2026年长沙市初中学业水平考试数学模拟试卷（一）（含答案）

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注意事项：
1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3、本试题满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在实数eq \r(2)，eq \r(3)，eq \r(4)，eq \r(5)中，有理数是( C )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.eq \r(4) D.eq \r(5)
2．下列图形中，对称轴最多的是( D )
A．等边三角形 B．矩形 C．正方形 D．圆
3．计算eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a4))3的结果是( B )
A．2a12 B．8a12 C．6a7 D．8a7
4．一组数据4，5，6，a，b的平均数为5，则a，b的平均数为( B )
A．4 B．5 C．8 D．10
5．如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB∥CD，∠C＝50°，则∠1的度数为( C )
A．40° B．50° C．130° D．150°
6．如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是( C )
A．跟 B．党 C．走 D．听
7．若反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象经过点(2，－3)，则它的图象也一定经过的点是( C )
A．(－2，－3) B．(－3，－2) C．(1，－6) D．(6，1)

第5题图 第6题图 第9题图 第10题图
8．为了增强学生的安全防范意识，某校初三(1)班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为( B )
A．14 B．15 C．16 D．17
9．如图，在正方形ABCD中，AC和BD交于点O，过点O的直线EF交AB于点E(点E不与点A，B重合)，交CD于点F.以点O为圆心，OC为半径的圆交直线EF于点M，N.若AB＝1，则图中阴影部分的面积为( B )
A.eq \f(π,8)－eq \f(1,8) B.eq \f(π,8)－eq \f(1,4) C.eq \f(π,2)－eq \f(1,8) D.eq \f(π,2)－eq \f(1,4)
10．如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是( C )
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤
【解析】∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＝1，
∴2a＋b＝0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝－2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A(1，3)，
∴x＝1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为(4，0)
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(－2，0)，所以④错误；
∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n(m≠0)交于A(1，3)，B点(4，0)
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选C．
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．分解因式：a2－2a＋1＝ ．
【答案】(a－1)2
12．已知1阿秒是10－18秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为______________秒．
【答案】4.3×10－17
13．分式方程eq \f(3－x,x－4)＋eq \f(1,4－x)＝1的解是 ．
【答案】x＝3
14．在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是 cm．
【答案】eq \f(2,3)π
15．如图，在△ABC中，E是中线AD的中点．若△AEC的面积是1，则△ABD的面积是 ．
【答案】2

第15题图 第16题图
16．如图，在△ABC中，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D．过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝CD，连接AE．则下列结论一定正确的是 ．(写出所有正确结论的序号)①AD＝DC；②△CBA∽△CDE；③eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(AD,\s\up8(︵))；④AE为⊙O的切线．
【答案】①②④
【解析】∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，而AB=CB，∴AD=DC，所以①正确；
∵AB=CB，∴∠BAD=∠BCD，而CD=ED，∴∠ECA =∠CED，∵CF∥AB，∴∠BAD=∠ECA，∴∠BAD=∠BCD=∠ECA=∠CED，∴△CBA∽△CDE，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，∴∠BAD不能确定等于45°，∴eq \(BD,\s\up8(︵))与eq \(AD,\s\up8(︵))不能确定相等，所以③错误；
∵DA=DC=DE，∴点E在以AC为直径的圆上，∴∠AEC=90°，∴CE⊥AE，而CF∥AB，∴AB⊥AE，∴AE为⊙O的切线，所以④正确．
三、解答题(共72分)
17．(6分)计算：(－1)×3＋eq \r(9)＋22－20260；
解：原式＝－3＋3＋4－1＝3.
18．(6分)先化简，再求值：[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷b，其中a＝2，b＝－1.
解：[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷2b＝(2a＋b)[(2a＋b)－(2a－b)]÷b
＝(2a＋b)·2b÷b＝4a＋2b.
当a＝2，b＝－1时，原式＝4×2＋2×(－1)＝6.
19．(6分)如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
(参考数据：sin32°≈0.530，cs32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cs58°≈0.530，tan58°≈1.6)

