北京人大附中2025-2026学年高二（下）期末数学试题（含答案）

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一、单选题
1．已知是等差数列，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数，则（ ）
A．B．C．0D．
3．从中任取两个不同的数，组成有序数对．在平面直角坐标系中，以为坐标的点位于第一象限的个数为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是等比数列，其前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的定义域为区间，其导函数的图象如图所示，的3个零点分别是，，．下列结论中正确的是（ ）

A．在区间上单调递增B．在处取得极大值
C．有3个极值点D．
6．目前某城市无人机配送已实现常态化运营．随机抽取2000份无人机配送的订单，其中药品订单有500份，在这批药品订单中有150份是在10分钟内送达的应急订单．用频率估计概率．在一份订单是药品订单的条件下，它是在10分钟内送达的应急订单的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数存在单调递减区间，则其导函数可能为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数恰有一个极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．设是各项均不为0的无穷等差数列，公差为．记，则“”是“有最小值”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．已知函数，．下列结论中正确的是（ ）
A．，使得对任意实数x，恒成立
B．，使得方程恰有3个不同的实数根
C．，函数存在最小值
D．，函数在上单调递减
二、填空题
11．在的展开式中，的系数是________．（用数字作答）
12．某学校科技活动室有2台跑步机器人，2台扫地机器人．工作人员随机选取2台机器人做功能测试，设所选取的2台机器人中扫地机器人的台数为，则随机变量的数学期望的值为________．
13．已知无穷等比数列的前项和为，且是递减数列，是递增数列．写出满足条件的一个数列的通项公式________．
14．已知函数．当时，的单调递增区间为________；若至少有2个零点，则的取值范围是________．
15．已知数列的前项和为，且，，，给出下列四个结论：
①当时，为递减数列；
②存在实数m，不是等比数列；
③当时，；
④当时，，，当时，都有．
其中正确结论的序号是________．
三、解答题
16．已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求在区间上的最值．
17．某学校组织生物小组开展航天育种实践活动，选取辣椒、番茄、大豆三类作物作为研究对象，为此购买了一批种子．生物小组为了研究这批种子的发芽情况，从每类作物的种子中各选取100粒太空种子和100粒普通种子进行对比试验，统计结果如下：
假设每粒种子是否发芽相互独立，用频率估计概率．
（1）估计这批太空辣椒种子发芽的概率；
（2）某同学从这批太空辣椒种子中，再随机选取3粒种子进行发芽实验，记发芽的种子数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）某同学设计了每类作物种子的混合方案如下：
方案①：将太空辣椒种子与普通辣椒种子按1∶2的比例混合；
方案②：将太空番茄种子与普通番茄种子按1∶3的比例混合；
方案③：将太空大豆种子与普通大豆种子按2∶3的比例混合．
上述方案中满足混合后种子发芽的概率估计值不低于85%的是_________．（直接写出序号）
18．已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数的最小值；
（3）求证：对任意的，都有．
19．已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在，使得.
四、单选题
20．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
21．已知函数为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
22．盒子中有4个相同小球，标有号码1，2，3，4，从盒子中不放回地随机取两次，每次取1个球.事件：“第一次取出1号球”，事件：“第二次取出3号球”，事件：“两次取出球的号码和为4”，事件：“两次取出球的号码和为5”，下列选项正确的是（ ）
A．B．C．，独立D．，独立
23．正整数倒数和已经被研究了几百年，迄今为止只得到近似求和公式，当很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，，仍不确定是有理数还是无理数.设表示不超过的最大整数，用上式计算的值为（参考数据：，，）（ ）
A．7B．8C．9D．10
24．已知定义在上的函数满足，且当时，.若的图象与曲线（且）恰有6个交点，则实数（ ）
A．5B．6C．7D．8
25．已知函数的定义域为，对于，定义集合，若只要，就有成立，则称函数为“势函数”，给定下列三个函数：①；②；③.其中“势函数”的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
五、填空题
26．数列满足，，则_________．
27．如图，一个质点在数轴上从原点出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则_________，_________.
28．直线与函数和的图象分别相切于点和点，则_________（用表示），_________．
29．数列是等比数列，满足，，若存在，使得当时，都有成立，则的最大值为_________，此时的取值范围是_________.
参考答案
1．【答案】C
【详解】设等差数列{an}的公差为d.
由a3+4=a5，得a1+2d+4=a1+4d.
因为a1=1，代入得1+2d+4=1+4d，解得d=2.
所以a4=a1+3d=1+3×2=7.
2．【答案】A
【详解】由f(x)=xcsx，根据乘法求导法则可得：
f'(x)=(x)'csx+x(csx)'=csx−xsinx,
所以f'π2=csπ2−π2⋅sinπ2=0−π2×1=−π2.
3．【答案】C
【详解】第一象限内的点满足横坐标x>0且纵坐标y>0.
题给数据中大于0的数有1,2,3，共3个.
要组成位于第一象限的有序数对(x,y)且x,y不同：
第一步，选横坐标x：从3个正数中任选1个，有3种选法；
第二步，选纵坐标y：从剩余2个正数中任选1个，有2种选法.
根据分步乘法计数原理，符合条件的点的总个数为3×2=6.
4．【答案】C
【详解】设等比数列{an}的公比为q.
由a4=8a1，得a1q3=8a1.因为a1≠0，所以q3=8，解得q=2.
由前n项和公式Sn=a1(1−qn)1−q，得：
S5=a1(1−25)1−2=31a1
又因为a6=a1q5=32a1，代入已知条件S5=a6−1，得：
31a1=32a1−1，
解得a1=1.
所以a2=a1q=1×2=2.
故选 C.
5．【答案】D
【详解】，，在区间上单调递减，选项A错误；
时，，当时，，当时，，
所以不是极值点，选项B错误；
的3个零点，，，
当时，，当时，，不是极值点，
当时，，当时，，是极小值点，
当时，，当时，，是极大值点，
有个极值点，选项C错误；
，，在区间上单调递增，，选项D正确.
6．【答案】D
【详解】根据题意，样本空间限定为药品订单，共 500 份.
其中满足“在 10 分钟内送达的应急订单”有 150 份.
故所求概率为：P=150500=310.
故选 D.
7．【答案】C
【详解】函数f(x)存在单调递减区间，即导函数f'(x)0恒成立，所以f(x)在ℝ上单调递增，不存在单调递减区间，故 B 错误；
对于选项 C：
取特值验证，因为f'(1)=e−3