2027年南充市高考数学押题试卷（含答案解析）

这是一份2027年南充市高考数学押题试卷（含答案解析）试卷主要包含了设集合，，则，已知，且，则在方向上的投影为，等比数列中，，则与的等比中项是，已知集合，则等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）．
A．B．C．D．
2．已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
3．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．或D．或
4．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
5．若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．设集合，，则( )
A．B．
C．D．
7．已知，且，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
8．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A．56B．60C．140D．120
9．等比数列中，，则与的等比中项是（ ）
A．±4B．4C．D．
10．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
11．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数的值为______．
14．已知是等比数列，且，，则__________，的最大值为__________．
15．以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，且满足，则点的轨迹方程为_________．
16．公比为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在中，已知，，，为线段的中点，是由绕直线旋转而成，记二面角的大小为.
（1）当平面平面时，求的值；
（2）当时，求二面角的余弦值.
18．（12分）已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.

（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于、两点，与相交于、两点，且与同向，设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形；
（3）为上的动点，、为长轴的两个端点，过点作的平行线交椭圆于点，过点作的平行线交椭圆于点，请问的面积是否为定值，并说明理由.
19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点，直线与曲线相交于，，求的值．
20．（12分）已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
21．（12分）随着时代的发展，A城市的竞争力、影响力日益卓著，这座创新引领型城市有望踏上向“全球城市”发起“冲击”的新征程.A城市的活力与包容无不吸引着无数怀揣梦想的年轻人前来发展，目前A城市的常住人口大约为1300万.近日，某报社记者作了有关“你来A城市发展的理由”的调查问卷，参与调查的对象年龄层次在25~44岁之间.收集到的相关数据如下：
（1）根据以上数据，预测400万25~44岁年龄的人中，选择“创业氛围好”来A城市发展的有多少人；
（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中再选取3人发放纪念品.求选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”的概率；
（3）在选择“自然环境”作为来A城市发展的理由的300人中有100名男性；在选择“人文环境”作为来A城市发展的理由的700人中有400名男性；请填写下面列联表，并判断是否有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关？
附：，.
22．（10分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.
图：设备改造前样本的频率分布直方图
表：设备改造后样本的频率分布表
（1）求图中实数的值；
（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在区间或内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为(单位：元)，求的分布列和数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
过圆外一点，
引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选．
2、B
【解析】
由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率．
【详解】
依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是.
故选B．
本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.
3、D
【解析】
先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.
【详解】
构造函数，
则
由题可知，所以在时为增函数；
由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；
又，即
即
又为开口向上的偶函数
所以，解得或
故选：D
此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.
4、D
【解析】
根据函数图象的变换规律可得到解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.
【详解】
解：图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到
再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象
，
故选：D
考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.
5、B
【解析】
求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.
【详解】
函数的导数为，
令，则或，
上单调递减，上单调递增，
所以0或是函数y的极值点，
函数的极值为：，
函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.
故选B.
该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.
6、D
【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.
【详解】
由题意知,集合,,
由集合的交运算可得,.
故选:D
本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.
7、C
【解析】
由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定义计算．
【详解】
由
可得，因为，所以．故在方向上的投影为．
故选：C．
本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
8、C
【解析】
试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C.
考点：频率分布直方图及其应用．
9、A
【解析】
利用等比数列的性质可得 ，即可得出．
【详解】
设与的等比中项是．
由等比数列的性质可得， ．
∴与的等比中项
故选A．
本题考查了等比中项的求法，属于基础题．
10、C
【解析】
由题意和交集的运算直接求出.
【详解】
∵ 集合，
∴.
故选:C.
本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.
11、C
【解析】
令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．
【详解】
令，则，，，，
，因此，.
故选：C.
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．
12、A
【解析】
根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.
【详解】
依题意，.
故选：A
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
函数的定义域为，求出导函数，利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，解得，，联立解得的值．
【详解】
解：函数的定义域为，，，
设曲线与曲线公共点为，
由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，．
由，可得．
联立，解得．
故答案为：．
本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
14、5
【解析】

