2025~2026学年河北省唐山市滦南县高一下册期中质量检测数学试题【含答案】

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 长方体的长宽高分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）
A. 6B. 11C. 18D. 22
2. 已知为虚数单位，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，，则（ ）
A. B. 4C. D. 1
4. 钝角三角形的面积是，则（ ）
A. 45°B. 135°C. 120°D. 150°
5. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是一长方体的一条棱，若阳马以该长方体的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
6. 设的共轭复数为，若，，则( )
A. B. C. D.
7. 在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正方体的顶点都在球O的表面上，则三棱锥与球O的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 设复数，则（ ）
A.
B. 的虚部为
C. 复数是纯虚数
D. 在复平面内对应的点在第二象限
10. 已知平面两两垂直，直线满足：，，，则直线可能满足以下哪种关系（ ）
A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面
11. 在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，且，则_________．
13. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之和为_________．
14. 已知，且满足，，则的最大值是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，为虚数单位，．
（1）若为实数，求的值；
（2）若，求的值．
16. 已知向量与的夹角为60°，，，求：
（1）；
（2）；
（3）若，求实数k的值．
17. 在中，角，，的对边分别为，，.
（1）若，，，求的值；
（2）若，求的值．
18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
19. 如图，在正三棱锥中，，，的中点为，的中点为．求：
（1）直线与的夹角的余弦值；
（2）三棱锥的体积；
（3）二面角的余弦值．
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 长方体的长宽高分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）
A. 6B. 11C. 18D. 22
答案：D
解析：
解答过程：由题设长方体的表面积为.
2. 已知为虚数单位，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据复数的乘法运算即可求解．
解答过程：．
3. 已知向量，，，则（ ）
A. B. 4C. D. 1
答案：B
解析：
解答过程：已知向量，，则，
，
由，可得，即，
可得，则.
4. 钝角三角形的面积是，则（ ）
A. 45°B. 135°C. 120°D. 150°
答案：B
解析：
思路：根据三角形的面积公式列方程，结合三角形是钝角三角形确定正确答案.
解答过程：依题意，，
所以，所以或，
若，则，
则，则，不符合题意.
所以.
5. 《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是一长方体的一条棱，若阳马以该长方体的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
答案：D
解析：
思路：先找出包含的底面矩形，再根据图形特征，逐个计数即可.
解答过程：如图，

若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马；
若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马；
若包含的底面矩形为，则从，，，中任取一个作为顶点，都不符合阳马，故舍去.
综上可知，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是8个.
6. 设的共轭复数为，若，，则( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：设，根据已知条件求得，然后求得.
解答过程：设，则，

