湖北省襄阳市2025-2026学年下学期阶段检测高二数学试卷含答案

这是一份湖北省襄阳市2025-2026学年下学期阶段检测高二数学试卷含答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在等比数列 an 中, a2024=2,a2028=8 ,则 a2026 等于( )
A. 6 B. -4 C. 4 D. ±4
2. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是( )
A. x28+y27=1 B. x27+y26=1 C. x26+y27=1 D. x26+y25=1
3. 已知双曲线 C:x29−y2b2=1 b>0 的两条渐近线的倾斜角均大于 π6 ,则双曲线 C 的一个焦点到其中一条渐近线的距离的取值范围是( )
A. 43,+∞ B. 3,+∞ C. 23,+∞ D. 33,+∞
4. 已知椭圆 x26+y29=1 的上下焦点为 F1、F2 ,点 P 在椭圆上运动,则 △PF1F2 的面积的最大值为( )
A. 32 B. 23 C. 6 D. 9
5. 下列关于空间向量的命题中正确的是( )
A. 已知两个向量 a=1,12,2,b=2,1,4 ，则 a 与 b 的夹角为锐角
B. 已知过点 A1,2,3 的平面 α 的法向量为 n=0,1,−1 ,则点 P2,−1,3 到平面 α 的距离为 522
C. 若 a,b,c 是空间的一组基底,则 a+2b,3b+c,a+5b+c 也是空间的一组基底
D. 已知 a=1,2,3,b=0,1,−1 ,则 a 在 b 上的投影向量坐标为 0,−12,12
6. 吹气球时,气球的体积 (单位: L ) 和表面积 (单位: dm2 ) 都随着气球的半径变化而变化. 当气球的半径为 1dm 时,气球的体积关于表面积的瞬时变化率为 (气球看作球体) ( )
A. π4π B. 4π C. 12 D. 1
7. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,前 n 项积为 Tn ,若 Sn=2an−12047 ,当 Tn 取最小值时, Sn = ( )
A. 10232047 B. 1 C. 2 D. 40952047
8. 若关于 x 的方程 4−x2−tx4−2t2025=1 有且仅有两个不同的实数根，则实数 t 的取值范围为 ( )
A. 0,34 B. 34,+∞ C. 34,1 D. 34,1
二、多项选择题 (共 3 小题, 每小题 6 分, 共计 18 分. 在每小题给出的四个选 项中, 至少有两个是符合题目要求的, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有错选得 0 分)
9. 下列求导运算错误的有( )
A. π2026′=2026π2025 B. xex′=1−xex
C. cs4x−5′=−4sin4x−5 D. x3lg2x′=3x2lg2x+x2ln2
10. 已知抛物线 C:y2=2px p>0 ,过抛物线焦点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点, O 为坐标原点,数量积 OA⋅OB 为定值-12,则下面说法正确的是 ( )
A. p=4
B. 以线段 AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切
C. 若 AF=3FB ,则直线 l 的倾斜角为 30∘ 或 150∘
D. 若 D 是线段 AB 的中点，则当直线 OD 的斜率最大时，弦长 AB=12
11. 若数列 an 的前 n 项和为 Sn ,首项 a1=2 ,且满足 an+1+an=2×3n ,则下列说法正确的是( )
A. S11=96−14 B. an−3n 是等比数列
C. 当 n 为偶数时, an=3n−12 D. 数列 nan 的前 n 项和为 Tn ,则T9=17⋅310+134
三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分. 请把答案填写在答题卡相应 位置上)
12. 已知 O 为空间中任意一点, A,B,C,D 四点共面且任意三点均不共线,若 OD=λOA−27OB+μOCλ,μ∈R ，则 λ+μ 的值为_____.
13. 正项数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 S5=20,S10=50 ,若直线 l :
3x+4y+an−1+an+1−3=0n∈N∗ 与圆 C:x−12+y2=425an2an>0 相切,则 S15= _____.
14. 已知椭圆 C:x23+y2=1 ,过点 P−2,0 的两条直线 l1 与 l2 ,其中 l1 与椭圆 C 相切于 A 点， l2 与椭圆 C 相交于 M 、 N 两点， OD⊥l2 于点 D ，则 PA⋅PD 的最大值为_____.
四、解答题(本大题共 5 小题, 共计 77 分. 请在答题卡指定区域内作答. 解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. 已知直线 l1 为曲线 y=83x3−113 在点 M−12,−4 处的切线,直线 l2 的倾斜角与直线 l1 的倾斜角互补,原点在直线 l2 斜上方且到 l2 的距离为 55 .
(1)求直线 l1 和直线 l2 的方程；
(2)已知直线 l3 在 x 轴和 y 轴上的截距互为相反数，且直线 l3 经过直线 l1 与直线 l2 的交点，求直线 l3 的方程.
16. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn+1=Sn+an+1 ,其中 a2,a5,a11 成等比数列,数列 bn 满足 bn=2an .