，即的最大值为
15、
【解析】
根据圆的性质可知在线段的垂直平分线上，由此得到，同理可得，由对数运算法则可知，从而化简得到，由此确定轨迹方程.
【详解】
，，
和的中点坐标为，且在线段的垂直平分线上，
，即，同理可得：，
，，
点的轨迹方程为．
故答案为：．
本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出满足的方程，由此得到结果.
16、56
【解析】
根据已知条件求等比数列的首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可得到答案.
【详解】
，，
.
故答案为：.
本题考查等比数列的通项公式和前项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1) ;(2).
【解析】
(1)平面平面,建立坐标系，根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角.
【详解】
(1) 如图，以为原点，在平面内垂直于的直线为轴所在的直线分别为轴,轴，建立空间直角坐标系，则
，设为平面的一个法向量,由得
,取,则
因为平面的一个法向量为由平面平面，得所以即.
(2) 设二面角的大小为，当平面的一个法向量为,
综上,二面角的余弦值为.
本题考查用空间向量求平面间的夹角, 平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,难度一般.
18、（1）；（2）证明见解析；（3）是，理由见解析.
【解析】
（1）根据两个曲线的焦点相同，得到，再根据与的公共弦长为得出，可求出和的值，进而可得出曲线的方程；
（2）设点，根据导数的几何意义得到曲线在点处的切线方程，求出点的坐标，利用向量的数量积得出，则问题得以证明；
（3）设直线，直线，、、，推导出以及，求出和，通过化简计算可得出为定值，进而可得出结论.
【详解】
（1）由知其焦点的坐标为，
也是椭圆的一个焦点，，①
又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，
由此易知与的公共点的坐标为，，②
联立①②，得，，故的方程为；
（2）如图，，由得，
在点处的切线方程为，即，令，得，即，，
而，于是，
因此是锐角，从而是钝角.
故直线绕点旋转时，总是钝角三角形；
（3）设直线，直线，、、，
则，
设向量和的夹角为，
则的面积为，
由，可得，同理可得，
故有.
又，故，
则，因此，的面积为定值.
本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，考查钝角三角形的判定以及三角形面积为定值的求解，关键是联立方程，构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于斜率的方程，计算量大，属于难题．
19、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）由（为参数）直接消去参数，可得直线的普通方程，把两边同时乘以，结合，可得曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）把代入，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及参数的几何意义求解．
【详解】
解：（Ⅰ ）由（为参数），消去参数，可得．
∵，∴，即．
∴曲线的直角坐标方程为；
（Ⅱ ）把代入，得．
设，两点对应的参数分别为，
则，．
不妨设，，
∴．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，明确直线参数方程中参数的几何意义是解题的关键，是中档题．
20、（1）（2）
【解析】
（1）按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；
（2）不等式转化为，求出在上的最小值即可，利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值．
【详解】
解：（1）或或
解得或或无解
综上不等式的解集为．
（2）时，，即
所以只需在时恒成立即可
令，
由解析式得在上是增函数，
∴当时，
即
本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，解决绝对值不等式的问题，分类讨论是常用方法．掌握分类讨论思想是解题关键．
21、（1）（万）（2）（3）填表见解析；有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关
【解析】
(1)在1000个样本中选择“创业氛围好”来A城市发展的有300个,根据频率公式即可求得结果.
(2) 由分层抽样的知识可得，抽取6人中,4人选择“森林城市，空气清新”,2人选择“降水充足，气候怡人”求出对应的基本事件数,即可求得结果.
(3)计算的值,对照临界值表可得答案.
【详解】
（1）（万）
（2）从所抽取选择“自然环境”作为来A城市发展理由的300人中，利用分层抽样的方法抽取6人，其中4人是选择“森林城市，空气清新”，2人是选择“降水充足，气候怡人”.记事件A为选出的3人中至少有2人选择“森林城市，空气清新”，则,.
（3）列联表如下
，
所以有的把握认为性别与“自然环境”或“人文环境”的选择有关.
本题主要考查独立性检测的相关知识、分层抽样与古典概念计算概率、考查学生的综合分析与计算能力,难度较易.
22、（1）（2）详见解析
【解析】
（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1可计算出值；
（2）由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为.，选2件产品，支付的费用的所有取值为240，300，360，420，480，由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望．
【详解】
解：（1）据题意，得
所以
（2）据表1分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为.
随机变量的所有取值为240，300，360，420，480.
随机变量的分布列为
所以（元）
本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题时掌握性质：频率分布直方图中所有频率和为1．本题考查学生的数据处理能力，属于中档题．
来A城市发展的理由
人数
合计
自然环境
1.森林城市，空气清新
200
300
2.降水充足，气候怡人
100
人文环境
3.城市服务到位
150
700
4.创业氛围好
300
5.开放且包容
250
合计
1000
1000
自然环境
人文环境
合计
男
女
合计
P（）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
质量指标值
频数
2
18
48
14
16
2
自然环境
人文环境
合计
男
100
400
500
女
200
300
500
合计
300
700
1000
240
300
360
420
480