湖南省长沙市2026届初中学业水平考试模拟试卷（一）数学试卷（含解析）

这是一份湖南省长沙市2026届初中学业水平考试模拟试卷（一）数学试卷（含解析）试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列实数为无理数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．某校抽取8名同学参加“体质健康”测试，数据如下：，，，，，，，，则该组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
5．如图，直线，直线a截直线l，m形成，已知，则的度数为（ ）
A．B．C．D．不能确定
6．一个均匀的正方体六个面上分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，如图是这个正方体的表面展开图．随机抛掷这个正方体，落定后顶面的数恰好等于底面的数的的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．任意实数
8．某商品原价400元，连续两次降价后售价为256元，若每次降价率相同，则每次降价率为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，以点C为圆心、为半径作圆，交于点D，则的长为（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数与轴交于，两点，顶点为，若是等腰直角三角形，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．分解因式：____________．
12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则_______．
13．将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为______________．（填一般式）
14．的弦的长为，弦的弦心距为，则的半径是______．
15．如图，在中，点M，N分别在上，且．已知，则_______．
16．“相超文具店”新到两款限定中性笔：“永州款”每支笔杆带闪粉，“星城款”每支笔帽会变色．小艾买了9支永州款和4支星城款，老板报价：“一共52元”付完钱后，小艾突然说：“姐姐，我少要1支星城款，多换3支永州款吧”老板看了看库存，说：“可以，不过你还得再补1元钱”根据他们的对话，可知：永州款的单价为_______元．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．为监测湘江水位变化及沿岸地形，测绘人员在长沙橘子洲头操控一架无人机进行高空测量．如图，无人机在湘江上方距水面的处，测得南岸点与北岸点的俯角分别为和，已知三点共线（点为在水平面上的垂直投影），且．求观测点之间的距离．（结果保留根号）
20．某校为了解“双减”后学生每日完成作业时间，随机抽取部分学生进行调查，绘制如下两幅不完整的统计图表．
根据图表信息，解答下列问题：
(1)求被调查学生总数；
(2)求完成作业时间在分钟的学生对应的扇形圆心角度数；
(3)估计该校800名学生中，每日作业时间不少于90分钟的人数．
21．如图，在中，．点在边上．将沿翻折，点的对应点恰好落在上．
(1)求的长度；
(2)求的值．
22．为保障“长沙银行·2025湘江马拉松”选手参赛体验，赛事组委会计划在赛道沿线投放两种补给包．A种补给包（含矿泉水、香蕉等），成本为10元/份；B种补给包（增加能量胶、盐丸等），成本为20元/份．两种补给包共准备15000份．
(1)若本次补给包总采购费用为20万元，则A，B两种补给包各采购多少份？
(2)为满足不同阶段选手需求，购进B种补给包的数量不少于A种补给包的倍．请问最少需购进B种补给包多少份？
23．如图，在中，对角线，交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，求四边形的最大面积．
24．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫“垂美四边形”．请解答以下问题：
(1)下列四边形一定是“垂美四边形”的是_______（填序号）
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
(2)如图1，若“垂美四边形”内接于．求证：．
(3)在（2）条件下，以O为原点，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴建立直角坐标系，如图2．
①若，过点E作，垂足为点H，求EH的长：
②若，记为，且，，若，求的值．
25．如图，抛物线与轴相交于两点（点在轴的正半轴上），直线与抛物线相交于两点．
(1)求点和点的坐标（用含的式子表示）：
(2)点为抛物线上的一个点，连接，，交轴于点．的内心在轴上，且为的中点，连接．求证：；
(3)在（2）条件下，设为抛物线上的一个动点，且在直线的下方．以点为圆心的与直线相切，记的最大半径为．试判断是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是，请说明理由．
参考答案
1．B
解：A、不是无理数，故本选项不符合题意；
B、是无理数，故本选项符合题意；
C、不是无理数，故本选项不符合题意；
D、不是无理数，故本选项不符合题意；
2．D
解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意；
