2025~2026学年河北省唐山市丰润区区高一下册期中考试数学试题【含答案】

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. 4C. D. 4i
2. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ）
A. 两条相交直线确定一个平面
B. 两条平行直线确定一个平面
C. 四点确定一个平面
D. 直线及直线外一点确定一个平面
3. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（ ）
A. l至多与m，n中的一条相交B. l与m，n均相交
C. l与m，n均平行D. l至少与m，n中的一条相交
5. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），画出如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）
+

A. 可以估计该市月均用水量在区间内的居民用户最多
B. 可以估计随着月均用水量的增加，该市居民用户数呈现降低趋势
C. 可以估计该市月均用水量的平均数小于中位数
D. 可以估计该市居民月均用水量的分位数为14.2
6. 如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
8. 为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年）后，得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的分位数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．
9. 已知复数，以下结论正确的是（ ）
A.
B. 在复平面内，复数对应的点位于第四象限
C.
D. 是纯虚数
10. 下列有关复数的结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 是关于的方程的一个根
D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
11. 如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小值为
B.
C. 当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量的夹角为，则__________.
13. 如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____.

14. 如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在棱长为1的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点.
（1）计算棱台的体积；
（2）求证：平面平面.
16. 在直三棱柱中，，，，M为中点，．
（1）证明：平面；
（2）求四面体的体积．
17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角；
（2）若，且，求的面积．
18. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．

（1）写出表中、及图中的值（不需过程）；
（2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数；
（3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01）
19. 是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率.
数学
本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. 4C. D. 4i
答案：A
解析：
思路：利用复数的减法及复数的有关概念求解.
解答过程：依题意，，其虚部为.
故选：A
2. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ）
A. 两条相交直线确定一个平面
B. 两条平行直线确定一个平面
C. 四点确定一个平面
D. 直线及直线外一点确定一个平面
答案：A
解析：
思路：利用平面的基本性质求解.
解答过程：解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，
所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.
故选：A
3. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：直接利用正弦定理求解即可.
解答过程：由正弦定理得，
所以.
故选：D.
4. 已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（ ）
A. l至多与m，n中的一条相交B. l与m，n均相交
C. l与m，n均平行D. l至少与m，n中的一条相交
答案：D
解析：
思路：根据线线之间的位置关系分析即可.
解答过程：由题意知m与l平行或相交，n与l平行或相交，但直线l与m，n不能同时平行，
若直线l与m，n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾，
所以l与m，n中的一条相交或与m，n都相交.
故选：D.
5. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），画出如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）
+

A. 可以估计该市月均用水量在区间内的居民用户最多
B. 可以估计随着月均用水量的增加，该市居民用户数呈现降低趋势
C. 可以估计该市月均用水量的平均数小于中位数
D. 可以估计该市居民月均用水量的分位数为14.2
答案：C
解析：
思路：根据众数、平均数、中位数、百分位数的定义逐一判断.
解答过程：由众数的定义可知，100户居民月均用水量在区间内的居民用户最多，再由样本估计总体可知，A正确；
由图可知，随着月均用水量的增加，高度呈现降低的趋势，故B正确；
平均数为
，
因为，，则中位数在第二组内，
设中位数为，则，得，
故可以估计该市月均用水量的平均数大于中位数，故C错误；
因为，，
则分位数在第五组内，
设该市居民月均用水量的分位数为，则，
得，故D正确.
故选：C
6. 如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解；
法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解.
解答过程：法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：

依题意可知：，，，
则：，
∴
，，
∴．
故选：D.
法2：∵M，N分别是BC，AC的中点，
∴，．
∵与的夹角等于∠MPN，∴．
∵
，
，
，
∴．
故选：D.
7. 如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
答案：A
解析：
解答过程：在平行四边形中， ，，，
则，，
，
解得，，，所以，．
8. 为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年）后，得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的分位数是（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 12
答案：B
解析：
思路：根据百分位数的定义计算求解.
解答过程：数据从小到大为：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15，且，
则该组数据的分位数是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分．
9. 已知复数，以下结论正确的是（ ）
A.
B. 在复平面内，复数对应的点位于第四象限
C.
D. 是纯虚数
答案：ACD
解析：
思路：根据复数的除法及乘法计算求解判断A，根据复数的乘方计算判断D，应用几何意义判断象限判断B，应用模长公式计算判断C.
解答过程：复数，
则，A选项正确；
在复平面内，复数对应的点位于第二象限，B选项错误；
，C选项正确；
是纯虚数，D选项正确；
故选：ACD.
10. 下列有关复数的结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 是关于的方程的一个根
D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
答案：BCD
解析：
思路：根据复数的基本性质，对各选项进行逐一判断：选项A中表示复数对应的点在单位圆上，但单位圆上的点对应的复数不只有；选项B涉及复数的平方，若，则必须是正实数，进一步判断选项正误；选项C涉及复数方程，代入方程后验证结果是否为0即可；选项D涉及复数的几何意义，模长的范围对应圆环的面积.
解答过程：选项A：若，则是单位圆上的点对应的任意复数，
如，满足，但，故A错；
选项B：设（），则.
若，则必为正实数，需满足：，
若，由，此时，矛盾.
故，即，故B对；
选项C：把代入方程，
则
即等式成立，故是方程的根，故C对.
选项D：复数满足，
其几何意义对应平面直角坐标系中以原点为圆心，内半径为1，外半径为的圆环内的点（包含边界）.
圆环面积为外圆面积减去内圆面积，即，故D对.
故选：BCD.
11. 如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小值为
B.
C. 当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长为
答案：BCD
解析：
思路：当时，BP最小，结合正三角形性质，求得B到直线的距离判断A，根据线面垂直判定定理证明平面，再证明，判断B，由题可得平面，结合锥体体积公式证明三棱锥的体积不变，判断C，证明平面，设与平面交于点，根据锥体体积公式求，根据球的截面的性质可得以点B为球心，为半径的球面与面 的交线即为的内切圆，即可判断D.
解答过程：对于A，当时，BP最小，由于，
所以为边长为的等边三角形，
到直线的距离，故A错误；
对于B，由已知四边形为正方形，所以，
由正方体性质可得平面，又平面，
所以，又平面，，
所以平面，又平面，所以，故B正确；
对于C，由正方体的性质可得，平面，平面，
平面，到平面的距离为定值，

