2025~2026学年河北省秦皇岛市实验中学高二下册期中考试数学试题【含答案】

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1. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 方程的解集是（ ）
A. B. C. D.
3. 4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
4. 函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从地出发，送货到地，且途经地，要求所走路程最短，共有（ ）种不同的走法．
A. 100B. 80C. 60D. 40
6. 已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，则 （ ）
A. 1B.
C. 2D.
8. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A. B. eC. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ）
A. 在上是增函数
B. 当时，取得最小值
C. 当时，取得极小值
D. 在上是增函数，在上是减函数
10. 若，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 下列说法中正确的是（ ）
A. 平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成30条线段
B. 从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动，至少一名女生被选中共有34种选法
C. 将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，共有150种分配方法
D. 将5个相同的小球，放入编号为1，2，3的盒子中，每个盒子至少放1个球共有25种放法
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.
12. 已知，则的值为___________
13. 若，则__________．
14. 五边形中，若把顶点、、、、染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染的颜色不相同，则不同的染色方法有__________种．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，且直线是曲线的切线．
（1）求的值；
（2）求的单调区间．
16. 某中学为表彰在过去一学期在“德智体美劳”等方面表现突出且优异的同学，特设“为校争光奖”，获得该奖项的一共七名同学，其中3名男生与4名女生.为了纪录下这荣耀时刻，摄影师要求获奖同学进行排队拍照，排队按照下列不同的要求进行，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.
（1）全体站成一排，男生互不相邻；
（2）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端；
（3）若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面.
17. 已知函数 在 处取得极大值10．
（1）求的值；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
18. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.
（1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；
（2）求展开式中所有的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项.
19. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，在恒成立，求的取值范围.
数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误．
2. 方程的解集是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：，根据组合数的定义，应满足：，解得：，
又因为，则或，即：或，
所以或，方程的解集为.
3. 4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
答案：B
解析：
思路：直接根据乘法原理计算得到答案.
解答过程：每个学生有3种选择，根据乘法原理共有种不同方法.
故选：.
方法提示：本题考查了乘法原理，属于简单题.
4. 函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：求得函数的导数，计算出和的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.
解答过程：，，，，
因此，所求切线的方程为，即.
故选：B.
方法提示：本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
5. 如图所示，某地有南北街道6条、东西街道5条，一快递员从地出发，送货到地，且途经地，要求所走路程最短，共有（ ）种不同的走法．
A. 100B. 80C. 60D. 40
答案：D
解析：
思路：考虑小矩形的横边和直边，例如从到的最短距离就是从2个横边加3个直边共5条线段，不同的方法就是什么时候走直边什么时候走横边，由组合知识可得不同的方法数，根据分步乘法计数原理可得．
解答过程：分两步，第一步从到的最短距离的走法有，第二步从到的最短距离走法有，由分步乘法计数原理得，总方法数为．
故选：D．
6. 已知，，，则，，的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：构造函数，根据单调性比较大小即可.
解答过程：令，则，，，
而且，
即时单调增，时单调减，
∵，则.
故选：A.
7. 已知函数，则 （ ）
A. 1B.
C. 2D.
答案：A
解析：
思路：由求导公式结合题设可得答案.
解答过程：函数，则，再令，得，化简得，
8. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A. B. eC. D.
答案：C
解析：
思路：根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
解答过程：依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ）
A. 在上是增函数
B. 当时，取得最小值
C. 当时，取得极小值
D. 在上是增函数，在上是减函数
答案：CD
解析：
思路：
根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.
解答过程：根据图象知当，时，，函数单调递减；当，时，，函数单调递增.故A错误，D正确；当时，取得极小值，C正确；当时，不是取得最小值，B错误.
故选：CD
10. 若，，则（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：ABD
解析：
思路：根据给定条件，利用二项式定理及赋值法逐项分析、计算判断作答.
解答过程：因，则，A正确；
展开式的通项，，当为奇数时，，当为偶数时，，
则，B正确；
，而，则，C不正确；
，而，则，D正确.
故选：ABD
11. 下列说法中正确的是（ ）
A. 平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成30条线段
B. 从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动，至少一名女生被选中共有34种选法
C. 将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，共有150种分配方法
D. 将5个相同的小球，放入编号为1，2，3的盒子中，每个盒子至少放1个球共有25种放法
答案：BC
解析：
思路：A选项，利用组合知识得到答案；B选项，按照选出的女生人数，分三种情况，进行求解，再相加得到答案；C选项，5名工人分为2,2,1或3,1,1，结合部分平均分组的方法求出两种情况下的分配方法，相加得到答案；D选项，采用隔板法进行求解.