解：过点A作AD⊥BC于点D，
由题意，得∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6海里，设AD＝x海里，则CD＝AD＝x海里．
在Rt△ABD中，BD＝eq \f(x,tan32°)＝x＋6，
解得x≈10.
∵10＞9，
∴如果渔船不改变航线继续向西航行，没有触礁的危险．
20．(8分)长沙是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来长沙旅游，两人分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览．
(1)甲选择A景点的概率为______；
(2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．
解：(1)eq \f(1,3)
(2)根据题意画树状图如下：
∵共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的情况有5种，
∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是eq \f(5,9)
21．(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1.
(1)求BC的长；
(2)求sin∠DAE的值．
解：(1)在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，
∴BD＝eq \r(AB2－AD2)＝eq \r(102－62)＝8.
在Rt△ADC中，tan∠ACB＝eq \f(AD,DC)＝1，
∴DC＝6.
∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14.
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴BE＝eq \f(1,2)BC＝7.
∴DE＝BD－BE＝8－7＝1.
∴AE＝eq \r(AD2＋DE2)＝eq \r(62＋12)＝eq \r(37).
∴sin∠DAE＝eq \f(DE,AE)＝eq \f(1,\r(37))＝eq \f(\r(37),37).
22．(9分)今年，长沙市举办了一届主题为“强国复兴有我”的中小学课本剧比赛．某队伍为参赛需租用一批服装，经了解，在甲商店租用服装比在乙商店租用服装每套多10元，用500元在甲商店租用服装的数量与用400元在乙商店租用服装的数量相等．
(1)求在甲、乙两个商店租用的服装每套各多少元．
(2)若租用10套以上服装，甲商店给以每套九折优惠．该参赛队伍准备租用20套服装，请问在哪家商店租用服装的费用较少，并说明理由．
解：(1)设乙商店租用服装每套x元，则甲商店租用服装每套(x＋10)元，
由题意可得eq \f(500,x＋10)＝eq \f(400,x)，解得x＝40，
经检验，x＝40是该分式方程的解，并符合题意．
∴x＋10＝50，
∴甲、乙两个商店租用的服装每套分别为50元、40元．
(2)乙商店租用服装的费用较少．理由如下：
该参赛队伍准备租用20套服装时，
甲商店的费用为50×20×0.9＝900(元)，
乙商店的费用为40×20＝800(元)，
∵900＞800，∴乙商店租用服装的费用较少．
23．(9分)如图，在▱ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.
(1)求证：BE∥DG，BE＝DG；
(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若▱ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积.

