第41讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

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考法1：判断空间几何体的结构特征 PAGEREF _Tc234952868 \h 1
考法2：计算空间几何体的基本量与欧拉公式 PAGEREF _Tc234952869 \h 3
考法3：利用斜二测画法还原直观图并计算 PAGEREF _Tc234952870 \h 5
考法4：空间几何体结构特征的综合应用 PAGEREF _Tc234952871 \h 5
考点二：空间几何体的表面积与展开图 PAGEREF _Tc234952872 \h 7
考法5：计算简单几何体或组合体的表面积 PAGEREF _Tc234952873 \h 7
考法6：利用展开图计算表面积或基本量 PAGEREF _Tc234952874 \h 9
考法7：利用展开图求解表面最短路径问题 PAGEREF _Tc234952875 \h 10
考法8：表面积的比例与最值问题 PAGEREF _Tc234952876 \h 11
考点三：空间几何体的体积 PAGEREF _Tc234952877 \h 12
考法9：计算简单几何体或组合体的体积 PAGEREF _Tc234952878 \h 12
考法10：利用等体积法或割补法计算体积 PAGEREF _Tc234952879 \h 14
考法11：利用展开图计算体积 PAGEREF _Tc234952880 \h 16
考法12：体积的比例与最值问题 PAGEREF _Tc234952881 \h 17
考法13：体积与线面关系的综合应用 PAGEREF _Tc234952882 \h 18
考点四：空间几何体的综合问题 PAGEREF _Tc234952883 \h 20
考法14：结合数列极限求解分形几何问题 PAGEREF _Tc234952884 \h 20
答案速查表
考点一：空间几何体的结构特征与直观图
考法1：判断空间几何体的结构特征
1.（2026·浙江金华·模拟）如图，汽车内胎（不考虑物体的内部结构）可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A选项中的图形旋转得到的是同心球，外面一个大球，里面一个小球；
B选项中的图形旋转得到的是空心环状几何体；
C选项中的图形旋转得到的是内胎；
D选项中的图形旋转得到的是球.
【点拨】本题考查旋转体的结构特征，根据图形的旋转特点进行判断即可.
2.（2026·湖南长沙·模拟）已知某四棱锥的一条侧棱垂直于底面，其底面为平行四边形，且8条棱的长度构成的集合为{1,2,3}，则满足条件的四棱锥的个数为（ ）
注：若两个几何体经过调整位置后重合或者关于某平面对称，算同种形状.
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】作出所有可能的四棱锥，如图，
【点拨】本题考查四棱锥的结构特征，结合条件画出符合题意的图形即可.
3.（2026·河南周口·一模）（多选）某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（ ）
A. 该几何体可能是三棱锥
B. 该几何体可能是四棱柱
C. 用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱
D. 用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱
【答案】AC
【解析】对于A，可用两块含30∘角的直角三角形薄板拼成一块等边三角形薄板，
像这样得到4个等边三角形，即可拼成正四面体（三棱锥），A正确；
对于B，四棱柱一共有6个面，每个面都是四边形，至少需要12个三角形才能得到，故B错误；
对于C，如图，先用6个等腰三角形（腰为a，底为b）拼成三棱柱的三个侧面，
要构成三棱柱，将平行四边形ABDC和EFHG分别沿CD和EF折起，
必须使A与G重合，B与H重合，只要取合适a,b的值，使侧面展开图中AG⟂AB垂直即可，
实际上，当AB⟂AG时，AG2=BG2−AB2=(3a)2−a2=8a2，
在△ADG中，cs∠ADG=−cs∠CAD=−b2a，
则AG2=AD2+GD2−2AD⋅GDcs∠ADG=b2+4a2−2b⋅2a−b2a，
则8a2=b2+4a2+2b2，即可得ab=32，即此时即可满足题意，C正确；
对于D，由C的分析可知等腰三角形不符合题意，故考虑非等腰的直角三角形，
设三角形三边长为a,b,c，同样先考虑侧面，需要6个直角三角形，假设三棱柱的侧棱为a，
因为每个侧面有两条边为侧棱，所以这6个直角三角形的a边都为侧棱，
则棱柱的上、下底面就不可能出现a边，因此直角三角形不符合条件，故D错误.
