湖北省襄阳部分学校2025_2026学年高二数学上学期12月质量检测试卷含解析

这是一份湖北省襄阳部分学校2025_2026学年高二数学上学期12月质量检测试卷含解析，共14页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 已知椭圆等内容，欢迎下载使用。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第三章.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 点关于xOy平面的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间点关于平面的对称点特点即可得到答案.
【详解】点关于xOy平面的对称点是，
所以点关于xOy平面的对称点的坐标为．
故选：C．
2. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义进行求解即可.
【详解】因为椭圆方程为，
所以，所以.
所以焦点坐标为.
故选：C.
3. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量的线性运算可得结果.
【详解】.
故选：A.
4. 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，，则点M到直线的距离为（ ）
A. 7B. 6C. 5D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线方程定义即可得到答案.
【详解】因为点在上，，所以点到的准线的距离为5，
所以点到直线的距离为7．
故选：A．
5. 已知圆与圆相交，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两圆相交的判断方法得到不等式组，解出即可.
【详解】由题知圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，．
若圆和圆相交，则，解得或．
故选：C．
6. 已知点到直线和的距离之积为3，记的轨迹为曲线，则（ ）
A. 是两条互相垂直的直线B. 是焦点在轴上的椭圆
C. 是离心率为2的双曲线D. 上的点与原点之间的距离不小于2
【答案】D
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式，结合已知条件，得到轨迹方程，对各选项分析即可.
【详解】设点，由题意知，即，
故点的轨迹为和，
这两个方程分别表示焦点在轴和轴上的双曲线，离心率分别为和2，故A，B，C均错误；
因为双曲线上的点到原点的距离不小于双曲线的顶点到原点的距离，
两个双曲线的顶点坐标分别为和，所以C上的点与原点之间的距离不小于2，D正确．
故选：D．
7. 已知椭圆（且）与直线相交于A，B两点，且线段AB的中点的横坐标为1，则（ ）
A 1B. 2C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】利用点差法得到关于的方程，解出后验证即可.
【详解】设，两点的坐标分别为，，则，
又两式作差得，
故，所以，解得．
此时椭圆方程为，联立直线方程有，
，则此时直线与椭圆有两个交点，符合题意.
故选：B．
8. 已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果.
【详解】由，得，
所以．
由四点共面，知，解得．
又，，
∵，
∴
．
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线l过点，且与圆相切，则直线l的方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先分析直线斜率不存在情况，再设点斜式，根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出即可.
【详解】由题知圆的圆心为，半径为2．
①当直线的斜率不存在时，直线与圆相切，满足题意；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得，
所以直线的方程为．
综上直线的方程为或．
故选：AC．
10. 已知椭圆的长轴长为4，短轴长为2，，分别是C的左、右焦点，过点的直线与C交于A，B两点（异于C的左、右顶点），则（ ）
A. C的方程为B. 的周长为8
C. 的最大值为6D. 当A为C的上顶点时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】对A，根据椭圆长轴和短轴的定义即可得到椭圆方程，对B，根据椭圆定义即可判断；对C，根据基本不等式即可判断；对D利用椭圆定义和余弦定理即可得到弦长.
【详解】对A，由题知，，即，，所以的方程为，A正确；
对B，的周长为，B正确；
对C，由题知，所以（当且仅当时取等号），C错误；
对D，当为椭圆的上顶点时，2，设，则，
，则，则，
在中，由余弦定理，得，解得，
所以，D正确．
故选：ABD．

