2025~2026学年河北省唐山市古冶区高一下册期中考试数学试题【含答案】

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
2. “平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（ ）
A. B.
C. D. l∈αA⊂l⇒A∈α
3. “两条直线异面”的（ ）条件是“两条直线不相交”
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充要D. 非充分且非必要
4. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D. 5
5. 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知复数，且，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9. 设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则或
C. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
10. 如图，在棱长为6的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点Q满足，则下列说法正确的有（ ）

A. 平面
B. 若Q，M，N，P四点共面，则
C. 若，点F在侧面内（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为
D. 若，过A，P，Q三点作该正方体的截面将该正方体分成两部分，较小体积与较大体积的比值为
11. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若且，则
C. 的最大值为2
D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 圆心角为，面积为的扇形的弧长为______．
13. ________.
14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，为圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，年月日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在、两个小区分别随机抽取户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：
（1）分别计算、小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；
（2）如果两个小区住户均按照户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作小时）月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？
16. 如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面.
17. 如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面
18. 如图，在四边形中，，四边形绕所在直线旋转一周所形成新的几何体．
（1）求该几何体的表面积和体积；
（2）若旋转过程中，点和点始终落在球上，求球的表面积．
19. 已知向量.
（1）设求；
（2）若 与垂直，求的值.
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解.
解答过程：设圆锥底面圆半径为，母线长为，依题意，，则，
所以该圆锥侧面积与其表面积的比为.
故选：B
2. “平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：根据给出的条件逐步分析即可得出结论.
解答过程：由题意，
∵平面内有一条直线，
∴，
∵点在这条直线上，
∴，
∵得出这条直线上的一点必在这个平面内，
∴，
∴.
3. “两条直线异面”的（ ）条件是“两条直线不相交”
A. 充分非必要B. 必要非充分
C. 充要D. 非充分且非必要
答案：B
解析：
思路：根据充分、必要条件的定义，分析即可得答案.
解答过程：两条直线异面，则两条直线不相交，
反之，若两条直线不相交，则可能共面平行，不一定异面，
所以“两条直线不相交”是“两条直线异面”的必要非充分条件，
即“两条直线异面”的必要非充分条件是“两条直线不相交”.
故选：B
4. 已知复数，则（ ）
A. B. C. D. 5
答案：C
解析：
思路：根据条件，利用复数的运算得到，再利用模长的计算公式，即可求解.
解答过程：因为，所以，
故选：C.
5. 已知某圆锥的底面积为，轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据圆锥的底面积求出底面半径，再由轴截面为等边三角形求得圆锥的母线长，再代入圆锥的侧面积公式求解.
解答过程：因为底面积为，所以圆锥的底面半径为2，轴截面为等边三角形，
所以该圆锥的母线长为4，
所以.
6. 已知复数，且，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用复数的除法化简复数，利用复数的概念可得结果.
解答过程：因为，所以，故的虚部为.
7. 如图，在正四棱锥中，侧棱长均为，且相邻两条侧棱的夹角为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：将正四棱柱的侧面展开，可知的最小值为，然后在中求解即可
解答过程：如图，将正四棱柱的侧面展开，
则的最小值为．
在中，，，
则．
故选：D
8. 已知正四棱台的上、下底面的面积分别为1和4，侧面积为6，则该棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据正四棱台的截面特征求出棱台的高，代入棱台的体积公式求解即可.
解答过程：由题意知，该正四棱台上表面边长为1，下表面边长为2，设侧面梯形的高为，棱台的高为.
作正四棱台的截面图如下：
则，解得.
所以.
所以该棱台的体积为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9. 设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则或
C. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
答案：ACD
解析：
思路：利用复数模的运算即可判断AB，利用复数的几何意义即可判断CD.
解答过程：对于A，，故A正确；
对于B，因为当时，满足，故B错误；
对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确；
对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确.
故选：ACD.
10. 如图，在棱长为6的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点Q满足，则下列说法正确的有（ ）

A. 平面
B. 若Q，M，N，P四点共面，则
C. 若，点F在侧面内（包括边界），且平面，则点F的轨迹长度为
D. 若，过A，P，Q三点作该正方体的截面将该正方体分成两部分，较小体积与较大体积的比值为
答案：ACD
解析：
思路：根据正方体的结构特征可知侧面互相平行，可判断A；根据平面的性质及正方体的截面可判断B；根据面面平行的判定可判断点F的轨迹，进而判断C；时，先找出过A，P，Q三点的正方体的截面，进而可判断D.
解答过程：A，根据正方体的结构特征可知，平面平面，
又平面，所以 平面，故A正确；
B，因为三个不共线的点M，N，P确定一个平面，如图1：

当分别为所在棱的中点时，T，M，N，P四点共面，所以重合，
平面与正方体的截面为平面六边形 ，此时，故B错误；
C，取的中点E，上靠近的三等分点G，连接 ，如图2：

则 ，又平面，平面，则平面，
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以，
又平面，平面，则平面，
由 ， 平面，所以平面 平面，
所以点F的轨迹为线段，由勾股定理可知其长度为，故C正确；
D，延长，与的延长线交于点H，
连接，与棱交于I，与的延长线交于点J，连接，与棱交于点K，如图3：