若，则，
若，则，.
故选：C
7. 在平行四边形中，为一条对角线，若，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：在平行四边形中，由，，利用减法得到，然后利用加法求.
解答过程：在平行四边形中， ，，
所以，
所以.
故选：B
方法提示：本题主要考查平面向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8. 已知正方体的顶点都在球O的表面上，则三棱锥与球O的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：首先明确正方体的体对角线是外接球的直径，通过设正方体的棱长，分别表示出三棱锥与球O的体积，进而求出它们的体积之比.
解答过程：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为，
三棱锥是正四面体，棱长为，
三棱锥的体积等于正方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积，这四个全等的三棱锥是正方体被截去的四个角上的小三棱锥，
每个三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积为：VA1−BC1D=V正方体−4×16a3=a3−23a3=13a3.
因为正方体的顶点都在球O的表面上，所以正方体的体对角线是球O的直径（为球O的半径），
正方体的体对角线为，则球O的半径，
所以球O的体积为：，
则三棱锥与球O的体积之比为13a332πa3=13×23π=233π=239π.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 设复数，则（ ）
A.
B. 的虚部为
C. 复数是纯虚数
D. 在复平面内对应的点在第二象限
答案：BC
解析：
解答过程：对于A，因为，则，所以A错误，
对于B，复数的虚部为，所以B正确，
对于C，因为，则为纯虚数，故C正确，
对于D，在复平面内对应的点为，在第四象限，故D错误.
10. 已知平面两两垂直，直线满足：，，，则直线可能满足以下哪种关系（ ）
A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面
答案：ACD
解析：
思路：对ACD作出相应空间图形即可；对B，通过反证法即可得到其无法两两平行.
解答过程：
对于A，由图1，得可能两两垂直，A正确；
对于B，设，假设，
若与均不重合，由可得，，
又，所以，，
又，所以，
若与或重合，则，
因为两两垂直，所以与相交，即与相交或异面，与矛盾，
综上，不可能两两平行，B错误；
对于C，由图2，得可能两两相交，C正确；
对于D，由图3，得可能两两异面，D正确．
11. 在中，角的对边分别为．根据以下条件解三角形，恰有一解的是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
答案：BD
解析：
思路：对各选项，先用正弦定理计算 ，再结合边的大小关系判断角的范围与解的个数；钝角选项直接由大边对大角排除矛盾情况；等腰选项直接由等边对等角求出唯一解，从而筛选出恰有一解的选项．
解答过程：对于A，由，得，
因为为锐角，且，，即，
所以三角形有两解，A错误；
对于B，由，得，
因为，所以，故必为锐角，所以只有一解，B正确；
对于C，因为，则是的最大内角，
又由，得，所以无解，C错误；
对于D，由，得，，恰有一个解，D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，且，则_________．
答案：
解析：
解答过程：已知向量，，且，
则，解得.
13. 一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之和为_________．
答案：
解析：
思路：分别计算绕两条直角边旋转得到的圆锥体积，再求体积之和.
解答过程：依题意，，则.
14. 已知，且满足，，则的最大值是_________．
答案：
解析：
思路：先假设，再利用的几何意义求解问题.
解答过程：设，则，那么
，
即
所以的几何意义为圆上的点到的距离，
又在圆外
故的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，为虚数单位，．
（1）若为实数，求的值；
（2）若，求的值．
答案：（1）或
（2）解析：
（1）因为为实数，则，解得或.
（2）因为，则m2−5m+6=2m2−3m=−2，解得.
16. 已知向量与的夹角为60°，，，求：
（1）；
（2）；
（3）若，求实数k的值．
答案：（1）；
（2）；
（3）．
解析：
思路：(1)已知模长与夹角，利用数量积的定义计算数量积即可；
(2)根据模长公式列出计算式，根据向量的乘法运算计算即可；
(3)根据向量相乘数量积为0列出关于参数的等式，计算即可．
（1）因为向量与的夹角为60°，，，
故；
（2）因为，
故；
（3）因为，故；
整理得：，可得：，．
17. 在中，角，，的对边分别为，，.
（1）若，，，求的值；
（2）若，求的值．
答案：（1）；（2）
解析：
思路：
（1）利用余弦定理得到，再解方程即可得到答案.
（2）首先利用正弦定理得到，从而得到，再利用同角三角函数关系即可得到答案.
解答过程：（1）因为，，，
由余弦定理，得：，
即，所以.
（2）因为，由正弦定理，得，
所以.
又因为，即.
因为，所以，故.
方法提示：本题第一问考查余弦定理解三角形，第二问考查正弦定理解三角形，属于简单题.
18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由.
答案：（Ⅰ）见解析；
（Ⅱ）见解析；
（Ⅲ）见解析.
解析：
思路：(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；
(Ⅱ)由几何体的空间结构特征首先证得线面垂直，然后利用面面垂直的判断定理可得面面垂直；
(Ⅲ)由题意，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理即可找到满足题意的点.
解答过程：（Ⅰ）证明：因为平面,所以；
因为底面是菱形，所以;
因为,平面,
所以平面.
（Ⅱ）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,
因为,所以；
因为平面，平面,
所以；
因为
所以平面，
平面,所以平面平面.
（Ⅲ）存在点为中点时，满足平面；理由如下:
分别取的中点，连接,
在三角形中，且；
在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;
又平面，平面，所以平面.
方法提示：本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19. 如图，在正三棱锥中，，，的中点为，的中点为．求：
（1）直线与的夹角的余弦值；
（2）三棱锥的体积；
（3）二面角的余弦值．
答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：
思路：（1）通过中位线法求异面直线夹角.
（2）利用正三棱锥的高与底面中心求体积.
（3）通过作棱的垂线构造平面角求解二面角.
（1）取中点，连接、.
由中位线性质，，
故为直线与的夹角（或其补角）.
在中，，，、为中点，故.
同理，，.
在中，由余弦定理：
，
故直线与夹角的余弦值为.
（2）设底面正的中心为，连接，则平面.
底面正三角形的外接圆半径.
在中，.
底面的面积.
所以.
（3）过作于，连接.
由正三棱锥对称性，，故，为二面角的平面角.
在中，，，
由余弦定理得，
，
故，同理.
在中，，
由余弦定理：，
故二面角的余弦值为.