湖北省襄阳市2025-2026学年高二下学期阶段检测数学试卷（Word版附解析）

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个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1. 在等比数列 中， ，则 等于（ ）
A. 6 B. －4 C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【详解】设公比为 q，由 ，得 ，解得 ，
所以 .
2. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的图形性质，由离心率 的值的大小比较即得.
【详解】由椭圆性质知，椭圆的离心率 的值越小，其形状越接近于圆，
离心率的平方 ，其中 分别为椭圆的半长轴和半短轴的长.
对于 A， ；
对于 B， ；
对于 C， ；
对于 D， .
显然 ，故椭圆 的形状最接近于圆．
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3. 已知双曲线 C： 的两条渐近线的倾斜角均大于 ，则双曲线 C 的一个焦点到其中一
条渐近线的距离的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由双曲线 C： 可知渐近线方程为 ，
若双曲线 C 的两条渐近线的倾斜角均大于 ，则 ，即 ，
而 ，则双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为 ，
所以双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离的取值范围是 .
4. 已知椭圆 的上下焦点为 ，点 P 在椭圆上运动，则△ 的面积的最大值为（ ）
A. B. C. 6 D. 9
【答案】A
【解析】
【详解】由椭圆方程 可知，椭圆的焦点在 轴上，且 ，
解得 ，
当 在短轴顶点时 的面积最大，
最大值为 .
5. 下列关于空间向量的命题中正确的是（ ）
A. 已知两个向量 ， ，则 与 的夹角为锐角
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B. 已知过点 的平面 的法向量为 ，则点 到平面 的距离为
C. 若 是空间的一组基底，则 也是空间的一组基底
D. 已知 ， ，则 在 上的投影向量坐标为
【答案】D
【解析】
【分析】根据 可判断 A；根据点到平面距离向量法计算可判断 B；根据空间向量基本定理可判断 C；
根据投影向量计算公式计算可判断 D.
【详解】A，因为 ，所以 ，故 与 的夹角为 ， 错误；
B，由题意可得 ，所以点 到平面 的距离为 ，错误；
C， 是空间的一组基底，而 ，
即 是共面向量，故 不是空间的一组基底，错误．
D，由 在 上的投影向量为 ，正确．
6. 吹气球时，气球的体积（单位：L）和表面积（单位： ）都随着气球的半径变化而变化．当气球的
半径为 1dm 时，气球的体积关于表面积的瞬时变化率为（气球看作球体）（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】求出气球的体积 与面积 的函数解析式并求导，结合导数的几何意义求解即可.
【详解】气球的体积 ，表面积 ，
所以气球的体积 与面积 的函数解析式为 ，
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记 ，则 ，
当气球半径 时， ．
当气球的半径为 1dm 时，气球的体积关于表面积的瞬时变化率为 .
7. 已知数列 的前 n 项和为 ，前 n 项积为 ，若 ，当 取最小值时， ＝（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用数列 的前 项和 与 的关系求得 和 ，再根据 确定 的值，即
得 .
【详解】由 得：
，
两式相减整理得 ，
又易得 ,
故 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，
所以 ， ，可知 ，
则 ，即当 时， 取得最小值.
因为当 时， ；当 时， ，
所以 时， 取最小值，此时 ．
8. 若关于 x 的方程 有且仅有两个不同的实数根，则实数 t 的取值范围为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得方程 有且仅有两个不同的实数根，将方程根的情况转化为一
个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况.
【详解】将方程 转化为方程 ，
再转化为：半圆 与直线 有两个不同交点．
当直线与半圆相切时，有 ， ，
∴半圆 与直线 有两个不同交点时，
直线 ，即 一定过点 ，
由图象知直线过 时直线的斜率 t 取最大值为 1，∴ ．
二、多项选择题（共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分．在每小题给出的四个选项中，至少有
两个是符合题目要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分）
9. 下列求导运算错误的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
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【分析】对于 A：根据常函数的导数即可得结果；对于 BD：根据导数的四则运算法则求解即可；对于 C：
根据复合函数的导数运算求解.
