河北唐山2024~2025学年高一下册期末考试数学试题

这是一份河北唐山2024~2025学年高一下册期末考试数学试题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12题，每题5分）
1. 已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于( )
A．76 B．2eq \r(19) C．27 D．2eq \r(7)
2. 已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
3、下列不等式中，正确的是( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4、设等差数列的前n项之和为，已知，则=（ ）
A．12 B．20 C. 40 D．100
5、记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6、如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是(单位：米)( )

A．10eq \r(2) B．10eq \r(6) C．10eq \r(3) D．10
7、若满足约束条件,则的最大值为( )
A.-6,B.-2 C.4D.2
8、 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠
算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学
问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生
年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，
这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ）
A．8岁 B．11岁 C．20岁 D．35岁
9、在区间上随机取两个实数，，使得的概率为（ ）
A．B．C．D．
10、某单位为了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机抽查了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))中eq \(b,\s\up6(^))≈－2，预测当气温为－4 ℃时，用电量为( )
A．58度 B．66度
C．68度 D．70度
11、记为等比数列的前n项和,若数列也为等比数列,则( )
A. 2B. 1C.D.
12、已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13．7，18．3，20，且样本的中位数为10．5，若使该样本的方差最小，则a，b的值分别为( )
A．10，11 B．10．5，9．5 C．10．4，10．6 D．10．5，10．5
= 2 \* ROMAN II卷
二、填空题（共4小题，每题5分）
13．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：________，________，________，________，________.
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
14. 在△ABC中，c＝eq \r(3)，b＝1，B＝30°，则△ABC的面积为 ．
15. 如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若eq \(AM,\s\up16(→))＝λeq \(AB,\s\up16(→))＋μeq \(BC,\s\up16(→))，则λ＋μ＝________.
16、若,则4x+9y的最小值为____
三、解答题（共6题）
17、(满分10分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费,太少又难以满足乘客的需求,为此,某市公交公司在某站台的60名候车的乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间作为样本分成5组,如下表所示:
1.估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;
2.若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查,求抽到的2人恰好来自不同组的概率.
18、(满分12分)已知向量，满足||＝eq \r(5)，＝(1，－3)，且(2＋)⊥.
(1)求向量的坐标．
(2)求向量与的夹角．
19、(满分12分)已知非零数列满足，且的等差中项为6.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的值.
20、(满分12分)的内角的对边分别为已知的面积为.
（1）求；
（2）若求的周长.
21、(满分12分)某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40,50)，[50,60)，…，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若采用分层抽样的方式从评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]的师生中抽取10人，则评分在[60,80)内的师生应抽取多少人？
(3)学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．
22．(12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2，
cs B＝eq \f(1,3)，b＝3.
求：(1)a和c的值；
(2)cs(B－C)的值．

