2025--2026学年河南漯河实验高中高一下学期期中考试数学试题-含解析

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知，若与共线，则（ ）
A. B. C. 1D. 5
3. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ）
A. 2B. C. D.
5. 在中,内角所对的边分别为且.若,则的形状是
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
6. 下列关于棱锥、棱台的说法正确的有（ ）
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
7. 已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ）
A. B. C. 0D.
8. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的0分.
9. 为平面，有下列命题，其中假命题的是（ ）
A. 若直线l平行于平面内的无数条直线，则
B. 若直线a在平面外，则
C. 若直线，直线，则
D. 若直线，则a平行于平面内的无数条直线
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）.
A. 若，则
B. 若，则△ABC为锐角三角形
C. 若，则△ABC为等腰三角形
D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若M(3，－2)，N(－5，－1)且，则P点的坐标为__________.
13. 平面向量，，若，则_________.
14. 如图，一个水平放置的三角形的斜二测画法直观图是一个等腰直角三角形，且腰长为1，则原三角形的面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，，．
（1）当时，求的值；
（2）若是纯虚数，求的值；
（3）若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
16. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为，，，，且，
（1）求的长度；
（2）求的面积；
18. 在中，角的对边分别为,且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求该三角形的周长．
19. 已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：
（1）E、F、D、B四点共面
（2）平面平面.
数学
（考试时间120分钟，满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：D
解析：
思路：先利用复数的除法，求出复数，再求共轭复数，然后判定所在象限.
解答过程：由题意知，，则，
故复数在复平面内对应的点为，在第四象限.
2. 已知，若与共线，则（ ）
A. B. C. 1D. 5
答案：B
解析：
解答过程：由与共线，则,解得.
3. 如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因是线段上的靠近A的三等分点，则.
4. 设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ）
A. 2B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据平面向量共线定理计算即可.
解答过程：由共线向量定理可知存在实数，使得，
即，又与是不共线向量，
所以解得.
故选：B．
5. 在中,内角所对的边分别为且.若,则的形状是
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
答案：C
解析：
思路：
在中,由余弦定理的推论:,结合,可得,结合和正弦定理,即可求得答案.
解答过程：在中,由余弦定理的推论: ①
将代入①得
故:,
又 由
根据正弦定理可得,
,即,
为一个内角为的等腰三角形,
即为等边三角形.
故选:C.
方法提示：本题考查了根据正弦定理和余弦定理来判断三角形形状,解题关键是掌握正弦定理和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
6. 下列关于棱锥、棱台的说法正确的有（ ）
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
答案：A
解析：
解答过程：对于①，由五个面围成的多面体可能是三棱柱,①错误；
对于②，仅有两个面互相平行的五面体可以是三棱柱，②错误；
对于③④，棱台的侧棱延长线必须交于一点，③④错误.
所以下列关于棱锥、棱台的说法正确的有0个.
7. 已知在矩形ABCD中，，分别为的中点，则（ ）
A. B. C. 0D.
答案：D
解析：
思路：以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用向量的数量积的坐标表示求解.
解答过程：如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A0,0,B2,0,D0,1,C2,1.
∵分别为的中点，
∴E(2,12),F1,1，
，
.
8. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：对于A，利用与直线平行的直线和平面相交，可得直线AB与平面MNQ不平行；对于B，利用面面平行可得直线AB与平面MNQ平行；对于C，利用和平行的直线平行平面，可得平面；对于D，利用和平行的直线平行平面，可得平面.
解答过程：对于A，如图取底面中心，连接，
由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
因为与平面相交，所以与平面相交，即直线与平面不平行；
对于B，由于，平面，平面，
所以平面，故B正确；
对于C，如图，连接，则，
因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
所以，
因为平面，平面，所以平面；
对于D，如图，连接，则，
因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得，
所以，
因为平面，平面，所以平面.
方法提示：方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的0分.
9. 为平面，有下列命题，其中假命题的是（ ）
A. 若直线l平行于平面内的无数条直线，则
B. 若直线a在平面外，则
C. 若直线，直线，则
D. 若直线，则a平行于平面内的无数条直线
答案：ABC
解析：
思路：根据线面平行的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
解答过程：A选项， 若直线l平行于平面内的无数条直线，则可能含于，A为假命题.
