山西省大同市第一中学校、忻州市第一中学校2023−2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份山西省大同市第一中学校、忻州市第一中学校2023−2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．某制造企业有两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.5，0.6，且它们是否正常运行相互独立，则一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为（ ）
A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8
4．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆柱的母线长比底面半径长多2cm，表面积为24π cm2，则该圆柱的体积为（ ）
A．12πB．14πC．16πD．18π
6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征.则函数在区间上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知由5个数据组成的一组数据的平均数为4，方差为1，现再加入一个数据10，组成一组新的数据，则这组新数据的方差为（ ）
A．B．C．D．7
8．已知（其中），若方程在区间上恰有4个实根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．如图，小明在A处向正东方向走3km后到达B处，他再沿南偏西30°方向走a km到达C处，这时他离出发点A的距离为km，那么的值可以是（ ）

A．1B．C．D．2
10．下列结论中正确的是（ ）
A．已知向量，，，则
B．已知直线l⊥平面α，直线m//平面α，则l⊥m
C．一组数据13，8，10，6，9，15，5，的60%分位数为9
D．已知随机事件A和B互斥，若，，则
11．如图，在长方体中，，为的中点，为棱上任意一点，直线与棱交于点.则下列结论正确的是（ ）
A．四边形是平行四边形
B．当为的中点时，四边形是菱形
C．四边形的周长的最小值为9
D．四棱锥的体积为4
三、填空题
12．已知，则的虚部为 .
13．若正实数a，b满足，则的最小值是 .
14．已知函数，，若对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围为 .
四、解答题
15．已知复数是一元二次方程（，）的根.
（1）求的值；
（2）若复数（其中）为纯虚数，求复数的模.
16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆的面积为，，求△ABC的面积.
17．当我们沉浸在游戏世界中时，很容易忽视时间的流逝，甚至忘记自己的学业和生活.一些大学生因为过度沉迷网络游戏，导致学业成绩下滑，身体健康状态也受到影响.长时间盯着电脑屏幕，不仅会导致视力下降，还可能引发颈椎病等健康问题.更为严重的是，过度依赖虚拟世界的社交可能会削弱我们在现实生活中的社交能力，造成人与人之间的疏离感.某大学心理机构为了向大学生宣传沉迷网络游戏的危害，该机构随机选择了200位沉迷网络的大学生进行宣传，将这些大学生每天玩网络游戏的时间分成五段：，，，，（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）请估计这200位大学生每天玩网络游戏的平均时间（同组数据用区间的中点值代替）；
（3）现在从和两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率.
18．如图，在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点，BD与EF相交于点G，记.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
19．如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面为菱形，，.
（1）求锐二面角的大小；
（2）求AP与平面所成的角的正弦值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】依题意，，，
所以.
故选A
2．【答案】C
【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案.
【详解】已知向量，，
若，则，
解得.
故选C.
3．【答案】D
【详解】因为两台设备在一天内正常运行的概率分别为0.5，0.6，且它们是否正常运行相互独立，
所以这两台设备都没有正常运行的概率为，
所以一天内这两台设备至少有一台正常运行的概率为.
故选D
4．【答案】B
【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次式法求值即得.
【详解】由，得.
故选B.
5．【答案】C
【详解】设圆柱底面圆半径为，则圆柱母线长为，
由圆柱表面积为24π，得，解得，
所以该圆柱的体积为（）.
故选C
6．【答案】B
【详解】因为函数定义域为关于原点对称，且，
故函数是奇函数，排除选项C、D；
又，故由选项A、B图知可排除A，
故选B.
7．【答案】A
【详解】记原5个数据依次为，，则新数据的平均数为，
由原数据的方差为1，得，则，
所以这组新数据的方差为.
故选A
8．【答案】D
【详解】由，得，
所以或，
所以，或，或，或，
由，得，所以，
因为方程在区间上恰有4个实根，
所以，解得，
故选D
9．【答案】AD
【详解】如图，


由条件可知
根据余弦定理可知，，
所以，解得或.
故选AD.
10．【答案】BC
【详解】对于A:,所以，A选项错误；
对于B:平面，存在,,则,可得,B选项正确；
对于C:,数据按从小到大排列可得第5个数为9，C选项正确；
对于D:随机事件A和B互斥,,D选项错误.
故选BC.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，因为为的中点，直线与棱交于点，所以四点共面，
因为平面∥平面，平面平面，平面平面，
所以∥，同理可证得∥，
所以四边形是平行四边形，所以A正确，
对于B，因为为的中点，所以，因为，，
所以 ≌，所以，
因为四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，所以B正确，
对于C，设，则，，
所以四边形的周长为
，
则看成平面上点到点的距离和，
设点关于轴的对称点为，则
所以
，当时取等号，
所以四边形的周长为10，所以C错误，
对于D，
，所以D正确，
故选ABD
12．【答案】/
【详解】因为，
所以
故的虚部为.
13．【答案】
【详解】因为，由基本不等式得，
即，解得，
当且仅当，即时，等号成立.
14．【答案】
【详解】函数，当时，，
则当，即时，；
函数，显然，
则函数的图象关于直线对称，当时，令，，
，，
由，得，则，，于是，
函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
在上单调递减，而在上单调递减，
因此函数在上单调递减，由对称性知，在上单调递增，
则当时，，
由对于任意，存在，使得，得，解得，
所以实数m的取值范围为.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为是一元二次方程的根，
所以也是一元二次方程的根，
故，解得.
（2）因为复数为纯虚数，
所以，且，即.
所以复数，
故.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
所以，
所以，即，
所以，
因为，所以；
（2）因为△ABC的外接圆的面积为，所以△ABC的外接圆半径为，
由正弦定理得，，
因为，所以由正弦定理得，
由（1）知，
所以，得，则，
所以△ABC的面积为.
17．【答案】（1）0.1；
（2）7.4小时；
（3）.
【详解】（1）由频率分布直方图，得，所以.
（2）每天玩网络游戏的平均时间（小时）.
（3）每天玩网络游戏的时间在和内的人数比为，
则用分层抽样的方法抽取的5人中，在内的有1人，记为，在内的有4人，记为，
这5人中随机抽取2人的试验的样本空间，共10个样本点，
玩网络游戏的时间所在区间不同的事件，共4个样本点，
所以这2人每天玩网络游戏的时间所在区间不同的概率.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为在矩形ABCD中，F为CD的中点，E为AD上靠近点A的三等分点，
所以，，
因为点在上，所以设（），
因为，所以，
所以，
所以,
所以，解得，，
（2）由（1）可知，，
因为，所以，
所以
.
19．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，
在菱形中，，则是正三角形，，由，得，
由是正三角形，得，则是二面角的平面角，
而，则，
所以锐二面角的大小为.
（2）由（1）知，平面，而平面，则平面平面，
取中点，连接，由为正三角形，得，，
而平面平面，平面，则平面，
三棱锥的体积，
显然，，又平面，即有，
于是，
又，底边上的高，
设点到平面的距离为，由，得，
即，于是，解得，
由平面，平面，得平面，
因此点到平面的距离等于点到平面的距离，
令AP与平面所成的角为，则，
所以AP与平面所成的角的正弦值.