ ）
A．EFB．EFC．ED．
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（ ）
A．B．3C．D．7
5．从两名男生、两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样两种抽样方式下，抽到的两人都是男生的概率分别是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
6．若，且，则（ ）
A．B．
C．D．
7．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示（风速的大小和向量的大小相同，单位），则真风风速对应的向量与视风风速对应的向量的夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，以边长为2的菱形ABCD的一边所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体.已知该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ）
A．样本的标准差B．样本的中位数
C．样本的极差D．样本的平均数
10．已知复数，则下列复数中虚部为0的有（ ）
A．B．C．D．
11．如图所示，分别以等边三角形ABC的顶点A，B，C为圆心，线段AB的长为半径画圆弧，，，三段圆弧围成一个曲边三角形.已知，O为AB的中点，点P，Q分别在，上，若，则（ ）
A．的最小值是B．可以取到
C．的最大值是D．可以取到1
三、填空题
12．已知，且，则 .
13．某市为了调查教师对统计软件的了解程度，拟采用比例分配的分层随机抽样的方法从A，B，C三所学校抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校分别有180，270，90名教师，则从A学校中应抽取的人数为 .
14．已知的面积为，若，则边 .
四、解答题
15．某市通过简单随机抽样，获得了1000户居民用户的月均用电量数据，发现他们的用电量都在之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)求直方图中x的值；
(2)求在被调查的用户中，用电量落在区间内的用户数；
(3)该市政府计划对居民生活用电费用实施阶梯式电价制度，即确定一个居民月均用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望的居民生活用电费用支出不受影响，将a定为是否合理？请说明理由.
16．已知点，，，，且.
(1)求x，y之间的关系式；
(2)若在上的投影向量的长度为，求x的值.
17．如图，在正四棱柱中，E为的中点.

(1)证明：平面；
(2)判断平面是否成立，并证明.
18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，边BC上的中线记为.
(1)利用余弦定理证明：；
(2)如图，在平面a上的正投影为，O为BC的中点，已知直线AB，AO，AC和平面a所成的角分别为，，，，求.
19．数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字，且每次数字的传输相互独立.发送0时，收到0的概率为，收到1的概率为；发送1时，收到1的概率为，收到0的概率为.
(1)若发送的数据为“01”，记收到的数字全部正确的概率为，全部错误的概率为，试比较，的大小；
(2)已知发送数字0，1时，收到正确数字的概率都大于收到错误数字的概率.
（ⅰ）从下面①②③中选出一定错误的结论：
① ② ③
（ⅱ）从（ⅰ）中选出一个可能正确的结论作为条件.用X表示收到的数字串，将X中数字1的个数记为，如“1011”，则.若发送的数据为“1100”，求的最大值.
1．C
根据纯虚数的概念，可得答案.
【详解】由为实数，复数中实部为，则ABD错误.
故选：C.
2．D
按直线的三种位置关系分析．
【详解】如图，长方体中，
当所在直线为a，所在直线为b时，a与b相交；
当所在直线为a，所在直线为b时，a与b异面.
故选：D.
3．B
根据并联电路可得答案.
【详解】因为甲、乙两个元件构成一并联电路，
所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，
所以表示电路故障的事件为.
故选：B
4．A
根据题意，利用余弦定理，即可求解.
【详解】由余弦定理得，所以.
故选：A.
5．A
分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解即可.
【详解】将两名男生编号为，两名女生编号为，记“抽到的两人都是男生”为事件，
从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为：
共16个样本点，
抽到的两人都是男生的样本点为有4个样本点，
所以；
从两名男生和两名女生中任意抽取两人，在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为：
，共16个样本点，
抽到的两人都是男生的样本点为有2个样本点，
所以；
故选：A.
6．B
由复数的模长公式，可得答案.
【详解】由，则.
故选：B.
7．B
结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，再结合两向量的夹角公式求解．
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，
∴，船行风速：，
∴，
则．
故选：B.
8．C
作出示意图，由题意可得到的距离，结合示意图，求得表面积.
【详解】作出示意图如图所示：
该几何体下部分为圆锥，上部分为在圆柱内挖去一小个与下部分相同的圆锥，
设点到的距离为，由题意可得，解得，
所以该几何体的表面积为.
故选：C.
9．AC
考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.
【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；
故选：AC.
10．AC
利用复数的共轭复的概念，复数的加法，减法，乘法，除法运算法则，逐项计算即可判断正误.
