北京市中国人民大学附属中学2025−2026学年第二学期高二年级期末练习数学Ⅱ试题（含答案）

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一、单选题
1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
3．盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ）
A．B．C．，独立D．，独立
4．正整数倒数和已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，仍不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③.其中“势函数”的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
7．数列满足，，则_________．
8．如图，一个质点在数轴上从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则_________，_________.
9．直线与函数和的图象分别相切于点和点，则_________（用表示），_________．
10．数列是等比数列，满足，，若存在，使得当时，都有成立，则的最大值为_________，此时的取值范围是_________.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为a=1lg53=lg35，所以3a=5.
又因为3b=2，故33b−a=(3b)33a=235=85.
2．【答案】D
【详解】任取x0，代入第一段解析式得f(−x)=2−x+2=12x+2.
因为f(x)为奇函数，所以f(−x)=−f(x).即12x+2=−a−12x=−a+12x.
化简得2=−a，解得a=−2.
3．【答案】C
【详解】由题意可得样本空间总数为4×3=12.
P(A1)=14，P(A2)=3×14×3=14；
P(B1)=24×3=16（和为4的情况有(1,3),(3,1)）；
P(B2)=44×3=13（和为5的情况有(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)）.
故选项 A、B 错误.
对于C，事件A2B2表示“第二次取3号且和为5”，即(2,3)，只有1种情况.
P(A2B2)=112.
因为P(A2)P(B2)=14×13=112=P(A2B2)，所以A2,B2独立，选项 C 正确.
对于D，事件A1B1表示“第一次取1号且和为4”，即(1,3)，只有1种情况.
P(A1B1)=112.
而P(A1)P(B1)=14×16=124≠P(A1B1)，故选项 D 错误.
4．【答案】B
【详解】设 an=1+12+⋯+1n，则 an≈lnn+γ.
因为 an+1−an=1n+1>0，可知数列 {an} 单调递增.
估算 a2026 的范围：a1800≈ln1800+γ=ln(8×9×25)+γ=3ln2+2ln3+2ln5+γ≈3×0.693+2×1.099+2×1.609+0.577≈8.07.
a2048≈ln2048+γ=ln211+γ=11ln2+γ≈11×0.693+0.577≈8.20.
因为 1800