山西省运城市多校2026届九年级下学期第一次模拟数学试卷（含解析）

这是一份山西省运城市多校2026届九年级下学期第一次模拟数学试卷（含解析），共34页。试卷主要包含了 如图，在中，若，，则的度数是等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置．
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2. 下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：A.该选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
B.该选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C.该选项图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D. 该选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：解：∵选项A中，与不是同类项，不能合并，∴A错误．
∵根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，∴B错误．
∵根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负数的偶次幂为正数，
∴，∴C正确．
∵平方差公式为，，∴D错误．
4. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去
【答案】C
解析：解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
5. 若不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（ ）
A. a＜2B. a≤2C. a＞2D. a≥2
【答案】D
解析：解：∵不等式组的解集是x＜2,
∴a≥2．
故选D．
6. 如图，在中，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：∵，
∴．
7. 如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（ ）
A. 16B. 21C. 13D. 18
【答案】C
解析：解：∵四边形为平行四边形，且周长为，
∴，，
∵点是的中点，
∴，为的中位线，
∴，
∴的周长．
8. 为研究山西某地的气象变化情况，小宣将2月和3月的第一周中每天的最高气温整理成两组数据制作成如下所示的折线统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A. 2月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定
B. 3月份的第一周平均日最高气温更高，且日最高气温更稳定
C. 2月份的第一周平均日最高气温更高，但3月份的第一周日最高气温更稳定
D. 3月份的第一周平均日最高气温更高，但2月份的第一周日最高气温更稳定
【答案】D
解析：解：观察统计图可知，3月份的第一周平均日最高气温更高，但2月份的第一周日最高气温更稳定．
9. 的蔗糖溶液是生物课堂上的常用试剂，该试剂可利用的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释而成，由题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：解：∵的的蔗糖溶液加入的蒸馏水稀释成的蔗糖溶液，
∴可列方程．
10. 窗花是我们节日装饰的元素之一．如图，这是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，所在圆的圆心恰好是的内心，且，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：∵六条等弧对应的弦构成一个正六边形，点为正六边形的中心，
，
．
是等边三角形．
∴，；
∵点是的内心，
∴，
∴
，
∴；
如图，过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算：______．
【答案】
解析：解：．
12. 刀削面是山西传统特色小吃，制作臊子时，若每份羊肉臊子面需要用颗羊肉粒，每份牛肉臊子面需要用颗牛肉粒，则制作份羊肉臊子面和份牛肉臊子面需要的肉粒总数为______个．（用含，的代数式表示）
【答案】##
解析：解：制作份羊肉臊子面需要的肉粒数为，制作份牛肉臊子面需要的肉粒数为，
故制作份羊肉臊子面和份牛肉臊子面需要的肉粒总数为个．
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，把绕点逆时针旋转得到，为的对应点，则点的坐标为______．
【答案】
解析：解：∵点，点，，
∴由勾股定理得：．
∵，
∴．
∵把绕点逆时针旋转得到
∴，且．
∴，
∵点，．
∴点的坐标为．
14. 如图，这是“智慧”小组利用人工智能设计的一款传球小游戏，规则为在三棱锥中的一个顶点处放置一个小球，每下达一次指令，小球就会随机移动到相邻的顶点处．当小球位于顶点处时，“智慧”小组连续下达了两次指令，则小球回到顶点处的概率为______．
【答案】
详解】解：画出树状图如下：
由图知，所有可能的结果数为9，其中小球回到顶点处的可能结果数为3，
则小球回到顶点处的概率为．
15. 如图，在菱形中，，分别是边的中点，连接，若，则的长为______．
【答案】
解析：解：如图，连接，过点作交的延长线于点．
∵分别是边的中点，，
∴，，
∵由菱形，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
，
，，
．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. （1）计算：．
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
解析：解：（1）
；
（2）
．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，.
（1）求的值和一次函数的表达式.
（2）根据图象，当时，直接写出不等式的解集.