【点拨】本题考查空间几何体的结构特征与拼接，需结合各几何体的面数及形状进行分析.
考法2：计算空间几何体的基本量与欧拉公式
4.（2026·安徽鼎尖联考·模拟）若体积为3π的圆锥SO的高为1，则该圆锥的母线长为（ ）
A. 10 B. 23 C. 22 D. 6
【答案】A
【解析】设圆锥SO的底面半径为r，则V=13πr2⋅ℎ=13πr2=3π，解得r=3，故所求母线长为32+12=10.
【点拨】本题考查圆锥的体积与母线长的计算，熟记圆锥体积公式及母线、高、底面半径的关系是解题关键.
5.（2026·浙江温州·一模）（多选）如图，圆台ABCD上下底面半径分别为1和2，P,Q分别为上下底面圆周上的点，ABCD为圆台的轴截面且AQ=2CP=2，则（ ）
A. PQ为母线
B. PQ=PB
C. AQ⟂PQ
D. 平面PBQ与平面ABCD的夹角等于30∘
【答案】BCD
【解析】由母线概念可知，PQ不是母线，所以A错误；
如图所示，作上底面圆心O1，下底面圆心O，线段BQ中点E，
连接OE,O1P,OO1,PE，
可知DC=2,AB=4，∵AQ=2CP=2，∴∠BAQ=∠PCD=π3，
∵O为AB中点，E为BQ中点，∴∠BOE=∠CO1P=π3，OE=O1P=1，
∴四边形OEPO1为平行四边形，
∵OO1⟂平面AQB，∴PE⟂平面AQB，∴PE⟂QB，
∵E为BQ中点，∴PQ=PB，所以B正确；
∵PE⟂平面AQB，∴PE⟂AQ，∵AQ⟂BQ，
又∵PQ⊂面PQB，BQ⊂面PQB，PQ∩BQ=Q，
∴AQ⟂平面PQB，∴AQ⟂PQ，所以C正确；
∵四边形OEPO1为平行四边形，∴PE∥OO1，
∵PE⊂平面PQB，OO1⊄平面PQB，∴OO1∥面PQB，
∴OO1平行于平面PBQ与平面ABCD的交线，
∵AQ⟂平面PQB，AB⟂OO1,BQ⟂OO1，
∴∠ABQ是平面PBQ与平面ABCD的夹角的平面角，
可知∠ABQ=π6，所以D正确.
【点拨】本题考查圆台的结构特征及线面关系，通过作辅助线构建平行四边形和直角三角形是解题关键.
考法3：利用斜二测画法还原直观图并计算
6.（2026·湖南长沙·模拟）如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中O'A'=4，O'C'=1，则原图形的周长为＿＿＿＿＿＿.
【答案】14
【解析】由斜二测画法的规则知平面图形为平行四边形，且原图形中OA=BC=O'A'=4，设B'C'与O'y'交于点D'，由O'C'=1,∠x'O'y'=45∘,O'C'⟂O'A'，得原图中CD=C'D'=1,OD=2×12+12=22，则AB=OC=OD2+CD2=8+1=3，则原图形的周长是2×(4+3)=14.
【点拨】本题考查斜二测画法，根据规则将直观图还原为原图形并计算边长即可.