【详解】对于选项 A： ，故 A 错误；
对于选项 B： ，故 B 正确；
对于选项 C： ，故 C 正确；
对于选项 D： ，故 D 错误．
10. 已知抛物线 ，过抛物线焦点 的动直线 与抛物线 交于 、 两点， 为坐标
原点，数量积 为定值 ，则下面说法正确的是（ ）
A.
B. 以线段 为直径的圆与该抛物线的准线相切
C. 若 ，则直线 的倾斜角为 或
D. 若 是线段 中点，则当直线 的斜率最大时，弦长
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析可知直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ，将该直线方程与抛物线方程
联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算与韦达定理可求得 的值，可判断 A 选项；利用抛
物线的定义可判断 B 选项；利用平面向量的坐标运算得出 ，结合韦达定理可求得 的值，可求出
直线 的斜率，可得出该直线的倾斜角，可判断 C 选项；求出点 的坐标，利用基本不等式可求出直线
的斜率的最大值，求出 的值，利用抛物线的焦点弦长公式求出 的值，可判断 D 选项.
【详解】设点 、 ，易知点 ，
若直线 与 轴重合，直线 与抛物线 只有一个交点，不合题意，
所以直线 不与 轴重合，设直线 的方程为 ．
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联立方程 ，消去 后整理为 ，
显然有 ，
则 ， ，可得 ．
对于 A，由 ，解得 ，A 正确；
对于 B，因为线段 的中点为 到准线的距离为
，
而以线段 为直径的圆的半径为 ，
所以以线段 为直径的圆与该抛物线的准线相切，B 正确；
对于 C，易知点 ，由 ， ，
由 ，所以 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
，解得 ，
所以直线 的斜率为 ，故直线 的倾斜角为 或 ，C 错误；
对于 D，由上面分析知 ， ，
线段 的中点 即 ，
可得直线 的斜率为 ，显然当 时， 方能取最大值；
故 （当且仅当 时取等号），
此时 ，则 ，故 D 正确．
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11. 若数列 的前 项和为 ，首项 ＝2，且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是等比数列
C. 当 n 为偶数时， D. 数列 的前 项和为 ，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据等比数列通项公式、前 项和公式，结合构造法、错位相减法、并项求和法求解判断即可.
【详解】选项 A：
，故 A 正确.
选项 B：由 ， ，所以 ， ，
可得 ， ， ，
所以 ，
所以 不是等比数列，故 B 错误.
选项 C：由 ， ，
可得 ，又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 ．
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当 n 为偶数时， ，故 C 正确.
选项 D：由选项 C 可知， .
所以
.
令 ，则
所以 ，
所以 .
，
所以 ，故 D 错误.
三、填空题（共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
12. 已知 O 为空间中任意一点，A，B，C，D 四点共面且任意三点均不共线，若
，则 的值为______．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 根 据 空 间 向 量 共 面 定 理 ， 若 A， B， C， D 四 点 共 面 ， 则 ， 且
，从而得到方程，解得即可.
详解】 ，
由空间向量共面定理， ，所以 .
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13. 正项数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，若直线 l：
与圆 C： 相切，则 ＝______．
【答案】90
【解析】
【分析】根据直线 l 与圆 C 相切可得 ，进而分析可知数列 为等差数列，结合等差数
列的前 n 项和性质列式求解即可.
【详解】因 为正项数列，则圆 C： 的圆心为 ，半径 ，
圆心 到直线 的距离 ，
由直线 l 与圆 C 相切，可得 ，即 ，
故数列 为等差数列，则 ， ， 也成等差数列，
即 ，
故 .
14. 已知椭圆 C： ，过点 的两条直线 与 ，其中 与椭圆 C 相切于 A 点， 与椭圆
C 相交于 M、N 两点， 于点 D，则 的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设直线 PA 的方程为 ，与椭圆联立求出 ，可得 ，设
，结合平面向量的数量积的定义及三角恒等变换公式化简可得
，进而结合余弦函数的性质求解即可.