又为定值，则为定值，即三棱锥的体积不变，故C正确；
对于D，因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，
所以，又平面，，
所以平面，又平面，
所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为平面，平面，
所以，又平面，，
所以平面，又平面，
所以，又，，
所以平面，设与平面交于点，
则三棱锥的体积，
又，
，，，
，设以为球心，为半径的球与面交线上任一点为，
，，
在以为圆心，为半径的圆上，

由于为正三角形，边长为 ，其内切圆半径为 ，
故此圆恰好为的内切圆，完全落在面内，
交线长为，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量的夹角为，则__________.
答案：
解析：
思路：利用向量的数量积的定义，求得，再根据，即可求解.
解答过程：因为，，
所以，
所以.
故答案为：.
13. 如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____.

答案：
解析：
思路：在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结果.
解答过程：由题，为等腰直角三角形，作于点，如图，
则绕着直径所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥和，

由半径为2可得圆锥底面圆半径为，圆锥的高为2，
则圆锥的体积为，
半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为，
因此剩余部分所形成的几何体的体积为.
故答案为：.
14. 如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______.
答案：
解析：
思路：根据三点共线的结论可得，进而可得，即可根据数量积的运算律求解.
解答过程：因为，，三点共线，且，所以，所以，所以，
所以，
又，，，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在棱长为1的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点.
（1）计算棱台的体积；
（2）求证：平面平面.
答案：（1）；（2）证明见解析.
解析：
思路：（1）根据棱台的体积公式求解.
（2）连接，则，利用线面平行的判定定理得到平面，同理平面，利用面面平行的判定定理证明.
解答过程：（1）由题可知，，，.
根据棱台的体积公式，可得.
（2）如图所示:
连接，则.
又平面， 平面
所以平面
连接，则.
所以四边形为平行四边形，
所以.
又平面，平面，
所以平面
因为，
所以平面平面.
方法提示：本题主要考查几何体的体积求法以及线面平行和面面平行的判定定理，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.
16. 在直三棱柱中，，，，M为中点，．
（1）证明：平面；
（2）求四面体的体积．
答案：（1）证明见解析；
（2）解析：
思路：（1）连接交于点O，利用线面平行的判定定理推理得证.
（2）求出点到平面的距离，再利用锥体体积公式求解.
（1）在直三棱柱中，连接交于点O，连接，
由为矩形，得O为中点，又M为中点，则，
而平面平面，所以平面.
（2）在平面内过点作于，由平面，得，
而平面，则平面，
在中，，，则，
，由M为中点，得点到平面的距离，
又，所以四面体的体积为.
17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角；
（2）若，且，求的面积．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由正弦定理、三角函数恒等变换的应用化简已知可得，结合，即可求得的值；
（2）结合已知与余弦定理可得，进而可求，利用三角形的面积公式可求的面积.
（1）因为，所以，
所以，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以；
（2）因为，且，所以由余弦定理，
可得，所以，，
所以的面积为．
18. 对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．

（1）写出表中、及图中的值（不需过程）；
（2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数；
（3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01）
答案：（1），，
（2）人
（3）中位数是．
解析：
思路：（1）根据频率分布表求出、、，结合频率分布直方图求出；
（2）由频率估计人数；
（3）根据中位数计算规则计算可得.
（1）由频率分布表可得，，
所以，．
（2）因为该校高三年级学生有人，在上的频率是，
所以估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在此区间上的人数为人．
（3）因为且，
所以中位数在区间上，
因为中位数及前面的数的频率之和为，设样本中位数为，
则，解得．
估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数是．
19. 是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率.
答案：（1），平均值为1.73；
（2）.
解析：
思路：（1）由频率和为1求参数值，根据频率直方图中平均数的求法求平均数即可；
（2）应用分层抽样性质确定不同用户的人数，再由列举法求古典概型的概率即可.
（1）因为，所以.
平均值：.
（2）抽取的6名学生中，“青铜用户”选4名，记为，“铂金用户”选2名，记为，
样本空间，
设事件“这2名学生中恰好有一名是“青铜用户””，则.
因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型.
所以.分组
频数
频率
10
24
2
合计
1
分组
频数
频率
10
24
2
合计
1