2027年宜宾市高考数学押题试卷（含答案解析）

这是一份2027年宜宾市高考数学押题试卷（含答案解析）试卷主要包含了已知函数，给出下列四个结论，若复数满足,则，已知双曲线，设等差数列的前项和为，若，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则的虚部是
A．3B．C．D．
2．函数的定义域为，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（ ）．
A．B．C．4D．9
4．已知函数，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数在区间单调递减；④若对任意，都有成立，则的最小值为；其中正确结论的个数是（ ）
A．B．C．D．
5．若复数满足,则( )
A．B．C．D．
6．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．执行如图所示的程序框图，当输出的时，则输入的的值为( )
A．-2B．-1C．D．
8．已知双曲线：的焦距为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
9．已知等比数列的各项均为正数，设其前n项和，若（），则（ ）
A．30B．C．D．62
10．设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．10B．9C．8D．7
11．已知，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．25B．32C．35D．40
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在棱长为的正方体中，是面对角线上两个不同的动点.以下四个命题：①存在两点，使；②存在两点，使与直线都成的角；③若，则四面体的体积一定是定值；④若，则四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____.
14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间的学生人数是__________．
15．设是公差不为0的等差数列的前项和，且，则______.
16．若函数恒成立,则实数的取值范围是_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：
（1）能否有的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？
（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.
附：
18．（12分）设等比数列的前项和为，若
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在和之间插入个实数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.
19．（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明.
20．（12分）设函数（）的最小值为.
（1）求的值；
（2）若，，为正实数，且，证明：.
21．（12分）某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.
（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；
（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案的概率为，选择方案的概率为.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案的概率，
（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）
22．（10分）已知函数．
当时，求不等式的解集；
，，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
因为，所以的虚部是.故选B．
2、A
【解析】
根据函数定义域得集合，解对数不等式得到集合，然后直接利用交集运算求解.
【详解】
解：由函数得，解得，即；
又，解得，即，
则.
故选：A.
本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.
3、B
【解析】
根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果.
【详解】
根据题意，，则
在中，又,
则
则
则
则
故选：B
此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.
4、C
【解析】
化的解析式为可判断①，求出的解析式可判断②，由得，结合正弦函数得图象即可判断③，由
得可判断④.
【详解】
由题意，，所以，故①正确；
为偶函数，故②错误；当
时，，单调递减，故③正确；若对任意，都有
成立，则为最小值点，为最大值点，则的最小值为
，故④正确.
故选：C.
本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.
5、C
【解析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．
【详解】
解：由，得，
∴．
故选C．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
6、D
【解析】
根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.
【详解】
由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为.故选D.
本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.
7、B
【解析】
若输入，则执行循环得
结束循环，输出，与题意输出的矛盾；
若输入，则执行循环得
结束循环，输出，符合题意；
若输入，则执行循环得
结束循环，输出，与题意输出的矛盾；
若输入，则执行循环得
结束循环，输出，与题意输出的矛盾；
综上选B.
8、A
【解析】
利用双曲线：的焦点到渐近线的距离为，求出，的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．
【详解】
双曲线：的焦点到渐近线的距离为，
可得：，可得，，则的渐近线方程为．
故选A．
本题考查双曲线的简单性质的应用，构建出的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
9、B
【解析】
根据，分别令，结合等比数列的通项公式，得到关于首项和公比的方程组，解方程组求出首项和公式，最后利用等比数列前n项和公式进行求解即可.
【详解】
设等比数列的公比为，由题意可知中：.由，分别令，可得、，由等比数列的通项公式可得：，
因此.
故选：B
本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查了数学运算能力.
10、B
【解析】
根据题意，解得，，得到答案.
【详解】
，解得，，故.
故选：.
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.
11、C
【解析】
利用诱导公式得，，再利用倍角公式，即可得答案.
【详解】
由可得，∴，
∴.
故选：C.
本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号.
12、C
【解析】
设出等差数列的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得．
【详解】
设等差数列的首项为，公差为，则
，解得，∴，即有．
故选：C．
本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、①③④
【解析】
对于①中，当点与点重合，与点重合时，可判断①正确；当点点与点重合，与直线所成的角最小为，可判定②不正确；根据平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，可判定③正确；四面体在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确.
【详解】
对于①中，当点与点重合，与点重合时，，所以①正确；
对于②中，当点点与点重合，与直线所成的角最小，此时两异面直线的夹角为，所以②不正确；
对于③中，设平面两条对角线交点为，可得平面，
平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，
所以四面体的体积一定是定值，所以③正确；
对于④中，四面体在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义，
四面体在四个侧面上的投影，均为上底为，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，
故四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确.
故答案为：①③④.