考法4：空间几何体结构特征的综合应用
7.（2026·安徽江淮十校·模拟）（多选）正三棱椎P−ABC中，点A1,B1,C1分别是侧棱PA,PB,PC的中点，2A1A=AB=6，则下列结论中正确的有（ ）
A. PB⟂平面AB1C
B. 过AC的平面截该三棱椎所得截面三角形周长的最小值为63+6
C. 棱长为52的正四面体可以在棱台A1B1C1−ABC内随意转动
D. 在三棱台A1B1C1−ABC中，若一质点从A出发，每次等可能地沿着三棱台的棱向相邻的另一个顶点运动，设在n(n∈N∗)次运动后质点仍停留在下底面ABC的概率为Pn，则Pn=3n+12⋅3n
【答案】ABD
【解析】易知P−ABC为正四面体，△PAB,△PBC均为等边三角形，又A',B'均为中点⇒AB'⟂PBCB'⟂PBAB'∩CB'=B'⇒PB⟂平面AB'C，故A对.由①知AB'⟂PB，故AB'是A到PB最短距离，CB'⟂PB，故CB'也是C到PB最短距离，∴△ACB'是所有截面中周长最短的且l周长=33+33+6=6+63，故B对.对C：假设C成立，则该正四面体应有一个外接球能在三棱台内任意转动.那么该外接球直径2R=564，又而此三棱台内能放下的球直径不大于6，显然564>6，故放不下，故C错.对D：据题意P1=23,Pn+1=23Pn+(1−Pn)⋅13⇒Pn=12+13n，故D对.
【点拨】本题考查正四面体的性质、截面周长最值、内切球及概率递推，综合性强.
8.（2026·江西五市十校·联考）（多选）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱ABF−DCE组合而成，AB⟂AF，AB=AD=AF=3，G是CD上的动点.则（ ）
A. G为CD的中点时，平面EFBC⟂平面BCG
B. G为CD的中点时，异面直线EC与BG之间的距离为3
C. 三棱锥G−BCF体积的最大值为928+94
D. P为ED所在直线上的动点，则|FP|−|PG|的最大值为352+32
【答案】ABD
【解析】对于A，当G为CD的中点时，连接DG,CG，则DG=CG，
又BD=BC，BG=BG，所以△BDG≅△BCG，所以∠BGD=∠BGC=90∘，
即BG⟂CG，又BC⟂平面CDEF，CG⊂平面CDEF，所以BC⟂CG，
又BC∩BG=B，所以CG⟂平面BCG，
又CG⊂平面EFBC，所以平面EFBC⟂平面BCG，故A正确；
对于B，由A知CG⟂平面BCG，又EC⊂平面EFBC，
过C作CH⟂BG于H，则CH⟂平面BCG，
又EC⊂平面EFBC，且EC∥BG，
所以CH即为异面直线EC与BG之间的距离，
在Rt△BCG中，BC=3,CG=322，所以BG=362，
所以CH=BC⋅CGBG=3×322362=3，故B正确；
对于C，三棱锥G−BCF的体积V=13S△BCF⋅ℎ，
其中S△BCF=12BC⋅CF=12×3×32=922，
当G到平面BCF的距离ℎ最大时，体积最大，
易知当G为CD的中点时，ℎ最大，此时ℎ=32，
所以体积的最大值为13×922×32=924，故C错误；
对于D，将平面CDEF与平面ABED展开到一个平面内，
当F,P,G三点共线时，|FP|−|PG|取得最大值，即为FG，
连接FD，在△FDG中，FD=32,DG=322,∠FDG=135∘，
由余弦定理得FG2=FD2+DG2−2FD⋅DGcs135∘=18+92−2×32×322×−22=452+92，
所以FG=452+92=352+32，故D正确.
【点拨】本题考查组合体的结构特征、面面垂直、异面直线距离、体积最值及表面展开图求最值.