【详解】如图，不妨设直线 PA 方程为 ，
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联立 ，得 ，
由 ，解得 ，
则 ，解得 ，则 ，
即 ，直线 PA 的方程为 ，
则 ，
此时 ，设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值 .
四、解答题（本大题共 5 小题，共计 77 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知直线 为曲线 在点 处的切线，直线 的倾斜角与直线 的倾斜角互补，
原点在直线 斜上方且到 的距离为 ．
（1）求直线 和直线 的方程；
（2）已知直线 在 轴和 轴上的截距互为相反数，且直线 经过直线 与直线 的交点，求直线 的方程．
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【答案】（1） ， ；
（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得直线 ，根据点到直线的距离公式结合题意计算可得直线 ；
（2）先求得直线 与直线 的交点，分直线 过原点与直线 不过原点两种情况求解即可.
【小问 1 详解】
，求导可得 ，
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
设直线 的斜率为 ，因为倾斜角互补，所以 ，
所以设直线 的方程为 ，即
原点到直线的距离 ，解得 ，
因为原点在直线的斜上方，所以 ，故直线 的方程为 ；
【小问 2 详解】
联立 ，得 ，所以直线 与 的交点坐标为 ．
当直线 过原点时，直线 的方程为 ．
当直线 不过原点时，设 的直线方程为 ，将 代入解得 ．
可求得直线 的方程为 ，
综上，直线 的方程为 或 ．
16. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ，其中 成等比数列，数列 满足
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．
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）已知数列 满足 ， 的前 n 项和为 ，若 对 恒成
立，试求实数 的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）借助 与 关系可得数列 为公差为 1 的等差数列，再借助等比数列性质可得 ，即可
求出数列 的通项公式，从而可得数列 的通项公式，再利用等比数列定义即可证明；
（2）借助裂项相消法计算即可得解.
【小问 1 详解】
，所以 ，
即 ，所以数列 是首项为 ，公差为 1 的等差数列，
由 成等比数列，得 ，解得 ，
所以 ，
由 ，则 ，且 ，所以数列 等比数列；
【小问 2 详解】
，
，
则
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，
由 对 恒成立，得 ．
17. 在台海军事防御演习中，以雷达监测指挥站 A 为坐标原点建立平面直角坐标系．监测站 B 在 A 北偏东
30°方向 千米处，监测站 E 在 A 正东 千米处．现划定的圆形警戒区域恰好过 A、B、E 三点．
（1）求圆形警戒区域圆的标准方程；
（2）警戒区域外的可疑船只 D 在 A 西偏南 45°方向 千米处，正沿北偏东 60°方向匀速航行，试问该船
是否会进入警戒区域？
（3）有一条从距 A 点正西 8 千米的补给基地 P 出发，向北偏东 30°延伸的海上补给线，为全方位监控补给
线安全，要在补给线上安装一个雷达监控装置，使它向警戒区域圆发射雷达波（看作向圆作两条切线）的
张角最大，以覆盖更大警戒区域边缘，求该装置应安装的位置坐标．
【答案】（1）
（2）该船不会进入警戒区域
（3）雷达装置 的坐标为 .
【解析】
【分析】（1）求出 A、B、E 三点坐标后，利用待定系数法计算即可得；
（2）求出船只 的航行所在直线方程后，利用点到直线距离公式判断直线与圆的位置关系即可得；
（3）利用切线长定理与切线性质，可得为圆形警戒区域圆的圆心 与 点连线与补给线垂直时，张角最大，
即可通过求出补给线所在直线方程与 所在直线方程求出点 坐标.