B选项，若直线a在平面外，则可能与相交，B为假命题.
C选项，若直线，直线，则可能含于，C为假命题.
D选项，由于直线，不妨设，则，所以，所以a平行于平面内的无数条直线，D为真命题.
故选：ABC
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABC
解析：
思路：利用复数模的意义、乘法运算，结合共轭复数的意义逐项计算判断.
解答过程：对于A，，，A正确；
对于B，，则，B正确；
对于C，，则，C正确；
对于D，，，，D错误.
故选：ABC
11. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）.
A. 若，则
B. 若，则△ABC为锐角三角形
C. 若，则△ABC为等腰三角形
D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
答案：AD
解析：
思路：根据正弦定理即可判断AD，根据余弦定理判断B，根据正弦定理边化角，再结合二倍角的正弦公式，即可判断C.
解答过程：A.根据正弦定理可知，，则，故A正确；
B. 若，则是直角三角形，
若，则，只能说明为锐角，不能说明的形状，故B错误；
C. ，即，
因为，所以或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
D.由条件可知，，即，故D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若M(3，－2)，N(－5，－1)且，则P点的坐标为__________.
答案：
解析：
解答过程：分析：设点，表示出，代入，即可求出点的坐标.
详解：设点，
则，
又，
，
，故答案为.
点睛：本题主要考查了平面向量的坐标运算问题，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.
13. 平面向量，，若，则_________.
答案：
解析：
思路：利用向量垂直的坐标表示可得，即可求值.
解答过程：由题意，，，又，
∴，即，
∴.
故答案为：
14. 如图，一个水平放置的三角形的斜二测画法直观图是一个等腰直角三角形，且腰长为1，则原三角形的面积为______.
答案：
解析：
思路：根据斜二测画法的规定判断还原后三角形的形状，最后利用三角形的面积公式求解即可.
解答过程：由斜二测画法的规定方法，可以确定原三角形是直角边边长分别为的直角三角形，如下图所示：故面积为.
故答案为：
方法提示：本题考查了已知斜二测画法直观图求原几何图形的面积问题，考查了数学运算能力，属于基础题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，，．
（1）当时，求的值；
（2）若是纯虚数，求的值；
（3）若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1），可得，再根据复数的乘法运算即可求解；
（2）根据复数的分类，即可求；
（3）根据复数的乘法、除法运算法则可得，然后根据复数的几何意义在复平面对应点所在的象限可求实数的取值范围.
（1）当时，．
（2）因为为纯虚数，所以，所以．
（3），
该复数在复平面内对应的点在第二象限，
则，解得，
故实数的取值范围是．
16. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）且
解析：
思路：（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长；
（2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值；
（3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可.
（1）因为向量，且，
所以，解得，
所以.
（2）因为，且，
所以，解得.
（3）因为与的夹角是钝角，
则且与不共线，
即且，
所以且.
17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为，，，，且，
（1）求的长度；
（2）求的面积；
答案：（1）4 （2）
解析：
思路：（1）先利用正弦定理得到，再联立，即可求解；
（2）先由余弦定理求出，进而得到，再根据面积公式即可求解.
（1）因为，由正弦定理得，
又因为，，解得，，，
所以的长度为4.
（2）由（1）知，，，
在中，由余弦定理得，
所以，
所以，
故的面积为.
18. 在中，角的对边分别为,且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求该三角形的周长．
答案：（1）
（2）12
解析：
思路：（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角；
（2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长.
（1）因为，
由正弦定理得：，
整理得：，
因为，所以，故，
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，
解得，
又因为，
即，
所以，故的周长为.
19. 已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：
（1）E、F、D、B四点共面
（2）平面平面.
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）根据题意证明，即可得结果；
（2）根据线面、面面平行的判定定理分析证明.
（1）证明：分别是、的中点，
所以，
又，
所以四边形是平行四边形，
.
，
即确定一个平面，故E、F、D、B四点共面.
（2）（2）M、N分别是、的中点，
.又平面，平面，平面.
连接，如图所示，则，.
四边形是平行四边形.
.
又平面，平面.
平面.
都在平面,且,所以平面平面.