考点二：空间几何体的表面积与展开图
考法5：计算简单几何体或组合体的表面积
9.（2026·山东德州·三模）圆锥PO的底面直径和高均是2，过PO的中点O'作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，剩下几何体的表面积是（ ）
A. (2+5)π8 B. (2+5)π4 C. (2+5)π2 D. (2+5)π
【答案】C
【解析】设圆锥的底面半径为r，高为ℎ，母线长为l，
则2r=2,ℎ=2，解得r=22，
母线长l=r2+ℎ2=12+2=102，
圆锥的侧面积S1=πrl=52π，底面积S2=πr2=π2，
过PO的中点O'作平行于底面的截面，截面圆的半径r'=12r=24，
挖去的圆柱的高ℎ'=12ℎ=22，
圆柱的侧面积S3=2πr'ℎ'=2π×24×22=π2，
剩下几何体的表面积等于圆锥的侧面积、圆锥的底面积与圆柱的侧面积之和，
即S=S1+S2+S3=52π+π2+π2=2+52π.
【点拨】本题考查组合体的表面积，明确剩下几何体的表面构成是解题关键.
10.（2026·山东菏泽·二模）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⟂BC，BC=CD=2，AB=4，以直线CD为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（ ）
A. 20π B. 24π C. 16π+42π D. 20π+42π
【答案】D
【解析】由题意知，旋转后得到的几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，
圆柱的底面半径为r=BC=2，高为ℎ=AB=4，
圆锥的底面半径为r=2，高为ℎ'=AB−CD=2，母线长为l=22+22=22，
所以该几何体的表面积为S=S圆柱底+S圆柱侧+S圆锥侧=π×22+2π×2×4+π×2×22=20π+42π.
【点拨】本题考查旋转体的表面积，判断出几何体的结构特征是解题关键.
11.（2026·福建厦门·检测）如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1.平面ACC1A1，平面BCD1A1和平面ABC1D1将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点B1所在的多面体的表面积为（ ）
A. 32+32 B. 22+32 C. 334+32 D. 324+32
【答案】D
【解析】连接A1C1,AC1,BD1，易知三条体对角线交于一点，记为点O.
则分割后顶点B1所在的多面体为六面体OA1BC1B1，其表面分别是△OA1B1,△OAC1,△OBC1,△A1B1C1,△A1B1B,△BB1C1.
根据正方体的性质，知OA1=OB=OC1=32,BB1=C1B1=A1B1=1,A1B=BC1=A1C1=2，
所以△OA1B≅△OA1C1≅△OBC1,△A1B1C1≅△A1B1B≅△BB1C1.
△OA1B中，边A1B上的高为OA12−A1B22=34−24=12，所以△OA1B的面积为12×2×12=24；
△A1B1B的面积为12×1×1=12.
所以顶点B1所在的多面体的表面积为3×24+3×12=324+32.
【点拨】本题考查正方体的截面与多面体表面积，明确分割后多面体的各个面的形状是解题关键.
考法6：利用展开图计算表面积或基本量
12.（2026·广东汕头·一模）圆锥的表面积为π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A. 22 B. 33 C. 12 D. 1
【答案】B
【解析】设底面半径为r，母线长为l，
由侧面展开图是一个半圆，得l⋅π=2πr，解得l=2r，
则侧面展开图的面积S'=12×2πr×l=πrl=2πr2，
所以圆锥的表面积S=πr2+2πr2=3πr2=π，解得r=33.
【点拨】本题考查圆锥的表面积与侧面展开图，利用展开图的弧长等于底面周长求出母线与半径的关系是解题关键.
13.（2026·浙江台州·二模）已知一个圆锥的底面半径为3，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是（ ）
A. 体积为3π B. 表面积为23π
C. 两条母线的夹角的最大值为π3 D. 过顶点的截面面积的最大值为2
【答案】D
【解析】对于 A，圆锥的体积为13×π×(3)2×1=π，故 A 错误；
对于 B，圆锥的母线长为3+1=2，
故圆锥的表面积为π×(3)2+π×3×2=23π+3π，故 B 错误；
对于 C，设圆锥轴截面顶角为α，则tanα2=31=3，
而α2为锐角，故α2=π3，故α=2π3，故两条母线的夹角的最大值为2π3，故 C 错误；
对于 D，设两条母线的夹角为θ，则过顶点的截面面积为S=12×2×2sinθ=2sinθ，
而0