3．A
解：对于选项A：∵ ，∴正确；
对于选项B：∵ ，∴错误；
对于选项C：∵ ，∴错误；
对于选项D：∵ ，∴错误．
故选：．
4．D
解：对该组数据排序：，，，，，，，；
∴中位数为：；众数为：．
故选：D．
5．B
解：如图，
∵，，
∴，
∴．
6．C
解：由正方体展开图的特点可知1与6相对，2与4相对，3与5相对，
抛掷这个立方体，朝上一面上的数字一共有6种情况，其中落定后顶面的数恰好等于底面的数的的情况有1种，即朝上一面上的数为2，
∴落定后顶面的数恰好等于底面的数的的概率是．
7．C
解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴，
解得．
故选：C．
8．C
解：设每次降价率为x，根据题意得：
，
解得：（舍去），
答：每次降价率为．
9．A
解：过点作于点， 连接，
∵， ，，
∴ ．
∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理，得．
∵， ，
∴．
10．D
解：化为顶点式为：，
∴顶点的坐标为：，
∴点到轴的距离为；
∵二次函数与轴交于，两点，
∴，，
解得：，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
11．
解：．
故答案为：．
12．9
解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴且，
解得：．
13．
解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线的解析式为．
14．
解：过作于，则，连接，
∵，
∴，，
∴()，
即的半径为，
故答案为：．
15．12
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
16．
解：设永州款的单价为x元，星城款的单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：永州款的单价为元．
17．2030
解：原式
．
18．，1．
解：原式，
，
将代入得：原式．
19．
解：已知，，
无人机在处观测的俯角分别为和，
在中：，，
∴
在中：，，
∴，即，
解得：，
∴．
答：观测点之间的距离为．
20．(1)50人
(2)
(3)估计该校800名学生中，每日作业时间不少于90分钟的人数为320人
（1）解：（人），
所以，调查总人数为50人；
（2）解：完成作业时间在分钟的学生对应的扇形圆心角度数为；
（3）解：B组的人数为（人），
D组的人数为（人），
（人）
答：估计该校800名学生中，每日作业时间不少于90分钟的人数为320人．
21．(1)的长度为
(2)的值为
（1）解：在中，，
∵沿翻折，
∴，
则．
（2）解：设，则，
∵沿翻折，
∴，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得，
∴，
∵在中，，
∴．
22．(1)A种补给包采购10000份， B种补给包采购5000份
(2)9000份
（1）解：设A种补给包采购a份， B种补给包采购b份，根据题意得：
，
解得：，
答：A种补给包采购10000份， B种补给包采购5000份；
（2）解：设购进B种补给包x份，根据题意得：
，
解得：，
答：最少需购进B种补给包9000份．
23．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵分别为的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵在平行四边形中，对角线，
∴四边形是菱形，
设，则，
在中，，
∴，
由得，
则，即，
∴，
当且仅当时，四边形的面积取得最大值．
答：四边形的最大面积为．
24．(1)③④
(2)见解析
(3)
（1）解：①平行四边形：对角线互相平分，不一定垂直，不是垂美四边形；
②矩形：对角线相等且平分，不一定垂直，不是垂美四边形；
③菱形：对角线互相垂直，是垂美四边形；
④正方形：对角线互相垂直且相等，是垂美四边形．
综上，是“垂美四边形”的是③④；
（2）证明：如图，连接，，
∵四边形是垂美四边形，
∴，设垂足为O，
在中，；
在中，；
∴；
同理，在中，；
在中，；
∴；
∴；
（3）解：∵，如图，
∴，
∵，
∴；
；
；
；
∵
∴，
∴，
在和中，
，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
代入得
∴，
∵，
∴，
在和中，
，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
把，代入，得，
∴，
又，
∴，
∴；
∴．
25．(1)，
(2)见解析
(3)为定值
（1）解：∵抛物线
∴当时，
解得或
∴；
联立和得，
解得或
将代入得，
∴；
（2）解：如图，过点P作轴于点B，
∵直线
∴
∵的内心在轴上，
∴
∴
∵为的中点，
∴
∴
∵轴
∴是等腰直角三角形
∴
∴
∴；
∵
∴所在直线表达式为
联立和得，
解得或
∴
∵，为的中点，
∴，即
∵
∴轴
∴
∵
∴
∵
∴；
（3）解：如图，设与直线相切于点B，连接，，，过点Q作轴交直线于点D，
设，则
∴
∵，
∴
∵与直线相切于点B，
∴
∴
∴
∴
∵
∴当时，取得最大值
∵的最大半径为
∴
由（2）得，
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴为定值．组别
A
B
C
D
时间t（分钟）
人数（人）
10
15