解：(1)证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，
∵BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠ADG＝∠CBE，
∵∠DGE＝∠DAC＋∠ADG，
∠BEG＝∠BCA＋∠CBE，
∴∠DGE＝∠BEG，∴BE∥DG.
在△ADG和△CBE中，∠DAC＝∠BCA，AD＝CB，∠ADG＝∠CBE，
∴△ADG≌△CBE(ASA)，∴BE＝DG.
(2)过E点作EH⊥BC于点H，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，∴EH＝EF＝6，
∵▱ABCD的周长为56，∴AB＋BC＝28，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·EF＋eq \f(1,2)BC·EH＝eq \f(1,2)EF(AB＋BC)＝eq \f(1,2)×6×28＝84.
24．(10分)△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，
(1)求证：△BDF∽△CEF；
(2)若a＝4，设BF＝m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；
(3)已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF＝eq \f(eq \r(3),2)，求此圆直径．
解：(1)∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF＝∠CEF＝90°．
∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°．
∵∠BDF＝∠CEF，∠B＝∠C，∴△BDF∽△CEF．
(2)∵∠BDF＝90°，∠B＝60°，
∴sin60°＝eq \f(DF,BF)＝eq \f(eq \r(3),2)，cs60°＝eq \f(BD,BF)＝eq \f(1,2)．
∵BF＝m，∴DF＝eq \f(eq \r(3),2)m，BD＝eq \f(1,2)m．
∵AB＝4，∴AD＝4－eq \f(1,2)m．
∴S△ADF＝eq \f(1,2)AD•DF＝eq \f(1,2)×(4－eq \f(1,2)m)×eq \f(eq \r(3),2)m＝－eq \f(eq \r(3),8)m2+eq \r(3)m．
同理：S△AEF＝eq \f(1,2)AE•EF＝eq \f(1,2)×(4－eq \f(4－m,2))×eq \f(eq \r(3),2)(4－m)＝－eq \f(eq \r(3),8)m2＋2eq \r(3)．
∴S＝S△ADF＋S△AEF＝－eq \f(eq \r(3),4)m2＋eq \r(3)m＋2eq \r(3)＝－eq \f(eq \r(3),4)(m2－4m－8)
＝－eq \f(eq \r(3),4)(m－2)2＋3eq \r(3)．其中0＜m＜4．
∵－eq \f(eq \r(3),4)＜0，0＜2＜4，
∴当m═2时，S取最大值，最大值为3eq \r(3)．
∴S与m之间的函数关系为：S═－eq \f(eq \r(3),4)(m－2)2＋3eq \r(3)(其中0＜m＜4)．
当m═2时，S取到最大值，最大值为3eq \r(3)．
(3)如图2，
∵A、D、F、E四点共圆，∴∠EDF═∠EAF．
∵∠ADF═∠AEF=90°，∴AF是此圆的直径．
∵tan∠EDF═eq \f(eq \r(3),2)，∴tan∠EAF═eq \f(eq \r(3),2)．
∴eq \f(EF,EA)═eq \f(eq \r(3),2)．
∵∠C═60°，
∴eq \f(EF,EC)═tan60°═eq \r(3)．
设EC═x，则EF═x，EA═2x．
∵AC═a，∴2x＋x═a．
∴x═eq \f(a,3)．∴EF═eq \f(eq \r(3),3)a，AE═eq \f(2a,3)．
∵∠AEF═90°，∴AF═eq \r(AE2＋EF2)═eq \f(eq \r(7),3)a．
∴此圆直径长为eq \f(eq \r(7),3)a．
25．(10分)在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点(－1，－1)，(0，0)，(eq \r(2)，eq \r(2))，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
(1)若点P(2，m)是反比例函数y＝eq \f(n,x)(n为常数，n≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
(2)函数y＝3kx＋s－1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，a＞0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，且满足－2＜x1＜2，|x1－x2|＝2，令t＝b2－2b＋eq \f(157,48)，试求出t的取值范围．
解：(1)∵点P(2，m)是“梦之点”，
∴m＝2，
∵点P(2，2)在反比例函数y＝eq \f(n,x)(n为常数，n≠0)的图象上，
∴n＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝eq \f(4,x)；
(2)假设函数y＝3kx＋s－1(k，s是常数)的图象上存在“梦之点”(x，x)，
则有x＝3kx＋s－1，整理，得(3k－1)x＝1－s，
当3k－1≠0，即k≠eq \f(1,3)时，解得x＝eq \f(1－s, 3k－1)；
当3k－1＝0，1－s＝0，即k＝eq \f(1,3)，s＝1时，x有无穷多解；
当3k－1＝0，1－s≠0，即k＝eq \f(1,3)，s≠1时，x无解；
综上所述，当k≠eq \f(1,3)时，“梦之点”的坐标为(eq \f(1－s, 3k－1)，eq \f(1－s, 3k－1))；当k＝eq \f(1,3)，s＝1时，“梦之点”有无数个；当k＝eq \f(1,3)，s≠1时，不存在“梦之点”；
(3)∵二次函数y＝ax2＋bx＋1(a，b是常数，a＞0)的图象上存在两个不同的“梦之点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，
∴x1＝ax2 1＋bx1＋1，x2＝ax2 2＋bx2＋1，
∴ax2 1＋(b－1)x1＋1＝0，ax2 2＋(b－1)x2＋1＝0，
∴x1，x2是一元二次方程ax2＋(b－1)x＋1＝0的两个不等实根，
∴x1＋x2＝eq \f(1－b, a)，x1•x2＝eq \f(1, a)，
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1•x2＝(eq \f(1－b, a))2－4•eq \f(1, a)＝eq \f(b2－2b＋1－4a, a2)＝4，
∴b2－2b＝4a2＋4a－1＝(2a＋1)2－2，
∴t＝b2－2b＋eq \f(157,48)＝(2a＋1)2－2＋eq \f(157,48)＝(2a＋1)2＋eq \f(61,48)．
∵－2＜x1＜2，|x1－x2|＝2，
∴－4＜x2＜0或0＜x2＜4，
∴－4＜x2＜4，
∴－8＜x1•x2＜8，
∴－8＜eq \f(1,a)＜8，
∵a＞0，∴a＞eq \f(1,8)
∴(2a+1)2＋eq \f(61,48)＞eq \f(25,16)＋eq \f(61,48)＝eq \f(17,6)，∴t＞eq \f(17,6)．
题 号
一
二
三
总分
得 分
阅卷人