则过A，P，Q三点的正方体的截面为五边形 ，
由比例关系可得，
，
，所以较小体积与较大体积的比值为，故D正确.
11. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若且，则
C. 的最大值为2
D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
答案：ABD
解析：
思路：对于A，利用向量垂直的坐标表示化简即可判断；对于B，利用向量平行的坐标表示化简即可判断；对于C，利用代入向量的数量积计算即可求解；对于D，利用投影向量公式化简即可求解.
解答过程：已知，，，.
选项A：若，则，得，A正确.
选项B：若，则，得，又 ，所以 ，B正确.
选项C：，最大值为，C错误.
选项D：在上的投影向量为，得，，，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 圆心角为，面积为的扇形的弧长为______．
答案：
解析：
思路：根据扇形的面积公式以及弧长公式，简单计算可得结果.
解答过程：因为，所以，解得．
所以弧长．
13. ________.
答案：2
解析：
思路：利用虚数的性质，逐步化简即可求得结果.
解答过程：，
∴z=i2⋅i⋅1+2i+i2=−1i⋅1+2i−1=−i⋅2i=−2i2=−2×−1=2 .
14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，为圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的取值范围为______．
答案：
解析：
思路：由图可推得，结合点的位置分析，求出的范围即得.
解答过程：由题可知，，
故
；
由图可知，当点位于正六边形的某个顶点时，取最大值，
当点为正六边形各边的中点时，取得最小值，即，
所以，，从而.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，年月日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在、两个小区分别随机抽取户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周（天）进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：
（1）分别计算、小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差；
（2）如果两个小区住户均按照户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案：
①小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
②小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员（每天工作小时）月工资按照元（按照天计算标准）计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少？
③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广？
答案：（1）210分钟，215分钟；，；（2）①15元；②64元；③选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.
解析：
思路：
（1）利用表格中数值，代入平均值和方差计算即可；（2）①计算小区一月至少需要名工作人员的费用和每位住户每月需要承担的费用即可；②由一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，每月按照天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果，计算出小区一月需要专职工作人员数量即可；③根据以上的运算，分析可以得出结论.
解答过程：（1）（分钟），
（分钟），
，
；
（2）①按照方案，小区一月至少需要名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，其费用是元，
每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），
②由（1）知，小区平均每位住户每周需要分钟进行垃圾分类，一月需要（分钟），
小区一月平均需要分钟的时间用于生活垃圾分类，
∵一位专职工人一天的工作时间按照小时作为计算标准，每月按照天作为计算标准，
一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于名普通居民对生活垃圾分类的效果，
∴小区一月需要专职工作人员至少（名），
则每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费为（元），
③根据上述计算可知，按照每位住户每月需要承担的生活垃圾分类费来说，
选择方案惠民力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；
如果对于高档小区的居民来说，可以选择方案，这只是方便个别高收入住户，
综上，选择方案推广，有利于国民热爱劳动及素质的提升.
【点评】本题文字较多，能够正确分析题意、理解题意是解决问题的关键，所以提醒同学们在备考过程中可以适当的做一些辅助阅读帮助提升此能力.
16. 如图，在长方体中，，，，分别为棱，的中点. 求证：，，，四点共面.
答案：证明见解析
解析：
思路：通过证明即可证明，，，四点共面.
解答过程：连接，
在长方体中，
∵∴四边形是平行四边形，
∴，
又因为，分别为棱，的中点，所以，
所以，
所以，，，四点共面.
17. 如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．证明：，，，四点共面
答案：证明见解析
解析：
思路：如图，取的中点，连接，，由题可得四边形是平行四边形，进而可得，据此可完成证明.
解答过程：如图，取的中点，连接，，
则，
在正方体中，，，
所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，
所以，所以，，，四点共面．
18. 如图，在四边形中，∠DAB=90°, ∠ADC=135°, AB=5, AD=1, CD=22，四边形绕所在直线旋转一周所形成新的几何体．
（1）求该几何体的表面积和体积；
（2）若旋转过程中，点和点始终落在球上，求球的表面积．
答案：（1）表面积,体积.
（2）解析：
思路：（1）分析图形的构成，表面积有哪几块构成，利用圆、扇形、扇环计算面积即可，体积看是由哪几个基本几何体组合而成，利用圆锥圆台体积计算公式计算即可.
（2）立体问题平面化找球心，求半径，利用球的表面积计算公式计算即可.
（1）如图，在中，，
从而.则，
过点作于，则，
从而四边形为矩形，即有，,
从而，则在中, .
该几何体的表面积包含旋转一周得到的曲面，旋转一周得到的曲面，以及旋转一周得到的圆面.
而，
，
，
从而该几何体的表面积
该几何体的体积可看成由梯形旋转得到的圆台挖去由三角形旋转得到的圆锥，则.
（2）如图，由题意球的球心在直线上，设，
则，
又，
则，解得.
从而球的半径，
球的表面积.
19. 已知向量.
（1）设求；
（2）若 与垂直，求的值.
答案：（1）;
（2）.
解析：
思路：（1）求出，然后按向量数量积的坐标运算规则进行求解；
（2）求出的坐标，根据垂直向量的坐标表示列出等式求解.
（1）∵，∴，
∴，∴．
（2），
由于与垂直，∴，∴．
住户编号
小区（分钟）
小区（分钟）
住户编号
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小区（分钟）