【小问 1 详解】
由题可得 ， ， ，即 ，
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设圆标准方程 ，则有 ，
解得 ，故圆的标准方程为 ；
【小问 2 详解】
由题可得 ，即 ，
由航行方向可得船只 的航行所在直线斜率 ，
即为直线方程 ，化简得 ，
由圆形警戒区域圆的标准方程为 ，
圆心为 ，半径 ，有 ，
所以该船不会进入警戒区域；
【小问 3 详解】
由题意可得 ，补给线方向斜率 ，
则补给线方程为 ，化简得 ，
设雷达监控装置为点 ，该点为补给线上的动点，一个切点为 ，圆心 ；
雷达波张角 ，要使雷达波张角最大即 最大，
即 最大，也就圆心 到装置距离 最小，
当 与补给线垂直时， 最小，
此时直线 的点斜式方程为 ，即 ；
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联立方程 ，解得 ，
故雷达装置 坐标为 .
18. 如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形，侧面 是等边三角形，其中上底
，下底 ， ，侧面 侧面 ，点 为线段 上的动点．
（1）求点 到直线 的距离；
（2）试问线段 上是否存在点 ，得二面角 为 ？存在，求出点 的位置；若不存在，
请说明理由；
（3）若点 为线段 的中点，求三棱锥 的外接球的表面积．
【答案】（1）
（2）存在,点 为线段 上靠近 点的三等分点
（3）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，借助向量法求点到线的距离即可；
（2）由点 在直线 上，设 ，由二面角 为 ，借助向量法求参即
可；
（3）通过分析可知球心 在过点 且与平面 垂直的直线上，设球心坐标，利用球心到各顶点的距离
相等，即可得球心坐标，从而得面积.
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【小问 1 详解】
如图，以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴， 轴，
过 垂直于平面 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ,
则 ，
点 到直线 的距离 .
【小问 2 详解】
由（1）所建空间坐标系，可得 ，
故 ， ，设 ，
则 ，
平面 的法向量 ，
由 ，有： ，
则 ，取 ，则 ，所以 ，
因为 轴垂直平面 ，故可取平面 的一个法向量为 ，
因为二面角 为 ，所以 ，
化简得 ，解得 （ 舍去），
故存在点 为线段 上靠近 点的三等分点，使得二面角 为 .
【小问 3 详解】
取 中点 ，三棱锥 的外接球的球心为 ,
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由 知，点 在过点 且与平面 垂直的直线上，
故可设 ,由 为线段 的中点可知 的坐标为 ．
由 得， 解得 ，
从而三棱锥 的外接球的半径为 ，表面积为 .
19. 在平面直角坐标系中，已知动点 满足下列方程： ；该方
程的曲线与 x 轴的交点分别为 两点（ 在 的左侧），不过 的直线 l 与该曲线交于 两点，记
直线 的斜率分别为 ；直线 的斜率分别为 ．
（1）求该曲线的标准方程；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ，求证：直线 l 过定点，并求出定点坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析，定点
【解析】
【分析】（1）利用双曲线定义可得 ，即可得出标准方程；
（2）利用点 在双曲线上可求得 ，代入 即可求出 的值；
（3）设直线 l 的方程为 ， ，联立双曲线与直线方程并结合韦达定理化简得
出 的表达式，可得 ，解得 ，可证明直线 l 过定点 ；
另解：由（2）中的计算可知 ，得 ，设直线 l 的方程为
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， ，联立双曲线与直线方程，利用韦达定理可得
，解得 ，因此直线 l 过定点 .
【小问 1 详解】
由双曲线的定义，易知该曲线是以 为焦点的双曲线，
其中 ；
故该曲线的标准方程为
【小问 2 详解】
设 ，
由题易得 ，且 得 ，
代入可得 ，
同理可得 ，
故 ，又 ，
可得 ；
【小问 3 详解】
由题知 ．
设直线 l 的方程为 ， ，如下图：
直线 与双曲线 联立得 ，
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可得 ，因此 且 ；
则可得 ， ，
因此 ，
由 ， ，
∴
，
解得 ；
所以直线 的方程为 过定点 .
另解：
由（2）中的计算可知 ，得 ，
则 ，即 ；
设直线 l 的方程为 ， ；
与双曲线 联立得 ，
可得 ，因此 且 ；
则可得 ， ，
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因此 ，
又 ，
所以
，
也即 ，
解得 .
因此直线 l 过定点 ；
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