湖南省湘潭市第十二中学等校2026届九年级中考一模数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．下列四个数中，其中最大的数是（ ）
A．3B．C．D．0
2．“二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．根据国家统计局的数据，年月中国生产芯片约颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．为了解某校八年级学生的视力情况，从中随机抽取100名学生进行检查，这种调查方式是（ ）
A．全面调查B．抽样调查C．重点调查D．以上都不对
7．如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（ ）
A．9B．12C．15D．18
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则的长为（ ）
A．1B．2C．4D．8
9．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象位于第二、四象限
B．当时，随的增大而减小
C．图象经过点
D．若点都在图象上，且，则
10．如图，的半径为2，C为上一点，连接，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若分式有意义，则的取值范围为__________．
12．若，则________．
13．将一张长方形纸沿虚线折叠，若 ，则 的度数为________．
14．因式分解：______．
15．若，则______
16．学科融合 图①为平面镜反射示意图，如图②，在平面直角坐标系中，放置一平面镜，其中点的坐标分别为，从点发射光线，其图象对应的函数解析式为．规定横坐标与纵坐标均为整数的点是整点，光线经过镜面反射后，反射光线与轴相交于点，则点是整点的个数为_________．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．
(1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积．
20．为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1000名学生，共五种情况．并将其制成了如下两幅不完整的统计图：
(1)该校一共有_____形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是_____；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率
21．为响应“绿色出行”号召，某社区计划在小区内安装共享单车停放点．若购买A型停放架3个和B型停放架2个，共需1100元；购买A型停放架2个和B型停放架3个，共需1050元．
(1)求每个A型停放架和B型停放架的单价；
(2)该社区准备购买A、B两种型号的停放架共15个，且购买总费用不超过3000元，求最多可以购买A型停放架多少个．
22．如图1，“天幕”是大家特别喜欢的一种露营设备，通常由支杆、天幕布、拉绳组成．图2是其截面示意图，天幕布，为可伸缩支杆，拉绳、固定在水平地面上，且点A、D、E共线，点A、C、F共线，于点B，于点O．拉绳在地面的固定点E与点B的距离，，．
(1)求拉绳的长；
(2)如图3，现将支杆向上伸长至点，同时将固定点E、F分别移动至、，使、、共线，、、共线，且，在此过程中，拉绳长度保持不变，求的长．（结果保留根号）
23．综合与实践
在数学活动课上，李老师让同学们以特殊四边形及旋转为主题开展数学活动．以下是学习小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题：
(1)观察猜想
如图1，“奋勇”小组提出的问题是：在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，则____________，，，之间的数量关系是____________；
(2)类比探究
如图2，“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上提出的问题是：在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，．
①__________；
②写出，，之间的数量关系，并就图2的情形说明理由；
(3)拓展应用
“创新”小组提出的问题是：在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作直角，，，连接，，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出的长．
24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴为，连接．点是轴上一点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，作直线交抛物线于点．点是直线上方抛物线上一动点，过作轴交于点．当线段长度取得最大值时，在直线上有两动点（点在点的上方），当时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，新抛物线与轴交于点，连接，点分别为直线下方新抛物线上的两点，当时，连接，若线段被直线平分，求点的坐标．
参考答案
1．A
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴四个数中最大的数是．
2．D
解：根据中心对称图形的定义可知，只有D选项是中心对称图形．
3．B
解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
B．，故原计算正确；
C．，故原计算错误；
D．，故原计算错误；
故选：B．
4．C
解：∵把改写为时，小数点向左移动了位，
∴．
5．D
解：在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即，
故选：D．
6．B
解：∵总体是该校八年级全体学生的视力情况，
此次调查是从总体中随机抽取100名学生（部分个体）进行检查，符合抽样调查的定义，
∴这种调查方式是抽样调查，
故选：B．