(1)求证:数列 bn 为等比数列；
(2)已知数列 cn 满足 cn=bnbn+1bn+1+1+1anan+1 ， cn 的前 n 项和为 Tn ，若 Tn0 可知渐近线方程为 y=±b3x ,
若双曲线 C 的两条渐近线的倾斜角均大于 π6 ,则 b3>33 ,即 b>3 ,
而双曲线的焦距到其中一条渐近线的距离为 b ,所以取值范围是 3,+∞
4. A
由题知, a=3,b=6,c=3 ,当 P 在短轴顶点时 △PF1F2 的面积最大值为 32
5. D
对于 A ,由 a//b 知夹角为0,故 A 错误;
对于 B ,可由点到平面的距离公式求得 322 ,故 B 错误;
对于 C,a,b,c 是空间的一组基底,而 a+5b+c=a+2b+3b+c ,
即 a+2b,3b+c,a+5b+c 是共面向量,故 a+b,b+c,a+2b+c 不是空间的一组基底, 即 C 错误.
对于 D ,由 a 在 b 上的投影向量为 a⋅bb2=−120,1,−1=0,−12,12 ,故 D 正确.
6. C
易得气球的体积 V 与面积 S 的函数解析式为 V=S326π ,
记 fS=S326π ,求导得 f′S=S4π ,当气球半径 r=1 时,
S=4π, f′4π=12 . (选择性必修第二册 70 页练习第 4 题改编)
7. B
由 Sn=2an−12047 得 Sn−1=2an−1−12047n≥2,n∈N∗ ,
两式相减整理得 an=2an−1n≥2,n∈N∗ ,又易得 a1=12047≠0 ,
故 an 是等比数列,且 an=2n−12047 . 当 n=11 时, an1 ,所以 n=11 时, Tn 取最小值时,此时 Sn=S11=1 . (源自选择性必修第二册 40 页练习第 3 题和 41 页第 10 题)
8. D
将方程 4−x2−tx4−2t2025=1 转化为方程 4−x2−tx−4+2t=0 ,
再转化为: 半圆 y=4−x2 与直线 y=tx+4−2t 有两个不同交点.
当直线与半圆相切时,有 4−2tt2+1=2,t=34 ,
∴ 半圆 y=4−x2 与直线 y=tx+4−2t 有两个不同交点时,
直线 y=tx+4−2t=tx−2+4 一定过 2,4 ,
由图象知直线过 −2,0 时直线的斜率 t 取最大值为 1,∴t∈34,1 .
9. AD
π2026′=0 , A 选项错误;
xex′=ex−xexex2=1−xex,B 选项正确;
cs4x−5′=−4sin4x−5,C 选项正确；
x3lg2x′=3x2lg2x+x31xln2=3x2lg2x+x21ln2 , D 选项错误.
10. ABD
设 A,B 两点的坐标为 Ax1,y1,Bx2,y2 ,
直线 AB 的方程为 x=my+p2 . 联立方程 y2=2pxx=my+p2 ,
消去 x 后整理为 y2−2pmy−p2=0 ,显然有 Δ=4p2m2+4p2>0 ,
则 y1+y2=2pm,y1y2=−p2 ,可得 x1x2=y12y224p2=p24 .
对于 A ,由 OA⋅OB=x1x2+y1y2=p24−p2=−3p24=−12 ,解得 p=4 ; A 正确
对于 B ,因为线段 AB 的中点到准线的距离 d=AB2 ,
而以线段 AB 为直径的圆的半径为 AB2 ，所以以线段 AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切， 所以 B 正确,
对于 C ,当倾斜角 θ 为锐角时, AF=p1−csθ,FB=p1+csθ ,由 AF=3FB ,
p1−csθ=3⋅p1+csθ ,解得 csθ=12 ,故直线 l 的倾斜角 θ=60∘ 或 120∘,C 错误
对于 D ,由上面知 x1+x2=my1+y2+4=8m2+4,y1+y2=8m ,
线段 AB 的中点 Dx1+x22,y1+y22 即 D4m2+2,4m ,
可得直线 OD 的斜率为 k=2m2m2+1 ,显然当 m>0 时, k 方能取最大值;
故 k=2m2m2+1=22m+1m≤222=22 (当且仅当 m=22 时取等号)
此时 D4,22,D 点到准线的距离为 d=4−−2=6 ,弦长 AB=2d=12 ,故 D 正确.
11. AC
A 答案, S11=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11 =2+232+34+36+38+310=96−14
B 和 C 答案,参照教材 39 页例 12 的构造法、待定系数法求数列通项公式.
由 an+1+an=2×3n 得 an+1−3n+12=−an−3n2 ,易得 an−3n2 是等比数列,
an=3n+−1n−12 . 当 n 为偶数时, an=3n−12, B 错, C 对
D 答案, nan=n⋅3n2+−1n−1⋅n2 ,数列 n⋅3n2 用错位相减求和,
数列 −1n−1⋅n2 用并项求和,分别求和再相加得到 D 答案是错误的. (选择性必修第二册 41 页第 7 题改编)
12. 97
由空间向量基本定理, λ−27+μ=1 ,所以 λ+μ=97
13. 90
圆 C 的圆心为 1,0 ,半径 r=25an ,由直线与圆相切得 an−1+an+15=25an ,
即 2an=an−1+an+1 ,所以 an 为等差数列. 在等差数列 an 中,
S5,S10−S5,S15−S10 成等差数列,所以 2S10−S5=S5+S15−S10 ,
则 2×50−20=20+S15−50 ,即 S15=90 .
14. 1+22
如图,设直线 PA 的方程为: y=kx+2k