11. 如图，在棱长为2的正方体中，点P是底面正方形ABCD内的动点（包括边界），则（ ）
A. 当P，B，C不共线时，三棱锥体积的最大值为1
B. AB与所成角的最小值为
C. 当与底面ABCD所成的角为时，BP的最小值为
D. 当时，点P的轨迹长度为
【答案】BC
【解析】
【分析】建立合适的空间直角坐标系，分析出面积最大时，三棱锥体积最大即可判断A；根据线线角的向量表示并结合函数单调性即可判断B；找到点的轨迹即可得到最小值；根据计算得，则得到其轨迹长.
【详解】对A，如图，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
设点的坐标为，则．
当点在上时，的面积最大，为，
所以三棱锥体积的最大值为，A错误；
对B，，
又，
所以，
当，时取等号，所以与所成角的最小值为，B正确；
对C，连接，由平面，知为与底面所成的角．
由，得，所以点在以点为圆心，2为半径的圆上，
所以的最小值为，C正确；
对D，由，得，整理得，令，则，令，则，
所以点的轨迹长度为，D错误．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，若，则________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求得答案.
【详解】由，知，所以．
故答案为：4
13. 已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求解点关于直线的对称点，再根据即可求解答案.
【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即，
则．
故答案为：
14. 如图，双曲线：的左焦点为，过原点的直线与交于，两点（点位于第二象限），为的中点，直线为的一条渐近线，且，则直线的方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的对称性及中点，得到，结合为的一条渐近线，得到，进而得到，最后在中利用余弦定理得到、之间的关系，最后求出渐近线方程.
【详解】设的右焦点为，连接，.
因为，分别是，的中点，所以．
又直线是的一条渐近线，所以，故．
由双曲线的对称性，得．
由，得．
又，所以，．
在中，由余弦定理得，整理得，
所以，，所以直线方程为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知双曲线．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若C的离心率为，求实数m的值．
【答案】（1）
（2）或2
【解析】
【分析】（1）根据双曲线标准方程，可知，即可得答案.
（2）分别讨论和两种情况，根据离心率公式，代入数据，即可得答案.
【小问1详解】
由双曲线的标准方程，知，解得或，
所以实数m的取值范围是.
【小问2详解】
①当时，，解得；
②当时，双曲线C的标准方程为，
则，解得．
故实数m的值为或2．
16. 已知圆M经过三点，，，O为坐标原点．
（1）求圆M的标准方程；
（2）过原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）假设圆的一般方程，代入三点坐标即可得到方程，再转化为标准圆方程即可；
（2）首先验证斜率不存在的情况，再设，根据弦长公式得到方程，解出即可.
【小问1详解】
设圆的一般方程为，其中，
代入，，三点的坐标，得
解得.
所以圆的一般方程为，故圆的标准方程为．
【小问2详解】
若直线的斜率不存在，令，得，
则直线被圆截得的弦长为，不合题意；
直线的斜率存在，设直线的方程为，
由直线被圆截得的弦长为，得圆心到直线的距离为，
即，解得，
故直线的方程为或．
17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面，，，，，点M满足．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的平面角的大小；
（3）求点A到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，交于点，连接．由线段成比例得到线线平行，然后得到线面平行；
（2）由空间中三条线两两垂直建立空间直角坐标系，然后得到点坐标和向量坐标，由空间向量的数量积求得两个平面的法向量，由法向量的数量积求得面面角；
（3）由（2）中结论求向量在平面法向量上的投影长，从而得到点到面的距离.
【小问1详解】
如图，连接，交于点，连接．
因为，，则，故．
又，所以．
因为平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
∵平面，平面，平面，
∴，，
又∵，，∴
故以为原点，分别以直线，，为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
于是，，，
设平面的一个法向量为，
则，故可取，
设平面的一个法向量为，
则故可取，
因，
而，则，
由图知，平面与平面所成二面角为钝二面角，
故该二面角的平面角应为．
【小问3详解】
由（2）知，平面的一个法向量为，
故点到平面的距离为．
18. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且，O为坐标原点．
（1）求C的方程；
（2）若直线与C的准线交于点P，过点P作直线交C于M，N两点，且直线与的倾斜角互补．
（ⅰ）求直线所过定点的坐标；
（ⅱ）证明：A，B，M，N四点共圆．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）直线过定点；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设直线的方程为，联立抛物线方程得到韦达定理式，再代入向量数量积的坐标表示式即可得到方程，解出即可；
（2）（i）求出的坐标为，再根据倾斜角和斜率关系得直线的方程，化简即可得到定点；
（ii）联立方程得到方程，计算直线与直线的斜率乘积得其互相垂直，则得到点的轨迹即可证明四点共圆.
【小问1详解】
由题知，设两点的坐标分别为，
显然直线的斜率为0时不合题意，则设直线的方程为，
联立方程消去整理得，
则，，，
所以，
所以，解得，
所以的方程为．
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）知的准线方程为，直线的方程为，
令，得，即点的坐标为，
由直线的斜率为，直线与直线的倾斜角互补，知直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
故直线过定点．
（ⅱ）设点的坐标为．
联立方程消去后整理得，故，
由（1）知，，
直线的斜率为，同理可得直线的斜率为．
又，
所以直线与直线互相垂直，故点在以线段为直径的圆上，
同理可得点在以线段为直径的圆上，
故，，，四点共圆．

19. 如图，在直三棱柱中，，，点M，N分别是，的中点，点P是线段BM上的点．

（1）证明：；
（2）求三棱柱体积的最大值；
（3）当三棱柱的体积取得最大值时，求直线AP与所成角的余弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）通过证明平面即可求解；
（2）设，，进而得到，再根据三棱柱的体积即可求解；
（3）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设，进而得到，再令进行换元求解范围即可．
【小问1详解】
证明：在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，
所以．
又，，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
【小问2详解】
解：设，，则，
则，当且仅当时，等号成立．
则三棱柱的体积，
所以三棱柱的体积的最大值为．
【小问3详解】
由（2）知当三棱柱的体积取得最大值时，，
以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，，
设，则，
所以．
令，
则．
令，
因为，所以，所以，，
所以直线AP与所成角的余弦值的取值范围为．