湖南省娄底市2026届九年级中考一模数学试卷（含解析）

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一、单选题
1．中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ）
A．2026B．C．D．
2．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A．B．yC．D．x
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点与关于y轴对称，则x的值为（ ）
A．B．2C．D．4
7．成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ）
A．水中捞月B．旭日东升C．水涨船高D．一箭双雕
8．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（ ）
A．垂线段最短B．线段可以度量
C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短
9．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，由六个正九边形中间可以拼接出一个美丽的“梅花形图案”，则图中的度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．计算：______．
12．化简__________．
13．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是______．
14．分式方程的解是______．
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________．
16．如果，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若，则的值为______．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙两种型号以马为主题的生肖玩偶，已知1只甲型玩偶和2只乙型玩偶的价格为160元，2只甲型玩偶和3只乙型玩偶价格为260元．
(1)求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？
(2)某公司计划采购两种型号玩偶共60个作为员工新年礼物，总费用不超过3000元，最多可以采购多少个乙型玩偶？
20．某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如图不完整的统计图．
(1)根据给出的信息，补全两幅统计图；
(2)该校九年级有600名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名？
(3)某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A、B、C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？
21．某手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，）
(1)如图2，、、三点共线，支杆与立杆之间的夹角为，且点距离地面的距离为，求此时滑动悬杆的长；
(2)调节支杆，悬杆，使得悬杆，，，如图3所示，求此时点到地面的高度．
22．如图，是的直径，点D是直径上（不与A，B重合的一点），过点D作，且，连接交于点F，在上取一点E，使．
(1)求证：是的切线；
(2)当D是的中点时，，求的长．
23．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】
(1)小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接、，则______；
【解决问题】
(2)将矩形绕点顺时针转动，边与边交于点，连接，，．
①如图2，当时，求证：平分；
②如图3，当点落在上时，连接交于点，求的长．
24．在平面直角坐标系中，如图（1），抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与坐标轴交于M、N点．
(1)求抛物线解析式并求出M、N两点坐标；
(2)点E是抛物线上一点，连接、，当的面积最小时，求出点E的坐标并写出面积最小值；
(3)如图（2），点F是抛物线上横坐标为t的点，过点F分别作坐标轴的平行线交直线于点G，交x轴于点I，以、为边作矩形，设矩形的周长为L，直接写出当时t的值．
参考答案
1．A
解：∵只有符号不同的两个数互为相反数，
∴的相反数是2026．
故选：A．
2．B
解：A、不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，故符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
3．B
解：，
即公因式为．
故选：B
4．A
解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、不是同类项，无法合并，故D不符合题意；
故选：A．
5．C
解：从正面看到的图形是一个长方形，靠近中间有两条横着的虚线，即看到的图形如下：
，
故选：C．
6．A
【详解】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，
又点与关于y轴对称，
．
7．D
解：水中捞月是不可能发生的事件，属于不可能事件，A不符合题意；
旭日东升是一定会发生的事件，属于必然事件，B不符合题意；
水涨船高是一定会发生的事件，属于必然事件，C不符合题意；
一箭双雕是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，D符合题意；
故选：D．
8．A
解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短，
故选A．
9．D
解：∵直尺的两边互相平行，
∴，
∴，
故选：D．
10．C
解：如图，
图中6个都是正九边形
正九边形的每个外角为
正九边形的每个内角为
即
．
故选：C．
11．4
解：．
12．
【详解】原式
．
故答案为：．
13．
解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
解得．
14．/
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
15．
解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
解：由题意，“矩数”p的最佳拆分点为t，故 ；“矩数”q的最佳拆分点为s，故．
∵，代入得：，
即，
因式分解得：，
由于t和s均为正整数，故和均为整数，且，
∴可能因子对为或(2,4)，
①当，时，联立方程解得，；
②当，时，联立方程解得，，不满足正整数条件，舍去，
故，，
∴．
故答案为：．
17．2
解：
．
18．；
解：原式，
当时，
原式．
19．(1)甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元
(2)最多可以采购30个乙型玩偶
（1）解∶设甲型号玩偶单价为元，乙型号玩偶单价为元，
根据题意，得，
解得，
答：甲型号玩偶单价为40元，乙型号玩偶单价为60元；
（2）解：设采购个乙型玩偶，
根据题意，得，
解得，
答：最多可以采购30个乙型玩偶．
20．(1)见解析
(2)420名
(3)
（1）解：抽取的学生数：（名）；
抽取的学生中合格的人数：（名），
合格所占百分比：，
优秀人数：，
如图所示：
；
（2）解：成绩达到良好及以上的男生所占比例为：，
∴600名男生中成绩达到良好及以上等级的有名；
（3）解：如图：
，可得一共有9种可能，甲、乙两人恰好分在同一组的有3种，
所以甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
21．(1)
(2)
（1）解：过点作，垂足为，
点距离地面的距离为，即
在中，，
，
（2）过点作，过点作，过点作，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
点到地面的高度为
22．(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)
(2)见解析；
（1）解：长方形纸片和是两个完全相同的长方形，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
；
（2）证明：，
，
四边形是矩形，
，
；
，
平分；
解：过点作于点，
，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
．
24．(1)，点的坐标为，点的坐标为
(2)点的坐标是，的面积最小值是
(3)或
（1）解：抛物线与轴交于，两点，
∴，
解得：，
抛物线的解析式为；
对于直线，当时，可得：，
点的坐标为，
当时，可得：，
解得：，
点的坐标为；
（2）解：过点作轴，交直线于点P，
设点的坐标为，则点的坐标是，
，
，
，
，
当时，有最小值，最小值为，
当时，可得：，
点的坐标是，的面积最小值是；
（3）解：点是抛物线上横坐标为的点，
∴点的坐标为，
点的坐标为，点的纵坐标为，
点在直线上，
，
解得：，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
矩形的周长为，
当时，
解得：或，
当或时，，
可得方程，
整理得：
解得：或(不符合题意，舍去)；
当时，
可得方程，
整理可得：，
解得：或(不符合题意，舍去)；
综上所述，当或时，矩形的周长为.