【详解】因为复数，所以，所以复数中虚部为0，故A正确；
因为复数，所以，所以复数中虚部为2，故B不正确；
因为复数，所以，所以复数中虚部为0，故C正确；
因为复数，所以，
所以复数中虚部为，故D不正确.
故选：AC.
11．AC
建立坐标系，根据题给条件，确定点A，B，C，O的坐标以及圆弧半径；参数化点P，Q，得出相应参数后坐标；根据向量模长和数量积运算法则，结合三角函数特性，分别对各选项进行计算判断.
【详解】设,,
根据等边三角形性质，则;O为AB的中点，故;
圆弧以A为圆心，半径为2；以B为圆心，半径为2.
设，则P在上，坐标.
,且，故.
Q在上，以为圆心，方向角，坐标.
计算,得：，
在时，最小值处：
，故A对.
的最大值在或处：
，故B错.
计算点积：
当时取最大值：, 故C对.
点积最小值在或处：
，故D错.
故选：AC.
12．2
根据题意，结合共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由向量，因为，可得，解得.
故答案为：.
13．20
根据题意，得到A，B，C三所学校教师的人数比为，进而求得A学校中应抽取的人数，得到答案.
【详解】由题意知，A，B，C三所学校分别有180，270，90名教师，
可得A，B，C三所学校教师的人数比为，
所以三所学校抽取60名教师，其中A学校中应抽取的人数为人.
故答案为：.
14．
根据题意，求得，得到为直角三角形，再由的面积为，求得，结合，且，得到，即可求解.
【详解】因为，可得，
又因为，所以，可得，即为直角三角形，
因为的面积为，可得，解得，
又因为，且，
可得，即，可得，所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)600
(3)合理，理由见解析
（1）根据频率和为1，列式计算求出参数；
（2）先计算频率再计算用户数；
（3）应用频率分布直方图列式计算频率结合已知说明理由.
【详解】（1）根据频率和为1，可知
，计算得：；
（2）；
（3），
合理，样本的第80百分位数接近于250，由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，
在实际决策中，只要临界值近似为第80百分位数即可，为了实际中操作方便，
可以建议市政府把月均用电量标准定为.
16．(1)
(2)
（1）求得向量的坐标，结合向量的数量积的坐标运算求解即可；
（2）由题意可得，结合向量的模的坐标运算可求解.
【详解】（1）因为，，
又，所以；
（2）因为，在上的投影向量的长度为，
根据投影的定义及（1）中解答，所以，又，
所以，解之得.
17．(1)证明见解析
(2)平面AEC不成立，证明见解析
（1）先应用中位线得出线线平行，进而结合线面平行判定定理证明线面平行；
（2）假设平面，根据反证法得出矛盾即可证明.
【详解】（1）连接BD与AC交于点O，连接EO，
E，O分别是与的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
（2）平面不成立.
记，，若平面，平面，则，
因为，，，
由于，所以不成立，
所以平面不成立.
18．(1)证明见解析
(2)
（1）由余弦定理可得，由余弦定理得，代入整理可得结论；，
（2）由已知求得，，与的关系，进而结合（1）可得，求解即可.
【详解】（1）由余弦定理的推论，得，
所以，
所以.
（2）由已知易知：平面α，
，，，
，，，
又O为BC的中点，，
由（1）可得：，即，
解之可得：.
19．(1)答案见解析
(2)（ⅰ）②③一定错误；（ⅱ）.
（1）利用概率的乘法公式，根据作差法，可得答案；
（2）（i）由题意建立不等式组，根据不等式的性质，可得答案；（ii）由题意分情况计算概率，整理函数解析式，可得答案.
【详解】（1）由题意，，，，
当时，；
当时，；
当时，.
（2）（ⅰ）由题意，，解之得，所以，
所以，，
所以②③一定错误
（ⅱ）由（ⅰ）中选择作为条件，当发送的数据为“1100”时，事件包含以下三种情况：
①两个1接收都正确，两个0接收都正确，其概率为；
②有且只有一个1接收正确，有且只有一个0接收正确，其概率为
；
③两个1接收都错误，两个0接收都错误，其概率为；
所以，
令，则，其中，可得，
所以，，
由二次函数的性质可知，在时取到最大值，最大值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
A
B
B
C
AC
AC
题号
11









答案
AC