7．B
解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的周长．
故选：B．
8．B
解：在矩形中，，
，
，
，
点是边的中点，
为的中位线，
．
故选：B．
9．B
解：∵反比例函数中，
∴其图象分布在第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小，
∵A选项表述图象位于第二、四象限，与上述结论矛盾，∴A错误，
∵当时，图象在第一象限，结合反比例函数性质可知随的增大而减小，∴B正确，
∵将代入，得∴图象不经过点，C错误．
∵若点，在不同象限，比如，则，无法得出∴D错误．
故选：B．
10．B
解：如图所示，在优弧上取一点D，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故选：B．
11．
解：∵分式有意义时，分母不能为零，
∴，解得：．
故答案为：．
12．
解：∵，
∴可设，
∴．
13．/80度
解：由题意知：，
∵，
故答案为：．
14．
解：．
故答案为：．
15．-6
【详解】由题意分析，，所以a-2=0，b+3=0，所以a=2，b=-3，ab=-6
16．7
解：如图，作点关于的对称点，则，
作直线分别交轴于，设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为．
设直线的函数解析式为，
把和代入中，得，
解得，
点的坐标为，
点纵坐标的取值范围为，
点是整点的有，共7个，
故答案为：．
17．
解：原式
．
18．，
解：
，
∵，
∴原式．
19．(1)直线AD与圆O相切，理由见解析
(2)
（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下：
如图，连接OA，
∵，
∴∠D=∠DBC，
∵AB=AD，
∴∠D=∠ABD，
∵，
∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°，
∴∠BAD=120°，
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠ABD=30°，
∴∠OAD=90°，
∴OA⊥AD，
∵OA是圆的半径，
∴直线AD与园O相切，
（2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠BOC=120°，
∴，
∴，
∴，
∴扇形BOC的面积为，
∵，
∴阴影部分的面积为．
20．(1)20，
(2)见解析
(3)
（1）解：该校一共有的班级个数为：（个），
在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级所对应的扇形圆心角的度数是： ，
故答案为：20，；
（2）解：参加夏令营的学生人数为2名的班级个数为：（个），
将条形统计图补充完整如下：
（3）解：把参加夏令营的学生人数为2名的一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，
所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为．
21．(1)每个A型停放架的单价为240元，每个B型停放架的单价为190元；
(2)最多可以购买A型停放架3个．
（1）解：设每个A型停放架的单价为x元，每个B型停放架的单价为y元．
根据题意，得方程组：
解得：
答：每个A型停放架的单价为240元，每个B型停放架的单价为190元．
（2）解：设购买A型停放架m个，则购买B型停放架个．
根据题意，得不等式：
化简：
解得
答：最多可以购买A型停放架3个．
22．(1)
(2)
（1）解：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得：，，
∵，
∴，
∴．
23．(1)60，
(2)①90；②，理由见解析
(3)或
（1）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：①过点F作的延长线于H，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②由①可得，是等腰直角三角形
∴
∴
∵是等腰直角三角形
∴
∴；
（3）解：如图，过点A作于G，过点E作于H，则，
∵矩形中，，，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴，，
∴，，
∴点C，D，F三点共线，
在中，，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
当时，，
解得：或（舍去），
∴；
综上所述，的长度为或．
24．(1)
(2)
(3)或
（1）解：∵抛物线与轴交于点，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
联立，解得，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：将代入得：，
解得或，
∴，
将代入得：，
∴，
∵，
∴，
∵点是轴上一点，
∴，
设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
由题意，设点的坐标为，
∵轴，交于点，
∴，
∴，
由二次函数的性质可知，在内，当时，长度取得最大值，
如图，作点关于直线的对称点，
则，，即，
将沿方向向下平移1个单位长度得到，
则，，
∴，
∴由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，
∴的最小值为，
即的最小值为．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴相当于将该抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴平移后所得到的新抛物线的解析式为，
将代入得：，
∴，，
如图，过点作的垂线，交于点，过点作轴的平行线，过点作于点，交轴于点，过点作于点，
∴，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵线段被直线平分，且，
∴的中点的坐标为，且点在直线上，
∴，
解得或，
当时，；
当时，；
综上，点的坐标为或．