答案
一、选择题
1、解析：选B 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accs B＝76，所以b＝2eq \r(19).故选B.
2、答案 A 解析 根据已知，有eq \(AB,\s\up16(→))＝(8，－4)，eq \(AC,\s\up16(→))＝(2,4)，eq \(BC,\s\up16(→))＝(－6，8)，因为eq \(AB,\s\up16(→))·eq \(AC,\s\up16(→))＝8×2＋(－4)×4＝0，
所以eq \(AB,\s\up16(→))⊥eq \(AC,\s\up16(→))，即∠BAC＝90°.
故△ABC为直角三角形．
3、答案：A
解析：若，则,故B错，设,则，所以C、D错，故选A
4、答案：B解析：由等差数列的前n项和的公式得：，即；
而，
5、答案：D
解析：设公比为q，有解得则．
6、. 【答案】B
【解析】设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝x，从而有BC＝eq \f(\r(3),3)x.在△BCD中，CD＝10，∠BCD＝90°＋15°＝105°，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，由正弦定理得eq \f(BC,sin ∠BDC)＝eq \f(CD,sin ∠CBD)，BC＝eq \f(10sin 45°,sin 30°)＝10eq \r(2)＝eq \f(\r(3),3)x，解得x＝10eq \r(6)，所以塔AB的高是10eq \r(6)米．故选B．
7、C
8、B
9、【答案】D
【解析】由题意，在区间上随机取两个实数，，对应的区域的面积为16．
在区间内随机取两个实数，，则对应的面积为，
∴事件的概率为．故选D．
10、解析：选C 由表知eq \x\t(x)＝eq \f(18＋13＋10－1,4)＝10，eq \x\t(y)＝eq \f(24＋34＋38＋64,4)＝40，因为回归直线一定过点(10,40)，则40＝－2×10＋eq \(a,\s\up6(^))，则eq \(a,\s\up6(^))＝60，则eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋60.当x＝－4时，eq \(y,\s\up6(^))＝－2×(－4)＋60＝68.
11、答案：A
解析：设 等 比 数 列 的 公 比 为q,当时，，显 然不 为 等 比 数 列 ，舍去，当时 , ，欲 符 合 题 意 ，需
，得，故，故选 A.
12、答案 D
解析 由于样本共有10个值，且中间两个数为a，b，
依题意，得eq \f(a＋b,2)＝10．5，即b＝21－a．
因为平均数为(2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13．7＋18．3＋20)÷10＝10，
所以要使该样本的方差最小，只需(a－10)2＋(b－10)2最小．
又(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(21－a－10)2＝2a2－42a＋221，
所以当a＝－eq \f(－42,2×2)＝10．5时，(a－10)2＋(b－10)2最小，此时b＝10．5．
二、填空
13.答案 331 455 068 047 447
14、解析：根据正弦定理，得
sin C＝eq \f(csin B,b)＝eq \r(3)sin 30°＝eq \f(\r(3),2).
∵c>b，∴C>B，∴C＝60°或120°.
当C＝60°时，A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),2)；
当C＝120°时，A＝180°－(30°＋120°)＝30°，
∴△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×1×eq \r(3)sin 30°＝eq \f(\r(3),4).
答案：eq \f(\r(3),2)或eq \f(\r(3),4)
15、答案 eq \f(2,3)
解析 在△ABH中，BH＝eq \f(1,2)AB＝1，
∵BC＝3，∴BH＝eq \f(1,3)BC.
∴eq \(AH,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \(BH,\s\up16(→))＝eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up16(→)).
∵M为AH的中点，
∴eq \(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(AH,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up16(→))＋eq \f(1,6)eq \(BC,\s\up16(→)).
∵eq \(AM,\s\up16(→))＝λeq \(AB,\s\up16(→))＋μeq \(BC,\s\up16(→))，
∴λ＋μ＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(2,3).
16、12
三、解答题
17、1．这名乘客中候车时间少于分钟的频率为,
所以这名乘客中候车时间少于分钟的人数大约为.
2.将第三组乘客编号为,第四组乘客编号为,从人中任选人共包含以下个基本事件:
,,,,
其中人恰好来自不同组包含以下个基本事件: ,.
于是所求概率为.
18、[解] (1)设＝(x，y)，
因为||＝eq \r(5)，则eq \r(x2＋y2)＝eq \r(5)，①
又因为＝(1，－3)，且(2＋)⊥，
2＋＝2(x，y)＋(1，－3)＝(2x＋1，2y－3)，
所以(2x＋1，2y－3)·(1，－3)＝2x＋1＋(2y－3)×(－3)＝0，即x－3y＋5＝0，②
由①②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1，))
所以＝(1，2)或＝(－2，1)．
(2)设向量与b的夹角为θ，
所以cs θ＝＝eq \f(（1，2）·（1，－3）,\r(1＋22)\r(1＋（－3）2))＝－eq \f(\r(2),2)或cs θ＝＝eq \f(（－2，1）·（1，－3）,\r(1＋22)\r(1＋（－3）2))＝－eq \f(\r(2),2)，
因为0≤θ≤π，所以向量与b的夹角θ＝eq \f(3π,4).
19、解：（1）非零数列满足，数列为以3为公比的等比数列；
当n=1时
因为的等差中项为6，所以
联立①②得， 所以
（2）将代入得到
所以
所以
20、解：（1）由题设得，即.
由正弦定理得.
故.
（2）由题设及（1）得，即.
所以，故.
由题设得，即.由余弦定理得，即，得.
故的周长为.
21、解 (1)由(0.004＋a＋0.022＋0.028＋0.022＋0.018)×10＝1，解得a＝0.006.
(2)由频率分布直方图可知，评分在[40,60)，[60,80)，[80,100]内的师生人数之比为(0.004＋0.006)∶(0.022＋0.028)∶(0.022＋0.018)＝1∶5∶4，所以评分在[60,80)内的师生应抽取10×eq \f(5,1＋5＋4)＝5(人)．
(3)由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为eq \x\t(x)＝45×0.004×10＋55×0.006×10＋65×0.022×10＋75×0.028×10＋85×0.022×10＋95×0.018×10＝76.2.因为76.2>75，所以食堂不需要内部整顿．
22、解：(1)由eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2，得cacs B＝2.
又cs B＝eq \f(1,3)，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accsB．
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×eq \f(1,3)＝13.
解eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ac＝6，,a2＋c2＝13，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,c＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,c＝2.))
因为a>c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，
sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3)，
由正弦定理，得sin C＝eq \f(c,b)sin B＝eq \f(2,3)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(4\r(2),9).
因为a＝b>c，所以C为锐角，
因此cs C＝eq \r(1－sin2C)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4\r(2),9)))2)＝eq \f(7,9).
于是cs(B－C)＝cs Bcs C＋sin Bsin C＝eq \f(1,3)×eq \f(7,9)＋eq \f(2\r(2),3)×eq \f(4\r(2),9)＝eq \f(23,27).
气温(℃)
18
13
10
－1
用电量(度)
24
34
38
64
组别
一
二
三
四
五
候车时间(分钟)
[0,5)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
人数
2
6
4
2
1