本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.
14、30
【解析】
根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80～100分的频率，继而得解.
【详解】
根据直方图知第二组的频率是，则样本容量是，
又成绩在80～100分的频率是，
则成绩在区间的学生人数是．
故答案为：30
本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题.
15、18
【解析】
先由，可得，再结合等差数列的前项和公式求解即可.
【详解】
解：因为，所以，.
故答案为：18.
本题考查了等差数列基本量的运算，重点考查了等差数列的前项和公式，属基础题.
16、
【解析】
若函数恒成立，即，求导得，在三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的，解关于的不等式，再取并集，即得。
【详解】
由题意得,只要即可，
，
当时，令解得，
令，解得，单调递减，
令，解得，单调递增，
故在时，有最小值，，
若恒成立，
则，解得；
当时，恒成立;
当时，，单调递增，,不合题意,舍去.
综上,实数的取值范围是.
故答案为：
本题考查恒成立条件下，求参数的取值范围，是常考题型。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.
（2）
【解析】
(1) 根据列联表和独立性检验的公式计算出观测值,从而由参考数据作出判断.
(2) 因为样本中出行不戴口罩的居民有30人,其中年轻人有10人,用样本估计总体,则出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.根据独立重复事件的概率公式即可求得结果.
【详解】
（1）由题意可知，
有的把握认为是否戴口罩出行的行为与年龄有关.
（2）由样本估计总体，出行不戴口罩的年轻人的概率为，是老年人的概率为.
人未戴口罩，恰有2人是青年人的概率.
本题主要考查独立性检验及独立重复事件的概率求法,难度一般.
18、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ），，两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由题设可得，可得，利用错位相减法即可得出．
【详解】
解：（Ⅰ）因为，故，两式相减可得，
，故，
因为是等比数列，∴，又，所以，
故，所以；
（Ⅱ）由题设可得，所以，
所以，①
则，②
①－②得：，
所以，得证.
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19、（1）若，则在定义域内递增；若，则在上单调递增，在上单调递减（2）证明见解析
【解析】
（1），分，讨论即可；
（2）由题可得到，故只需证，，即，采用换元法，转化为函数的最值问题来处理.
【详解】
由已知，，
若，则在定义域内递增；
若，则在上单调递增，在上单调递减.
（2）由题意，
对求导可得
从而，是的两个变号零点，因此
下证：，
即证
令，即证：，
对求导可得，，，因为
故，所以在上单调递减，而，从而
所以在单调递增，所以，即
于是
本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式，考查学生逻辑推理能力、转化与化归能力，是一道有一定难度的压轴题.
20、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）分类讨论，去绝对值求出函数的解析式，根据一次函数的性质，得出的单调性，得出取最小值，即可求的值；
（2）由（1）得出，利用“乘1法”，令，化简后利用基本不等式求出的最小值，即可证出.
【详解】
（1）解：
当时，单调递减；当时，单调递增.
所以当时，取最小值.
（2）证明：由（1）可知.
要证明：，即证，
因为，，为正实数，
所以
.
当且仅当，即，，时取等号，
所以.
本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1法”和分类讨论思想，属于中档题.
21、（1）0.4；（2）；（3）应选择方案，理由见解析
【解析】
（1）根据频率分布直方图，可求得该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的频率，即可估算其概率；
（2）根据独立重复试验概率求法，先求得四人中有0人、1人选择方案的概率，再由对立事件概率性质即可求得至少有两名骑手选择方案的概率；
（3）设骑手每日完成外卖业务量为件，分别表示出方案的日工资和方案的日工资函数解析式，即可计算两种计算方式下的数学期望，并根据数学期望作出选择.
【详解】
（1）设事件为“随机选取一天，这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单”.
根据频率分布直方图可知快餐店的人均日外卖业务量不少于65单的频率分别为，
∵，
∴估计为0.4.
（2）设事件′为“甲、乙、丙、丁四名骑手中至少有两名骑手选择方案”，
设事件，为“甲、乙、丙、丁四名骑手中恰有人选择方案”，
则，
所以四名骑手中至少有两名骑手选择方案的概率为.
（3）设骑手每日完成外卖业务量为件，
方案的日工资，
方案的日工资，
所以随机变量的分布列为
；
同理，随机变量的分布列为
.
∵，
∴建议骑手应选择方案.
本题考查了频率分布直方图的简单应用，独立重复试验概率的求法，数学期望的求法并由期望作出方案选择，属于中档题.
22、（1）； （2）.
【解析】
（1）当时，，
①当时，，
令，即，解得，
②当时，，显然成立，所以，
③当时，，
令，即，解得，
综上所述，不等式的解集为．
（2）因为，
因为，有成立，
所以只需，
解得，
所以a的取值范围为．
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
戴口罩
不戴口罩
青年人
50
10
中老年人
20
20
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828

160
180
200
220
240
260
280

0.05
0.05
0.2
0.3
0.2
0.15
0.05

150
180
230
280
330

0.3
0.3
0.2
0.15
0.05