解答过程：A选项，平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成条线段，A错误；
B选项，从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动，
其中选出1名女生，2名男生的选法有种，
选出2名女生，1名男生的选法有种，
选出3名女生的选法有种，
故至少一名女生被选中共有种选法，B正确；
C选项，将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，
故5名工人分为2,2,1或3,1,1，
若5名工人分为2,2,1，则有种分配方法，
若5名工人分为3,1,1，则有种分配方法，
综上，共有种分配方法，C正确；
D选项，可考虑隔板法，由于每个盒子至少放1个球，
所以5个相同的小球排成一排，5个小球之间共有4个空，插入2个挡板，
故有种方法，D错误.
故选：BC
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分.
12. 已知，则的值为___________
答案：18
解析：
思路：由排列数公式，代入运算即可得解.
解答过程：因为，
所以，
则.
故答案为： .
13. 若，则__________．
答案：4
解析：
解答过程：根据导数的定义可得 ，
由可得，可得，
即．
14. 五边形中，若把顶点、、、、染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染的颜色不相同，则不同的染色方法有__________种．

答案：30
解析：
解答过程：分析：本题需要分类来解答，首先A选取一种颜色，有3种情况．如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况，这时最后两个边也有2种情况；如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况，最后两个边有3种情况．根据计数原理得到结果．
详解：由题意知本题需要分类来解答，
首先A选取一种颜色，有3种情况.
如果A的两个相邻点颜色相同，2种情况；
这时最后两个边也有2种情况；
如果A的两个相邻点颜色不同，2种情况；
这时最后两个边有3种情况.
∴方法共有3(2×2+2×3)=30种.
点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，且直线是曲线的切线．
（1）求的值；
（2）求的单调区间．
答案：（1）
（2）单调递增区间，单调递减区间．
解析：
（1），设直线与曲线相切于点，，
所以，解得．
将代入切线方程，可得，所以切点坐标为，
因为切点在曲线上，所以，解得．
（2）的定义域为，，
令，解得；令，解得，
所以单调递增区间为，单调递减区间为．
16. 某中学为表彰在过去一学期在“德智体美劳”等方面表现突出且优异的同学，特设“为校争光奖”，获得该奖项的一共七名同学，其中3名男生与4名女生.为了纪录下这荣耀时刻，摄影师要求获奖同学进行排队拍照，排队按照下列不同的要求进行，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.
（1）全体站成一排，男生互不相邻；
（2）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端；
（3）若排成一排照，其中甲不站最左面，乙不站最右面.
答案：（1）1440
（2）960 （3）3720
解析：
思路：（1）不相邻问题采用插空法求解即可；
（2）甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，求解即可；
（3）采用间接法，先不考虑条件限制所有人全排，然后减去不符合题意的求解即可.
（1）先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，
由乘法原理共有种排法.
（2）若排成一排照，甲、乙必须相邻，且不站两端，则采用插空法，
将其余的5人排好，5人中间有4个空，把甲乙当做一个整体插入，方法有种.
（3）不考虑条件限制所有人全排有，
除去甲站在最左面有：，乙站在最右面有：；
其中甲站在最左面和乙站在最右面算了2次，补上一次；
总的方法为：.
17. 已知函数 在 处取得极大值10．
（1）求的值；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
答案：（1）；
（2）最大值为10，最小值为2.
解析：
思路：（1）求导，即可根据函数值以及导数值列方程求解，
（2）根据函数的单调性，求解极值以及端点处函数值，即可作答.
（1），
故且，解得，
则，
令，则，
当时，，当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故在处取到极大值，故满足题意.
（2）由（1）知：在和单调递增，在单调递减，
且极大值为, 极小值为，又因为
故函数 在区间 上的大值为10，最小值为2.
18. 若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为.
（1）求展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；
（2）求展开式中所有的有理项；
（3）求展开式中系数最大的项.
答案：（1）
（2）.
（3）第4项和第5项
解析：
思路：（1）先根据题意求出的值，再求出展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和即可；
（2）求出展开式的通项公式求解，令为整数即可；
（3）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果.
（1）由题，可得，即，即，又，所以，
令，得，故系数和为，各项的二项式系数和为，
故展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为.
（2）因展开式的通项公式为，，
当时，为整数，即，，，
所以展开式的有理项为.
（3）因为展开式的通项公式为，，
设展开式中第项的系数最大，则，
即，解得或，
故展开式的第4项和第5项的系数最大，
又，，
所以展开式系数最大的项为第4项和第5项.
19. 已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，在恒成立，求的取值范围.
答案：（1）
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，的在单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）解析：
思路：（1）利用导数讨论含参函数的单调性，令、即可求解；
（2）由（1）可得，利用二阶导数讨论可知在上单调递减，且，解不等式即可求解.
（1）由，，，
求导得.
当，由，解得或；由，解得.
当时，恒成立.
当时，由，解得或；由，解得.
综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，的在单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，函数在单调递减，在单调递增，
所以.
令，，得.
令，，得，
所以在单调递减，得，
所以.所以在上单调递减.
因为且，所以，
则，所以a的取值范围为.