【答案】（1），
（2）
（1）
解：由题意可得，解得，
反比例函数的表达式为，
，解得，
，
∵，在一次函数的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）
解：由图象知，当，一次函数图象位于反比例函数图象上方，
∴不等式的解集为．
18. 为了丰富学生的课余生活，某校在课后延时服务时间开设了兴趣社团：A.趣味数学；B.生物与健康；C.自然与科学；D.物理小实验；E.诗词鉴赏．该校数学兴趣小组随机选取了部分学生进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整），请认真阅读材料信息，回答下列问题：
（1）本次调查问卷共有______份；扇形统计图中，的值为______．
（2）补全条形统计图．
（3）若该校共有1200名学生，请估计选择“A.趣味数学”的学生人数．
【答案】（1）200；10
（2）见解析 （3）360名
（1）
解：（份），，
故本次调查问卷共有200份；扇形统计图中，的值为10．
（2）
解：（人），
故补全条形图如下：
（3）
解：．
答：选择“A.趣味数学”的学生人数约为360名．
19. 山西晋剧是国家级非物质文化遗产，其戏服制作工艺精湛．某戏服工坊制作晋剧戏服时，分为“蟒袍”和“褶子”两类款式．已知制作一套“蟒袍”比制作一套“褶子”多用2米锦缎，且制作3套“蟒袍”所用的锦缎与制作5套“褶子”所用的锦缎米数相等．问制作一套“蟒袍”和一套“褶子”分别需要多少米锦缎？
【答案】制作一套“蟒袍”需要5米锦缎，制作一套“褶子”需要3米锦缎
解析：解：设制作一套“褶子”需要米锦缎，制作一套“蟒袍”需要米锦缎．
由题意可得，
解得，
答：制作一套“蟒袍”需要5米锦缎，制作一套“褶子”需要3米锦缎．
20. 项目学习
项目背景：近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经服务于社会生活的各个方面．综合实践小组的同学们围绕“智能机器人的高度测量”开展了项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，计算该机器人的最高点距地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】点到地面的高度约为
解析：解：如图，过点分别作，，垂足分别为，过点作，垂足为．
则四边形为矩形，
，．
在中，，
，
．
，，
，
，
，
，
∴点到地面高度约为．
21. 阅读与思考
下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）材料中的依据1是指______，依据2是指______．
（2）如图3，在中，，，是线段上一点，，点是点关于的“关联点”，求的长．
（3）已知点是点关于的“关联点”，请在图4中作出点关于的另一个“关联点”点（不与点重合），且与的面积相等．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作一个点即可）
【答案】（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；相似三角形对应边成比例
（2）
（3）见解析
（1）
解：，
．
∵点在边上（不与点，重合），且点在边的垂直平分线上，
，（依据：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）．
，
，
，
，（依据：相似三角形对应边成比例）
，
∴点是点关于的“关联点”．
（2）
解：∵点是点关于的“关联点”，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
．
（3）
解：如图，点为所求．（或点为所求）
理由：∵与的面积相等，
∴点到的距离等于点到的距离，
∴，
即点在经过点，且与平行的直线上；
∵点是点关于的“关联点”，点是点关于的“关联点”，
故，，
∴，
即点在以点为圆心，的长为半径的圆上；
据此，即可作图．
作法：第一步，以点为圆心，的长为半径，画圆；
第二步，作，使得，即；
第三步，延长，与圆交于点、．
如图：点为所求．（或点为所求）
22. 综合与实践
问题情境：如图1，投石车是我国古代一种远程攻击的武器，在汉朝时期就被大量运用于战场．它通过杠杆原理或配重机制将石块等重物抛射出去，利用石块的动能冲击敌方防御工事．在数学视角下，投石车发射的石块在空中的运动轨迹可近似看作抛物线的一部分．
数学建模：某投石车将石块从距离地面高米的点处发出，现以地面（点在点的正下方）为原点，水平方向为轴、竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知石块从点发射后，当石块距离点的水平距离为米时，达到最大飞行高度米．
问题解决：已知投石车发射石块的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．
（1）直接写出石块运动轨迹所在抛物线的顶点的坐标，并求出该抛物线的函数解析式．
（2）如图，在原点的正前方米处有一座城墙，城墙上点处有一面帅旗，投石车投出第一块石头从帅旗的正上方飞过（虚线），通过调节发射架的竖直高度，使得石头发射点与原点重合，此时发射的石头恰好击中帅旗．
①求点的坐标；
②通过水平移动投石车也可以击中帅旗，请直接写出平移的方式．
【答案】（1）顶点的坐标为，
（2）①点的坐标为；②将投石车向正后方（轴的负方向）平移个单位长度或向正前方（轴的正方向）平移个单位长度
（1）
解：∵当石块距离点的水平距离为米时，达到最大飞行高度米．
∴抛物线顶点的坐标为，
设石块运动轨迹所在抛物线的函数解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴石块运动轨迹所在抛物线的函数解析式为．
（2）
解：①∵通过调节发射架的竖直高度，使得石头发射点与原点重合，
∴调整后抛物线的函数解析式为．
当时，，
∴点的坐标为．
②令，则，
解得：，，
∵，，
∴将投石车向正后方（轴的负方向）平移个单位长度或向正前方（轴的正方向）平移个单位长度．
23. 综合与探究
问题情境：如图，在等边中，点分别在上，连接，交点为．
猜想证明：
（1）如图1，若，求证：．
拓展延伸：
（2）如图2，为的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到、若的延长线恰好经过点，，求的长．
（3）如图3，若分别为边的中点，，先将绕点按逆时针旋转得到，连接，再将沿射线方向平移得到，在平移的过程中，当以为顶点的三角形为直角三角形时，请直接写出平移的距离．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）平移的距离为6或10
解析：解：（1）证明：由等边知，，．
，
，
．
，
．
（2）如图，过点作于点，在上取一点，使得．
旋转，
，，
．
为的中点，
，，
，，
，
，．
，
，
．
设，则，，
，解得，
．
（3）平移的距离为6或10．
由题意可知，是等边三角形．
由平移的性质可得，
如图，当时，
．
，
，
．
是的中点，
，
；
如图，当时，令与的交点为．
，
，
，，
．
综上所述，平移的距离为6或10．调查问卷
请选出你最喜欢的社团，并在后面打“√”（每人只能选择一项）
A.趣味数学（ ）
B.生物与健康（ ）
C.自然与科学（ ）
D.物理小实验（ ）
E.诗词鉴赏（ ）
项目主题
智能机器人的高度测量与计算
驱动问题
如何测量智能机器人的高度
活动内容
利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程
方案说明
图1是一款智能机器人，图2是其侧面示意图，底座是矩形，是上部显示屏，是侧面支架

数据测量
，，，，
计算
……
交流展示
……
关联点
【概念理解】
如图1，是线段上的一点（不与点，重合），若点满足，则称点是点关于的“关联点”．
【问题解决】如图2，在中，，点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上．求证：点是点关于的“关联点”．
证明：，
．
∵点在边上（不与点，重合），且点在边的垂直平分线上，
，（依据1）
，
，
，
，（依据2）
，
∴点是点关于“关联点”．